1 隐函数

定义：设有两个非空数集$A,B$.对于$\forall x\in A$，由二元方程$F(x,y)=0$对应唯一的$y\in B$,称此对应关系是二元方程$F(X,y)=0$确定的隐函数。

相应的由$y=f(x)$确定的对应关系称为显函数。

把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。

例1 ：$x+y^3-1=0隐函数的显化\to y=\sqrt[3]{1-x}$

2 隐函数求导

利用复合函数求导法则，对方程两边求导。

例2：求$e^y+xy-e=0$所确定的隐函数的导数$\frac{dy}{dx}$
$$\begin{gathered} 解：等式两边求导, \\ (e^y{)}^{{}^{\prime }}+(xy{)}^{{}^{\prime }}-(e{)}^{{}^{\prime }}=0 \\ {e}^y{y}^{{}^{\prime }}+y+x{y}^{{}^{\prime }}=0 \\ {y}^{{}^{\prime }}=-\frac{y}{e^y+x},e^y+x\ne 0 \end{gathered}$$
例3：求由方程$y^5+2y-x-3x^7=0$所确定的隐函数在$x=0处的导数\frac{dy}{dx}{|}_{x=0}$
$$\begin{gathered} 解：等式两端对x求导 \\ 5y^4{y}^{{}^{\prime }}+2y^{{}^{\prime }}-1-21x^6=0 \\ {y}^{{}^{\prime }}=\frac{1+21x^6}{2+5y^4} \\ x=0时，y=0带入得 \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=0}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$
注：求隐函数在某点的导数值时，如果没要求求$y^{{}^{\prime }}$,则可以先带入该点在求导
$$\begin{gathered} 对于例3，5y^4{y}^{{}^{\prime }}+2y^{{}^{\prime }}-1-21x^6=0，带入x=0,y=0得 \\ {y}^{{}^{\prime }}(0)=\frac{1}{2} \end{gathered}$$
例4：已知椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$.求该椭圆在点$(2,\frac{3}{2}\sqrt{3})$处的切线方程。
$$\begin{gathered} 解：切线斜率k=y^{{}^{\prime }}(x),方程两边对x求导 \\ \frac{x}{8}+\frac{2}{9}y{y}^{{}^{\prime }}=0,y^{{}^{\prime }}=-\frac{9x}{16y} \\ k=y^{{}^{\prime }}(2)=-\frac{\sqrt{3}}{4} \\ 切线方程为y-\frac{3}{2}\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x-2) \\ 即\sqrt{3}x+4y-8\sqrt{3}=0 \end{gathered}$$

例5：由方程$x-y+\frac{1}{2}\sin y=0$所确定的隐函数，求$\frac{d{y}^2}{d{x}^2}$
$$\begin{gathered} 解：方程两边对x求导 \\ 1-y^{{}^{\prime }}+\frac{1}{2}\cos y{y}^{{}^{\prime }}=0，y^{{}^{\prime }}=\frac{2}{2-\cos y} \\ {y}^{{}^{\prime \prime }}=\frac{0-2(\sin y{y}^{{}^{\prime }})}{(2-\cos y{)}^2}=\frac{-4\sin y}{(2-\cos y{)}^3} \end{gathered}$$

某些场合，利用对数求导法比通用的方法简便些。

例6：求$y=x^{\sin x}(x>0)$的导数。
$$\begin{gathered} 两边取对数，得 \\ \ln y=\sin x\ln x,两边对x求导 \\ \frac{y^{{}^{\prime }}}{y}=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x} \\ {y}^{{}^{\prime }}=x^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}) \end{gathered}$$
例7：求$y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$的导数。
$$\begin{gathered} (\ln |x|{)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{x} \\ 两边取对数,得 \\ \ln |y|=\ln \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}=\frac{1}{2}(\ln (x-1)+\ln (x-2)-\ln (x-3)-\ln (x-4)) \\ 两边对x求导 \\ \frac{y^{{}^{\prime }}}{y}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}) \\ {y}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}) \end{gathered}$$

当求$f(x)$为幂指函数或多项乘、除时，可以两边取对数转化为隐函数求导。

3 由参数方程确定的函数

一般地，若参数方程
$$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)(4-3)\end{array}$$
确定y与x直接的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程(4-3)所确定的函数。

若$x=\varphi (t),y=\psi (t)$都可导，且$\varphi (t{)}^{{}^{\prime }}\ne 0$又$x=\varphi (t)存在反函数t={\varphi }^{-1}(x)$，则

$\frac{dy}{dx}=\frac{{\psi }^{{}^{\prime }}(t)}{{\varphi }^{{}^{\prime }}(t)}或\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

如果此时$x=\varphi (t),y=\psi (t)$二阶可导，那么由参数方程确定的函数的二阶导数为：

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}}$

$$\begin{gathered} 证明：t={\varphi }^{-1}(x),则y=\psi (t)=\psi [{\varphi }^{-1}(x)] \\ 根据复合函数求导法则,有 \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{{\psi }^{{}^{\prime }}(t)}{{\varphi }^{{}^{\prime }}(t)} \end{gathered}$$

例8 已知椭圆的参数方程为
$$\{\begin{array}{l}x=a\cos (t)\\ y=b\sin (t)\end{array}$$
求椭圆在$t=\frac{\pi }{4}$相应点处的切线方程。
$$\begin{gathered} 椭圆在t=\frac{\pi }{4}处坐标为(\frac{\sqrt{2}a}{2},\frac{\sqrt{2}b}{2}),切线斜率为 \\ \frac{dy}{dx}{|}_{\frac{\pi }{4}}=\frac{(b\sin t{)}^{{}^{\prime }}}{(a\cos t{)}^{{}^{\prime }}}=-\frac{b}{a} \\ 切线方程为y-\frac{\sqrt{2}b}{2}=-\frac{b}{a}(x-\frac{\sqrt{2}a}{2})化简得 \\ bx+ay-\sqrt{2}ab=0 \end{gathered}$$

4 相关变化率

设$x=x(t)及y=y(t)$都可导函数，而变量$x与y$间存在某种关系，从而变化率$\frac{dx}{dt}与\frac{dy}{dt}$间也存在一定的关系。这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。

例9 一气球从距离观察员500m处离地面铅直上升，当气球高度为500m时，其速率为140m/min.求此时观察员视线的仰角增加的速率是多少？

如图所示：

$$\begin{gathered} 观察员仰角\alpha 随时间t变化关系\alpha (t)，气球高度h随时间t变化关系h(t)则 \\ \tan \alpha (t)=\frac{h(t)}{500} \\ 两边对t求导，得 \\ {\sec }^2\alpha (t)\frac{d\alpha (t)}{dt}=\frac{1}{500}\frac{dh(t)}{dt} \\ \frac{d\alpha (t)}{dt}=\frac{1}{{\sec }^2\alpha (t)}\frac{1}{500}\frac{dh(t)}{dt} \\ h(t)=500时，{\sec }^2\alpha =1+{\tan }^2\alpha =2,\frac{dh(t)}{dt}=140m/min带入上述公式 \\ \frac{d\alpha (t)}{dt}=0.14rad/min \end{gathered}$$
例10: 落在平静的水面上石头产生同心波纹，若最外圈波纹半径的增大速率为6m/s,问在2s末扰动水面面积增大的速率为多少
$$\begin{gathered} 设t时刻最外圈波纹的半径为人，面积为A，则 \\ \frac{dr}{dt}=6,A=\pi r^2,所以 \\ \frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}=2\pi r\cdot 6=12\pi r \\ t=2时，r=12m,\frac{dA}{dt}=12\pi \cdot 12=144\pi m^2/s \end{gathered}$$
例11 已知一长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当t=12cm，w=5cm时，该长方形的对角线增加的速率是多少？
$$\begin{gathered} 设对角线y(t) \\ 则y^2(t)=l^2(t)+w^2(t) \\ 两边对t求导，得 \\ 2y(t)\frac{dy(t)}{dt}=2l(t)\frac{dl(t)}{dt}+2w(t)\frac{dw(t)}{dt} \\ \frac{dy(t)}{dt}=\frac{1}{\sqrt{l^2+w^2}}(l\frac{dl}{dt}+w\frac{dw}{dt}) \\ t=12,w=5带入得 \\ \frac{dy(t)}{dt}=\frac{1}{13}(12\cdot 2+5\cdot 3)=3cm/s \end{gathered}$$

5 后记

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.P101~p108.

[2]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p16.