什么是二分查找？

二分查找（Binary Search）是一种在有序数组中查找特定元素的查找算法。它通过将目标值与数组的中间元素进行比较，并根据比较结果缩小查找范围，直到找到目标值或确认目标值不存在为止。

一般步骤如下：

确定查找范围的起始点和结束点。
计算中间元素的索引，并取得中间元素的值。
将目标值与中间元素的值进行比较。
如果目标值与中间元素相等，查找成功，返回中间元素的索引。
如果目标值小于中间元素的值，说明目标值可能在左半部分，将查找范围缩小为左半部分。
如果目标值大于中间元素的值，说明目标值可能在右半部分，将查找范围缩小为右半部分。
重复步骤2至步骤6，直到找到目标值或确定目标值不存在。

二分查找是一种高效的查找算法，时间复杂度为O(log n)，其中n是数组的元素个数。但前提是要求数组必须是有序的。

题目

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
样例输出：

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9     
输出: 4       
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2     
输出: -1        
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

思路和边界问题

二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，但就是写不好。例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right)，到底是right = middle呢，还是要right = middle - 1呢？

写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right)。

二分法第一种写法
第一种写法，我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right]

区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写，因为定义target在[left, right]区间，所以有如下两点：

while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=
if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1

在这里插入图片描述

代码实现：

//@i want to武动乾坤
class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
      int left=0,right=nums.size()-1;//这里使用了闭区间。
      int model=0;//定义中间位置
      while(left<=right){
         int model=left+((right-left)/2);//这里是为了防止溢出
          if(nums[model]>target){
              right=model-1;
          }else if(nums[model]<target){
              left=model+1;
          }else{//否则就是所求的值等于了model位序对应的元素
              return model;//返回所找到的序号
          }
      }
      return -1;//如果循环了一遍发现要找的元素没有找到，返回-1
    }
};

第二种方法
如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。

有如下两点：

while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
if (nums[middle] > target) right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]


class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
      int left=0,right=nums.size();//这里使用了左闭右开区间，所以让right=nums.size
      int model=0;//定义中间位置
      while(left<right){
         int model=left+((right-left)/2);//这里是为了防止溢出
          if(nums[model]>target){
              right=model;//从0到model
          }else if(nums[model]<target){
              left=model+1;//左闭，所以这里的model小于目标值。
          }else{//否则就是所求的值等于了model位序对应的元素
              return model;//返回所找到的序号
          }
      }
      return -1;//如果循环了一遍发现要找的元素没有找到，返回-1
    }
};