【模板】树状数组 2

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1. 将某区间每一个数加上 $x$；

2. 求出某一个数的值。

输入格式

第一行包含两个整数 $N$、$M$，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 $N$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i $ 项的初始值。

接下来 $M$ 行每行包含 $2$ 或 $4$个整数，表示一个操作，具体如下：

操作 $1$： 格式：1 x y k 含义：将区间 $[x,y]$ 内每个数加上 $k$；

操作 $2$： 格式：2 x 含义：输出第 $x$ 个数的值。

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 $2$ 的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 5
1 5 4 2 3
1 2 4 2
2 3
1 1 5 -1
1 3 5 7
2 4

样例输出 #1

6
10

提示

样例 1 解释：

故输出结果为 6、10。

---

数据规模与约定

对于 $30\%$ 的数据：$N\le 8$，$M\le 10$；

对于 $70\%$ 的数据：$N\le 10000$，$M\le 10000$；

对于 $100\%$ 的数据：$1\le N,M\le 500000$，$1\le x,y\le n$，保证任意时刻序列中任意元素的绝对值都不大于 $2^{30}$。

朴素树状数组

大致思路

要用树状数组完成这个题目，我们就需要它的进阶用法来实现区间修改和单点查询了

前置知识——差分

设数组a [ ] = { 1,6,8,5,10 }，那么差分数组b [ ] = { 1,5,2,-3,5 }

也就是说b [ i ] = a [ i ] - a [ i - 1 ] ; ( a [ 0 ] =0 ; ) ，那么 a [ i ] = b [ 1 ] + . . . . + b [ i ] ; (这个很好证的)。

假如区间[2,4]都加上2的话

a数组变为a[ ] = { 1,8,10,7,10 }，b数组变为b = { 1,7,2,-3,3 };

发现了没有，b数组只有b[2]和b[5]变了，因为区间[2,4]是同时加上2的,所以在区间内b[i]-b[i-1]是不变的.

所以对区间[ x , y ]进行修改,只用修改b [ x ]与b [ y+1 ]:

$b[x]=b[x]+k;b[y+1]=b[y+1]-k;$

我们用树状数组来维护一个差分数组以此实现区间加与单点查询

区间加

首先将差分数组存储到树状数组中,树状数组同模板，不变。

struct bit_tree{
	int tr[N];
	void add(int x,int ad){
		while(x<=n){
			tr[x]+=ad;
			x+=lowbit(x);
		}
	}
	int query(int x){
		int ans=0;
		while(x){
			ans+=tr[x];
			x-=lowbit(x);
		}
		return ans;
	}
}t1;
for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>k1;
		t1.add(i,k1-k2);
		k2=k1;
	}

**当我们进行$[l,r]$的区间加操作时，对应为$$add(l,ad);add(r+1,-ad);$$

代码实现

	t1.add(xx,kk);
	t1.add(yy+1,-kk);

单点查询

根据差分，$a[i]=\sum _{j=1}^{i}b[j]$ ，单点查询也就是差分数组的前缀和，因此直接query即可
代码实现

int query(int x){
		int ans=0;
		while(x){
			ans+=tr[x];
			x-=lowbit(x);
		}
		return ans;
	}
	cout<<t1.query(xx)<<endl;

AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+233;
#define int long long int
int n,m;
int lowbit(int x){
	return x&-x; 
}
struct bit_tree{
	int tr[N];
	void add(int x,int ad){
		while(x<=n){
			tr[x]+=ad;
			x+=lowbit(x);
		}
	}
	int query(int x){
		int ans=0;
		while(x){
			ans+=tr[x];
			x-=lowbit(x);
		}
		return ans;
	}
}t1;

signed main(){
	cin>>n>>m;
	int k1,k2=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>k1;
		t1.add(i,k1-k2);
		k2=k1;
	}
	while(m--){
		int op,xx,yy,kk;
		cin>>op;
		if(op==1){
			cin>>xx>>yy>>kk;
			t1.add(xx,kk);
			t1.add(yy+1,-kk);
		}
		else if(op==2){
			cin>>xx;
			cout<<t1.query(xx)<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

附封面（屑魔女*2）