【数据结构与算法】二叉树

news2024/11/13 18:56:05

二叉树

二叉树的概念

  1. 树有很多种,每个节点最多只能有两个子节点的一种形式称为二叉树。
  2. 二叉树的子节点分为左节点和右节点。

在这里插入图片描述

  1. 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层,并且节点总数 = 2^n - 1,n 为层数,则我们称为满二叉树。
  2. 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层,而且最后一层的叶子节点在左边连续,倒数第二层的叶子节点在右边连续,我们称为完全二叉树。
    在这里插入图片描述

二叉树的前序、中序和后序遍历

使用前序,中序,后序对二叉树进行遍历。

  • 前序遍历:先输出父节点,再遍历左子树和右子树。
  • 中序遍历:先遍历左子树,再输出父节点,再遍历右子树。
  • 后序遍历:先遍历左子树,再遍历右子树,最后输出父节点。

小结:看输出父节点的顺序,就确定是前序,中序还是后序。

前序遍历

遍历步骤:

  1. 创建二叉树
  2. 前序遍历
    1. 先输出当前节点(初始的时候是root节点)
    2. 如果左子节点不为空,则递归继续前序遍历
    3. 如果右子节点不为空,则递归继续前序遍历

中序遍历

遍历步骤:

  1. 创建二叉树
  2. 中序遍历
    1. 如果当前节点的左子节点不为空,则递归中序遍历
    2. 输出当前节点
    3. 如果当前节点的右子节点不为空,则递归中序遍历

后序遍历

遍历步骤:

  1. 创建二叉树
  2. 后序遍历
    1. 如果当前节点的左子节点不为空,则递归后序遍历
    2. 如果当前节点的右子节点不为空,则递归后序遍历
    3. 输出当前节点

代码演示:

public class BinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建二叉树
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        // 创建需要的节点
        HeroNode root = new HeroNode(1,"宋江");
        HeroNode node2 = new HeroNode(2,"吴用");
        HeroNode node3 = new HeroNode(3,"卢俊义");
        HeroNode node4 = new HeroNode(4,"林冲");
        HeroNode node5 = new HeroNode(5,"关胜");

        // 先手动创建二叉树
        root.setLeft(node2);
        root.setRight(node3);
        node3.setLeft(node5);
        node3.setRight(node4);
        binaryTree.setRoot(root);

        // 测试
        System.out.println("前序遍历");
        binaryTree.preOrder();

        System.out.println("中序遍历");
        binaryTree.infixOrder();

        System.out.println("后序遍历");
        binaryTree.postOrder();

    }
}

// 定义 BinaryTree 二叉树
class BinaryTree {
    private HeroNode root;

    public void setRoot(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }

    // 前序遍历
    public void preOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.preOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
        }
    }

    // 中序遍历
    public void infixOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.infixOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
        }
    }

    // 后序遍历
    public void postOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.postOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
        }
    }
}

// 创建 HeroNode 节点
class HeroNode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left;
    private HeroNode right;

    public HeroNode(int no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    public int getNo() {
        return no;
    }

    public void setNo(int no) {
        this.no = no;
    }

    public String getName() {
        return name;
    }

    public void setName(String name) {
        this.name = name;
    }

    public HeroNode getLeft() {
        return left;
    }

    public void setLeft(HeroNode left) {
        this.left = left;
    }

    public HeroNode getRight() {
        return right;
    }

    public void setRight(HeroNode right) {
        this.right = right;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "HeroNode{" +
                "no=" + no +
                ", name='" + name + '\'' +
                '}';
    }

    // 编写前序遍历的方法
    public void preOrder() {
        // 想输出父节点
        System.out.println(this);
        // 递归向左子树前序遍历
        if (this.left != null) {
            this.left.preOrder();
        }
        // 递归向右子树前序遍历
        if (this.right != null) {
            this.right.preOrder();
        }
    }

    // 中序遍历
    public void infixOrder() {
        // 递归向左子树中序遍历
        if (this.left != null) {
            this.left.infixOrder();
        }
        // 输出父类节点
        System.out.println(this);
        // 递归向右子树中序遍历
        if (this.right != null) {
            this.right.infixOrder();
        }
    }

    // 后序遍历
    public void postOrder() {
        // 递归向左子树后序遍历
        if (this.left != null) {
            this.left.postOrder();
        }
        // 递归向右子树后序遍历
        if (this.right != null) {
            this.right.postOrder();
        }
        // 输出父节点
        System.out.println(this);
    }
}

二叉树的前序、中序和后序查找

前序查找

查找步骤:

  1. 先判断当前节点的 no 是否等于要查找的 no
  2. 如果相等,则返回当前节点
  3. 如果不等,则判断当前节点的左子节点是否为空,如果不为空,则递归前序查找
  4. 如果左递归前序查找,找到节点,则返回,否则继续判断,当前节点的右子节点是否为空,如果不为空,则继续向右递归前序查找

中序查找

查找步骤:

  1. 先判断当前节点的左子节点是否为空,如果不为空,则递归中序查找
  2. 如果找到,则返回;如果没有找到,就和当前节点比较,如果是,则返回当前节点,如果不是,继续进行右递归中序查找
  3. 如果右递归中序查找找到就返回,否则返回 null

后序查找

查找步骤:

  1. 判断当前节点的左子节点是否为空,如果不为空,则递归后序查找
  2. 如果找到,就返回,如果没有找到,就判断当前节点的右子节点是否为空,如果不为空,则右递归进行后序查找,如果找到,就返回
  3. 如果没有找到就和当前节点进行比较,如果是则返回,否则返回 null

代码演示:

主方法:

System.out.println("前序查找");
        HeroNode resNode1 = binaryTree.preOrderSearch(5);
        if (resNode1 != null) {
            System.out.printf("找到了,信息为 no=%d name=%s\n", resNode1.getNo(), resNode1.getName());
        } else {
            System.out.printf("没有找到 no=%d 的英雄\n", 5);
        }

        System.out.println("中序查找");
        HeroNode resNode2 = binaryTree.infixOrderSearch(4);
        if (resNode2 != null) {
            System.out.printf("找到了,信息为 no=%d name=%s\n", resNode2.getNo(), resNode2.getName());
        } else {
            System.out.printf("没有找到 no=%d 的英雄\n", 4);
        }

        System.out.println("后序查找");
        HeroNode resNode3 = binaryTree.postOrderSearch(3);
        if (resNode3 != null) {
            System.out.printf("找到了,信息为 no=%d name=%s\n", resNode3.getNo(), resNode3.getName());
        } else {
            System.out.printf("没有找到 no=%d 的英雄\n", 3);
        }

BinaryTree 类:

// 前序查找
public HeroNode preOrderSearch(int no) {
    if (root != null) {
        return root.preOrderSearch(no);
    } else {
        return null;
    }
}

// 中序查找
public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
    if (root != null) {
        return root.infixOrderSearch(no);
    } else {
        return null;
    }
}

// 后序查找
public HeroNode postOrderSearch(int no) {
    if (root != null) {
        return root.postOrderSearch(no);
    } else {
        return null;
    }
}

HeroNode 类:

	/**
     * 前序查找
     *
     * @param no 查找的 no
     * @return 如果找到就返回该 Node,否则就返回 null
     */
    public HeroNode preOrderSearch(int no) {
        // 比较当前节点
        if (this.no == no) {
            return this;
        }
        // 1. 判断当前节点的左子节点是否为空,如果不为空,则递归前序查找
        // 2. 如果左递归前序查找,找到节点,则返回
        HeroNode resNode = null;
        if (this.left != null) {
            resNode = this.left.preOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) { // 说明在左子树找到
            return resNode;
        }
        // 继续判断,当前节点的右子节点是否为空,如果不为空,则继续向右递归前序查找
        if (this.right != null) {
            resNode = this.right.preOrderSearch(no);
        }
        return resNode;
    }

    /**
     * 中序查找
     *
     * @param no 查找的 no
     * @return 如果找到就返回该 Node,否则就返回 null
     */
    public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
        // 判断当前节点的左子节点是否为空,如果不为空,则递归中序查找
        HeroNode resNode = null;
        if (this.left != null) {
            resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
            return resNode;
        }
        // 如果没有找到,就和当前节点比较
        if (this.no == no) {
            return this;
        }
        // 1. 继续进行右递归中序查找
        // 2. 如果右递归中序查找找到就返回,否则返回 null
        if (this.right != null) {
            resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
        }
        return resNode;
    }

    /**
     * 后序查找
     *
     * @param no 查找的 no
     * @return 如果找到就返回该 Node,否则就返回 null
     */
    public HeroNode postOrderSearch(int no) {
        // 判断当前节点的左子节点是否为空,如果不为空,则递归后序查找
        HeroNode resNode = null;
        if (this.left != null) {
            resNode = this.left.postOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
            return resNode;
        }
        // 判断当前节点的右子节点是否为空,如果不为空,则右递归进行后序查找
        if (this.right != null) {
            resNode = this.right.postOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
            return resNode;
        }
        // 和当前节点进行比较,如果是则返回,否则返回 null
        if (this.no == no) {
            return this;
        }
        return resNode;
    }

删除节点

要求:

  1. 如果删除的节点是叶子节点,则删除该节点。
  2. 如果删除的节点是非叶子节点,则删除该子树。

思路:

  1. 首先,考虑如果树是空树 root,如果只有一个 root 节点,则等价将二叉树置空。
  2. 因为我们的二叉树是单向的,所以我们判断当前节点的子节点是否需要删除节点,而不能去判断当前这个节点是不是需要删除的节点。
  3. 如果当前节点的左子节点不为空,并且左子节点及时需要删除的节点,就将 this.left = null;并且返回(结束递归删除)。
  4. 如果当前节点的右子节点不为空,并且右子节点及时需要删除的节点,就将 this.right = null;并且返回(结束递归删除)。
  5. 如果第 3 步和第 4 步没有删除节点,那么我们就需要向左子树进行递归删除。
  6. 如果第 5 步也没有删除节点,那么我们就需要向右子树进行递归删除。

代码演示:

主方法:

 		System.out.println("删除前");
        binaryTree.preOrder();
        binaryTree.delNode(5);
        System.out.println("删除后");
        binaryTree.preOrder();

BinaryTree 类:

    // 删除节点
    public void delNode(int no) {
        if (root != null) {
            // 如果只有一个 root 节点,这里立即判断 root 是不是就是要删除的节点
            if (root.getNo() == no) {
                root = null;
            } else {
                // 递归删除
                root.delNode(no);
            }
        } else {
            System.out.println("空树,不能删除~");
        }
    }

HeroNode 类:

    /**
     * 递归删除节点
     * 1. 如果删除的节点是叶子结点,则删除该节点
     * 2. 如果删除的节点是非叶子节点,则删除该子树
     *
     * @param no 需要删除的 no
     */
    public void delNode(int no) {
        // 如果当前节点的左子节点不为空,并且左子节点及时需要删除的节点,就将 this.left = null;并且返回(结束递归删除)。
        if (this.left != null && this.left.no == no) {
            this.left = null;
            return;
        }
        // 如果当前节点的右子节点不为空,并且右子节点及时需要删除的节点,就将 this.right = null;并且返回(结束递归删除)。
        if (this.right != null && this.right.no == no) {
            this.right = null;
            return;
        }
        // 如果第 3 步和第 4 步没有删除节点,那么我们就需要向左子树进行递归删除。
        if (this.left != null) {
            this.left.delNode(no);
        }
        // 如果第 5 步也没有删除节点,那么我们就需要向右子树进行递归删除。
        if (this.right != null) {
            this.right.delNode(no);
        }
    }

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