二叉排序树（BST, Binary Sort Tree）也称二叉查找树（Binary Search Tree）, 或二叉搜索树。
定义：一颗二叉树，满足以下属性：
- 左子树的所有的值小于根节点的值
- 右子树的所有值大于根节点的值
- 左、右子树满足以上两点
那么我们如何去构建一个自己的二叉排序树呢？算法实现思路如下：
二叉排序树只是对值进行了排序，但是如果我们对二叉排序树进行树的平衡操作，即对树进行旋转，那么就引出了本文的重要知识点，平衡二叉树（AVL Tree）。《大话数据结构》是这样解释的：
下面通过几张图片来对AVL树有一个基本的认识：
为什么图2，图3不是平衡二叉树呢？
平衡二叉树首先是一颗二叉排序树，因为图2节点值58，它的左节点值为59，不满足二叉排序树的条件，因此更不可能是平衡二叉树了。
图3中，节点58的右子树为空，而左子树的高度为2，不满足左右节点高度差至多为1的条件，因此也不是平衡二叉树
下面通过过右旋，左右旋来做一个简单的介绍。（左旋和右旋相反，左右旋和右左旋相反）
右旋：即对树的根节点重新判定，即左子树最下层的左节点新增节点值，那么可以通过将新生成的根节点往右拉，即可实现平衡。即将新的根节点40拉到旧的根节点50的位置。
左右旋：如下图中所展示，先对左子树进行左旋，将原来左子树根节点20变为30，即将30往左拉； 然后再进行右旋，即将整颗树的新的根节点30往右拉
下面直接接上代码，实现AVL Tree的构造
package code.code_04;
public class AVLTree {
//节点
public class Node {
int data; //数据
Node left; //左子节点
Node right;//右子节点
int height; // 记录该节点所在的高度
public Node(int data) {
this.data = data;
this.height = 1; //只要右节点,那么当前节点的高度就为1.
}
}
public static void printTree(Node root) {
System.out.println(root.data);
if(root.left !=null){
System.out.print("left:");
printTree(root.left);
}
if(root.right !=null){
System.out.print("right:");
printTree(root.right);
}
}
//获取节点的高度
public static int getHeight(Node p){
return p == null ? 0 : p.height; // 空树的高度为0
}
/*
* 右旋转
* 右旋示意图(先把30的左节点指向25，然后再将节点20的右节点指向30，即对结点20进行右旋)
* 30 20
* / \ / \
* 20 40 10 30
* / \ --RR旋转- / / \
* 10 25 5 25 40
* /
* 5
*
*/
public Node RRRotate(Node p) {
//记录下节点p的左子树，防止树断开
Node node = p.left; //失衡点的左子树的根结点20作为新的结点
p.left = node.right; //将新节点的右子树25成为失衡点30的左子树，等同于p.left = p.left.right
node.right = p; //将失衡点30作为新结点的右子树
//重新设置失衡点30和新节点20的高度
p.height = Math.max(getHeight(p.left), getHeight(p.right)) + 1;
node.height = Math.max(getHeight(node.left), p.height) + 1;
return node;
}
/*
* LL旋转
* 左旋示意图(先把20的右节点指向25，然后再将节点30的左节点指向20，即对结点30进行左旋))
* 20 30
* / \ / \
* 10 30 20 40
* / \ --LL旋转- / \ \
* 25 40 10 25 50
* \
* 50
*
*/
public Node LLRotate(Node p){
//记录下节点p的左子树，防止树断开
Node node = p.right; //失衡点的左子树的根结点20作为新的结点
p.right = node.left; //将新节点的右子树25成为失衡点30的左子树
node.left = p; //将失衡点30作为新结点的右子树
//重新设置失衡点30和新节点20的高度
p.height = Math.max(getHeight(p.left), getHeight(p.right)) + 1;
node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1;
return node;
}
// LR旋转
public Node LRRotate(Node p){
p.left = LLRotate(p.left); // 先将失衡点p的左子树进行RR旋转
return RRRotate(p); // 再将失衡点p进行LL平衡旋转并返回新节点代替原失衡点p
}
// RL平衡旋转
public Node RLRotate(Node p){
p.right = RRRotate(p.right); // 先将失衡点p的右子树进行LL平衡旋转
return LLRotate(p); // 再将失衡点p进行RR平衡旋转并返回新节点代替原失衡点p
}
public Node insert(Node root, int data) {
//如果节点不存在，则直接创建新节点返回，新节点的高度默认为1
if (root == null) {
root = new Node(data);
return root;
}
if (data < root.data) {
//递归一直往下找，直到找到合适的位置为止
root.left = insert(root.left, data);
//如果树失衡，则进行平行操作
if (getHeight(root.left) - getHeight(root.right) > 1) {
/**
* 如果data等于root.left.data，那说明root之前没有左节点。
*
* 如果data小于root.left.data，那说明data是插入在root.left的子节点中，此时
* 我们还需要判断data具体是插入在root.left的左子节点还是右子节点。
*
* 1.如果是插入root.left的左子节，那么需要进行右旋转
* 2.如果是插入root.left的右子节点，那么需要先左旋转，然后再右右（即左右旋转）
*/
if (data < root.left.data) { //插入节点在失衡结点的左子树的左边
System.out.println("RR旋转");
root = RRRotate(root);
}
else { //插入节点在失衡结点的左子树的右边
System.out.println("左右旋转");
root = LRRotate(root);
}
}
}
else {
root.right = insert(root.right, data);
if (getHeight(root.right) - getHeight(root.left) > 1) {
if(data <= root.right.data){//插入节点在失衡结点的右子树的左边
System.out.println("RL旋转");
root = RLRotate(root);
}else{
System.out.println("LL旋转");//插入节点在失衡结点的右子树的右边
root = LLRotate(root);
}
}
}
//重新调整root节点的高度值
root.height = Math.max(getHeight(root.left), getHeight(root.right)) + 1;
return root;
}
public static void main(String[] args) {
AVLTree tree = new AVLTree();
Node root = null;
/* root = tree.insert(root,30);
root = tree.insert(root,20);
root = tree.insert(root,40);
root = tree.insert(root,10);
root = tree.insert(root,25);*/
//插入节点在失衡结点的左子树的左边, demo逐个放开验证
//root = tree.insert(root,5); //右旋 demo1
//root = tree.insert(root,15); //右旋 demo2
//root = tree.insert(root,24); //左右旋 demo3
//root = tree.insert(root,26); //左右旋 demo4
//测试左旋，右左旋
root = tree.insert(root,20);
root = tree.insert(root,10);
root = tree.insert(root,30);
root = tree.insert(root,25);
root = tree.insert(root,40);
//root = tree.insert(root,39); //左旋 demo5
//root = tree.insert(root,41); //左旋 demo6
//root = tree.insert(root,24); //右左旋 demo7
root = tree.insert(root,26); //右左旋 demo8
//打印树，按照先打印左子树，再打印右子树的方式
tree.printTree(root);
}
}
下面通过一张图片，总结一下分别在什么情况下需要左旋，左右旋，右旋，右左旋。
左旋，右旋只需要一次旋转即可完成树的平衡
左右旋，右左旋需要2次旋转才能完成树的平衡
参考资料：
《大话数据结构》
https://blog.csdn.net/xiaojin21cen/article/details/97602146
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