62. 不同路径

中等

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

递推公式 ：以例题4在纸上将每一个位置的方法推出来 总结规律 我是这样这样做的 

写法一：开辟二维数组 第一行第一列进行初始化为1 再利用递推公式去推导每一个值

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n));
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            dp[0][j] = 1;
        }

        //dp[i,j]到达该位置一共有多少种方法 
        //递推公式 dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
        //初始化 只需将dp[1][0]初始化为1就可
        for(int i = 1;i<m;i++)
        {
            for(int j = 1;j<n;j++)
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

写法二：直接开[m+1,n+1] 将dp[0][1] 初始化为1 利用他来推导每一个值 其实大家不难发现 两种写法在循环次数上 基本没变 就是第二种代码量少 

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        //vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n));
        vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1));
        // for (int i = 0; i < m; ++i) {
        //     dp[i][0] = 1;
        // }
        // for (int j = 0; j < n; ++j) {
        //     dp[0][j] = 1;
        // }

        //dp[i,j]到达该位置一共有多少种方法 
        //递推公式 dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
        //初始化 只需将dp[1][0]初始化为1就可
        dp[0][1]=1;
        // for(int i = 1;i<m;i++)
        // {
        //     for(int j = 1;j<n;j++)
        //     {
        //         dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
        //     }
        // }
        // return dp[m-1][n-1];

        for(int i = 1;i<=m;i++)
        {
            for(int j = 1;j<=n;j++)
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};