因为是线性的，所以可以把所有的系数都提取出去。这也是多重线性代数的性质。可以看成基本的各项自变量的乘法。

 

这里可以看到两个不同基向量下，他们的坐标转化关系。

 引出了张量积，也就是前面提到的内容。

 

对偶空间的例子总是比较美好。

 

 因为e^i就是把x的第i个坐标给取出来。所以就得到了(10)，每一个张量基的组成部分都是取到对应的坐标。他们作用在x上就会得到(1)

这个意思是说，对于任何k形式，我们都可以通过一种运算得到斜对称形式。 

这里我们看到了为什么要引入行列式，是因为一个取坐标的操作的张量积放到斜对称形式的推导里面，会得到一个式子，这个式子就是行列式的公式。然后也说了为什么要引入外积，因为斜对称形式的张量积一般就不是斜对称了，引入外积的话就是为了保证还是斜对称。公式15就是外积的定义。其实这里可以感受到，斜对称应该是一个非常重要的形式，我们后面看。

 

这个式子还是要仔细理解的。前面就是k形式，后面是k形式的求和。

 

求和的系数取决于交换次数。

 

按照前面的公式，我们可以发现取坐标的外积，最终就是这些坐标分别取出来组成一个矩阵的行列式的值。 

 这里我们看到，是想把普通k形式都转成斜对称形式，引入了一个运算A，本来k形式就是F=ae1xe2...exn

引入A之后，变成了斜对称形式，就有了行列式。要考虑斜对称之间的运算还是斜对称，就引入了外积。

 

 最后这一段看不太懂，需要再理解下。问了GPT，它的意思是对于n维线性空间，如果你的k形式的k>n。例如k=3,n=2, 那么按照反对称的定义，里面比如有两个元素是一样的。例如取坐标，二维空间就两个坐标可以取，但你要取3次，必有两次是重复的。重复的就代表斜对称必须为0.

看着比较费解，冲对偶映射去理解，X->Y，会变成Y*->X*，于是l*F^k肯定是相当于Fx.最终就是(25),27,28,29公式形式还是很优美的。

 

这里提到了坐标，我们得先复习：

 

k形势下的坐标形式，后面的y的一堆的乘积就是坐标，前面是k形式作用在基上的值。

所以我们得到了两个不同空间中的k形式的一些关系。Y上的k形式，作用在Y的基上引出的系数b。和对偶映射X上的k形式，作用在X的基上引出的系数a，他们之间的系数关系和基的关系的表达式。

 

这个结论是说明：我们通过对偶映射把Y上的取坐标转到x上的一个映射，它等价于一堆取坐标函数的和。 

这个更一般的结论和5应该是一样的。我们得到了两组基向量的关系，他们对应的对偶映射的k形式也是具有类似关系的。

在整理下：我们对于普通的k形式，想要引入斜对称，就引入了运算A，我们发现运算A本质上是可以看成一个行列式。而斜对称之间的运算需要在符合斜对称，于是引入了外积。同时我们发现，行列式可以看成取坐标运算符的外积的操作。于是我们就会开始研究取坐标操作运算之间的外积。然后得到了一系列的坐标转化公式。