递归相关问题
- 树和二叉树相关的大部分问题
- 二分查找相关问题
- 快速排序、归并排序相关问题
- 所有回溯的问题
- 所有动态规划的问题
本质与特征
本质
本质就是方法的调用，而且是方法自己调用自己。
特征
- 执行时范围不断缩小，这样才能触底反弹
- 终止（结束）判断在调用递归的前面
理解
- 执行范围不断缩小
递归和数学中的递推差不多，设计递归就是寻找递推公式。
例如：
1. 阶乘的递推公式就是：f(n) = n * f(n -1);
2.斐波那契数列公式：f(n) = f(n-1) * f(n-2);
以上两个案例的n值都不断缩小
除此之外，递归在树上缩小的体现如下：
int leftNode = traverse(leftNode.left);
int rightNode = traverse(rightNode.right);
以上，每一次递归，都会将范围缩小到当前节点的左右孩子，接着继续缩小。
- 终止条件判断在递归调用的前面
递归之后可能还会有终止条件，但是 在执行递归之前，一定会有一个终止条件。
错误示例
public void recursion(参数0){
recursion(参数1)
if(终止条件){
......
}
}
上述代码会导致recursion()不断地自己调用自己，一直无法执行if中的语句，直到抛出栈溢出异常（StackOverflowError）
正确示例
public void recursion(参数0){
if(终止条件){
....}
recursion(参数1)
// 可能有逻辑运算
recursion(参数2)
......
}
因此，任何递归方法在执行之前，一定会有一个终止条件。
写递归方法
步骤
- 从小到大递推
- 分情况讨论，明确结束条件
- 组合出完整方法
解释
从小到大递推
先选几个较小的值验一下，再选择几个比较大的值，验一下即可。大部分从n = 1 ， 2， 3 或者只有一两个元素开始写最简单。
例如斐波那契数列为：1 1 2 3 5 8 13 21....
从第n=3开始就满足f(n) = f(n-1) * f(n -2)这样的规律,然后再选几个数进行验证。
最终发现 f(n) = f(n-1) * f(n -2)就是我们需要的递归公式
分情况讨论，明确结束条件
因为递归方法里终止条件一定是靠前的，而大部分递归的终止条件不过是n最小开始触底反弹时的几种情况。
例如：
对于阶乘，当n = 1 时，就知道 f(1) = 1,因此就可写出阶乘的终止条件，如下：
int f(int n){
if(n == 1){
retrun 1;
}
}
有时候需要考虑的终止条件不止一个，例如斐波那契数列的递推公式 f(n) = f(n-1) * f(n -2)里面，当n = 2 时，会出现 f(2) = f(1) + f(0),但是并没有f(0)这一项，因此，还需要限制n == 2.所以，其终止条件如下：
int f(int n){
if(n <= 2){
retrun 1;
}
}
通过以上案例可知，终止条件就是达到某种要就就要停下递归的条件，最直接的方式就是将特殊的案例给列出来，就像枚举一样，然后逐步优化。只有枚举清楚了，才可能设计出完整的终止条件。
组合出完整方法
将递归公式 和 终止条件 组合起来就变成了完整的方法。继续上述的两个例子为例，组合成完整的方法如下：
n的阶乘
int f(int n){
// 终止条件
if(n == 1){
return 1;
}
// 递归方法
return f(n - 1) * f(n);
}斐波那契数列第n项的值
public int fabonacci(int n){
if(n <= 2){
return 1;
}
return fabonacci(n-1) * fabonacci(n - 2);
}看懂递归方法
递归方法的特征就是“不撞南墙不回头”，也就是不到终止条件就一直递归。
举例
阶乘的 递归方法为例，当n = 4 时，执行过程如下图：
