01背包题目链接

题意：有一个容量为m的背包以及n个可以拿的物品，给出n个物品的体积和价值，要求输出可以拿的最大价值

思路：代表在前i件物品中拿取总体积不超过j的最大价值

由此可以分情况讨论状态转移

当j<v[i]时，说明当前枚举的重量本身就不足以拿取当前物品，则

如果j>v[i]，则分为拿当前物品和不拿当前物品

如果拿，则有

如果不拿，则有

ac代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define pb push_back
#define int long long
#define Mirai ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
const int N=1010;
int v[N];
int w[N];
int dp[N][N];
int n,m;
void solve()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];//依次读入每个物品的价值和重量
	for(int i=1;i<=n;i++)//遍历拿前i件物品
	{
		for(int j=0;j<=m;j++)//遍历最大容量j
		{
		    if(j<v[i])dp[i][j]=dp[i-1][j];//当前容量不足以拿当前物品
			else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	cout<<dp[n][m]<<endl;

}
signed main()
{
	Mirai;
	int T=1;
	//cin>>T;
	while(T--)
	{
		solve();
	}
}

一维优化：

不难发现，更新选前i件物品时，状态转移所需要的状态只来自i-1，所以完全可以不必将所有状态全部保存下来，只需要将数组开到一维即可

优化后的状态转移方程为：

if(j<v[i])dp[j]=dp[j];
else dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);

其中，dp[j]更新状态所需要的状态是未更新的左边的值，这就要求我们在更新j的时候其中小于j的值是保证不能被更新的，所以我们需要从大到小进行遍历，而其中j<v[i]的部分的值是直接保留的，所以可以将遍历范围规定到(m~v[i])

ac代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define pb push_back
#define int long long
#define Mirai ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
const int N=1010;
int v[N];
int w[N];
int dp[N];
int n,m;
void solve()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=m;j>=v[i];j--)
		{
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	cout<<dp[m]<<endl;
}
signed main()
{
	Mirai;
	int T=1;
	//cin>>T;
	while(T--)
	{
		solve();
	}
}