第1章 Fourier级数

1.1 选择：“欢迎入局”(Choices: Welcome Aboard)

1.2 周期性现象(Periodic phenomena)

1.2.1 时间和空间(time and space)

1.2.1.1 时间和空间周期性在波动中最自然地结合在一起

1.2.1.2 更多关于空间的周期性例子

1.2.2 定义，例子，以及其后的事情(Definitions，examples，and things to come)

1.2.3 构建块：更多例子(Building blocks: a few more examples)

1.2.3.1音高和调音(Musical pitch and tuning)

1.3 周期函数相加(It All Adds Up)

1.3.1 消没于c(Lost at c)

1.3.2 Fourier系数(Fourier coefficients)

1.3.2.1 对称关系(symmetry relations)。

1.3.3 周期，频率，和频谱(Period, frequencies, and spectrum)

1.3.3.1 查看信号( Viewing a signal )：为什么乐器发出的声音听起来不同？(Why do musical instruments sound different? )

1.3.4 更改周期，另一种互反关系(Changing the period, and another reciprocal relationship)

1.3.4.1 时域-频域互反性(Time domain–frequency domain reciprocity)

1.4 两个例子和一个忠告(Two Examples and a Warning)

1.5 相关数学知识，第1部分：收敛性(The Math, Part 1, A convergence result)

1.5.1 你想要的数学定理(The theorem you want)

1.6 Fourier 级数的实际应用(Fourier Series in Action)

1.6.1 对你来说够热吗？(Hot enough for ya?)

1.6.1.1 加热一个圆(Heating a circle)

1.6.1.2 周期函数的卷积(Convolution for periodic functions)

1.6.1.3 加热地球，储存你的佳酿(Heating the earth, storing your wine)

1.6.1.4 第二次工业革命打响第一枪(The first shot in the second industrial revolution)

1.6.1.5 第二次世界大战中的最后一枪(The last shot in the Second World War)

1.6.2 一个非经典例子：什么是蜂呜声?(classical example: What’s the buzz?)

1.7 相关数学知识，第2部分：正交性和平方可积函数(The Math, Part 2: Orthogonality and Square Integrable Functions)

1.7.1 向量和正交性(vectors and orthogonality)

1.7.1.1 关于数学界商业秘密的评述(A remark on trade secrets)

1.7.1.2 内积的定义(Inner product defined)

1.7.1.3 向量视作投影(Projections)

1.7.1.4 内积的代数属性(Algebraic properties of the inner product)

1.7.1.5 正交基(Orthogonality basis)

1.7.1.6 存在一个隐藏困难：复向量的内积问题(There’s a catch: Complex vectors)

1.7.2 回到Fourier级数(Back to Fourier series)

1.7.2.1 平方可积函数及其范数(Square integrable functions and their norm)

1.7.2.2 这是一个检验(This is a test)

1.7.2.3 L2 ([0,1])上的内积(The inner product on L2 ([0,1]))

1.7.3 复指数是正交的，还有更多！(The complex exponentials are orthonormal, and more!)

1.7.3.1 放松自己(Go easy on yourself )

1.7.3.2 Fourier系数是投影(The Fourier coefficients are projections )

1.7.3.3 复指数函数是一个正交基(The complex exponentials are an orthonormal basis )

1.7.3.4 Bessel不等式(Bessel inequality)

1.7.3.5 Rayleigh恒等式(Rayleigh identity)

1.7.3.6 有限Fourier级数的最佳 L2 近似(Best L2 -approximation by finite Fourier series)

1.7.3.7 如果周期不是1又会是什么情况(What if the period isn’t 1)

第1章 Fourier级数

1.1 选择：“欢迎入局”(Choices: Welcome Aboard)

选择从哪里开始比较自然呢？我的选择是从Fourier级数的简要处理开始。(注：很多面向工程师的书一开始便直接进入Fourier变换的主题，例如，流行的书籍<<The Fourier Transform and Its Applications>>R. Bracewell，就是这么安排的，其编排中稍后才学习一些Fourier级数知识。这是一种合理的选择，但是我在本书中不这么安排。) Fourier引入的分析最初专注的是用于表示周期性现象，后来被称为Fourier级数，随后，通过Fourier变换(积分)方法将这些见解扩展到非周期现象。事实上，从Fourier级数到Fourier变换是一种将非周期现象视为周期现象的极限情况来处理的方法，因为周期趋于无穷大。这就是我们在下一章要做的事情。

与周期信号的Fourier级数相关的是一组离散的频率。这些频率成为非周期信号Fourier变换的频率连续体。无论哪种情况，频率组都构成了频谱(spectrum)，而频谱则带来了该主题最重要的原理。重复前言的内容：

每一个信号都具有一个频谱，而每一个频谱确定一个信号。

很诱人(Catchy)，但我应该说，人们需要了解的是频率以及每个频率对信号的贡献程度。

基于Fourier级数和Fourier变换的思想完全扎根于物理应用。在大多数情况下，要研究是通过物理学的基本微分方程(热传导方程、波动方程、Laplace方程)为这些现象建模，并求解这些方程在边界条件的约束下的解。

最初的想法是使用Fourier级数来求得显式解。这项工作提出了艰巨而影响深远的问题，这些问题导致了不同的发展方向。例如，因此而建立起来的Fourier级数(以正弦和余弦函数),后来在正交性(orthogonality)、线性算子(linear operators)和特征函数(eigenfunctions)的更通用框架中被重新构建。这导出了使用微分方程的解的特征函数展开(eigenfunctions expansions)的通用思想(general idea)，这是许多领域和应用中普遍存在的(ubiquitous)突破思路(line of attack)。在现代偏微分方程的表述中，Fourier变换已成为“定义”研究对象的基础，同时仍然是求解特定方程解的工具。这种发展地很大程度上取决于Fourier变换和卷积之间的显著联系，这在早期的Fourier级数的使用中也可见到。为了以越来越普遍的方式应用这些方法，数学家(在某种程度上是由工程师和物理学家)被推动重新考虑，“函数”概念如何才能更通用，以及什么类型的函数可以并且应该被纳入微积分的“手术室(operating theater)”中。微分和积分都在服务于傅立叶分析的过程中得到推广。

其他方向将Fourier分析的工具与被分析对象的对称性相结合。这可能会让你想到晶体(crystals)和晶体学(crystallography)，你的想法是对的，而数学家则想到数论(number theory)和群(groups)的Fourier分析。最后，我不得不提的是，在纯数学领域，不管你信不信，Fourier级数的收敛性问题导致了 G. Cantor 在 20 世纪初研究并发明了无穷大理论集，并区分无限集的不同基数。

1.2 周期性现象(Periodic phenomena)

要开始学习Fourier级数课程，首先要从周期函数开始，这些函数表现出有规律的重复模式。没有必要将周期性作为一种重要的物理(和数学)现象——您很可能在几乎每门课程中都看到了周期性行为的示例和应用。我只想提醒您，周期性通常以两种形式出现，有时相关，有时无关。一般来说，我们根据周期性现象是时间周期性(periodic in time)还是空间周期性(periodic in space)来思考周期性现象。

1.2.1 时间和空间(time and space)

在时间周期性的情况下，您就会遇到类似这些现象，例如，您站在海洋中的固定点(或交流电路上的固定点)，波浪(或电流)以规则的、重复出现的波峰和波谷模式冲刷您。波的高度是时间的周期函数。声音是另一个例子。声音以纵向压力波的形式到达您的耳朵，这是空气的周期性压缩(compression)和稀疏(rarefaction)。

在空间周期性的情况下，你就会遇到类似这些现象，比如说，你拍了一张照片，然后你就会观察到重复的模式。

1.2.1.1 时间和空间周期性在波动中最自然地结合在一起

以一个空间维度的情况为例，考虑沿弦传播的单个正弦波。对于这样的波，时间周期性由频率(注：很多工程类书籍使用 f 来表示频率,也很自然。因为使用 f 与通用函数 f 冲突，因此，我们在文中使用 𝜈 (译注：希腊字线nu，不是拉丁字母v)，这也是常用的选择) 𝜈 度量，大小为 1/时间，单位为 Hz(Hertz = 循环数(“cycles”)/秒)(注：“cycles”既不是大小也不是单位。它是一个重复模式中的一个完整模式)，空间周期性由波长 λ 度量，其大小为长度，对于特定的设置,其单位为任何方便的值。如果我们在空间中固定一个点并让时间变化(拍摄该点的波浪运动视频)，那么连续的波峰将以每秒 𝜈 次的速度经过该点，连续的波谷也是如此。如果我们固定时间并检查波在空间中的传播方式(拍摄快照而不是视频)，我们会看到连续波峰之间的距离是常数 λ，连续波谷之间的距离也是如此。

频率和波长通过方程 v = λ𝜈 相关联，其中 v 是传播速度。这个基本方程只不过是另一个基本方程的波动版本：速度 = 距离/时间。如果速度是固定的，就像真空中电磁波的速度一样，那么频率决定波长，反之亦然；如果你能测量其中一个，你就能找到另一个。对于声音，我们将频率的物理特性与音调的感知特性等同起来。对于可见光，频率被感知为颜色。频率越高，波长越短，频率越低，波长越长。通过这个简单的观察，我们已经遇到了对我们来说将是一个持久且统一的主题，即定义数量之间的相互关系。

1.2.1.2 更多关于空间的周期性例子

空间周期性发生的另一种方式是，当空间区域中存在重复模式或某种对称性并且与该区域相关的物理可观察量具有反映这一点的重复模式时。例如，晶体在空间中具有规则的、重复的原子图案；原子的排列称为晶格。描述晶体电子密度分布的函数是描述晶体的三维空间变量的周期函数。我提到这个例子，我们稍后会再讨论这个例子，因为与您可能想到的通常的一维例子相比，这里的函数具有三个独立的周期，对应于描述晶格的三个方向。

这是另一个例子，这次是二维的，这是Fourier分析的一个自然主题。考虑这些深色和浅色条纹(stripes)：

-------------------------------------图1. 深色和浅色条纹------------------------------------------------

毫无疑问，各个图像中都存在某种空间周期性行为。即使没有给出精确的定义，也可以合理地说，某些图案的频率较低，而另一些图案的频率较高，这意味着某些图案中每单位长度的条纹数少于其他图案。对于二维及更高维度的周期性，还有一个额外的微妙之处：“空间频率(spatial frequency)”然而我们最终定义它，它必须是一个向量，而不是一个数字。我们一定会说，条纹在某个方向上以一定的间距呈现。

这种周期性条纹和生成它们的函数是一般二维图像的构建块。当没有颜色时，图像是不同灰度的二维阵列，这可以通过这种交替条纹的合成(Fourier合成)来实现。以这种方式构建图像存在有趣的感知问题，并且颜色更加复杂。

1.2.2 定义，例子，以及其后的事情(Definitions，examples，and things to come)

需要确定的是，我们所有人都知道我正在讨论的是什么。对于一个函数 f (t) (-∞< t < ∞)，如果对于所有的 t ，存在一个数 T > 0 ，使得

f (t + T ) = f (t) ，

则称函数 f (t) 是具有周期为 T 的周期函数。如果存在这样的T ，则使得等式成立的最小的一个 T 称为函数 f (t) 的基本周期(fundamental period)(注：有时候，当人们只是说“周期”的时候，他们指的就是最小周期或者基本周期。(例如，我通常也是这样。) 而有时候他们又不是指最小周期，具体何指要询问他们本人)。基本周期的每一个整数倍也是一个周期(注：从重复图的几何图可以清楚地看出这是成立的。用代数表示，即，若 n ≥ 1，则我们直观地看到，f (t + nT ) = f (t + (n – 1)T + T ) = f (t + (n – 1)T ) = f (t)。则，为了在代数上看到为什么 T 的负的倍数也是其周期，我们利用已经为正数的倍数建立了这个关系，对于所有 n ≥ 1,我们有，f (t - nT ) = f (t - nT + nT ) = f (t) ):

f (t + nT ) = f (t) (n = 0，±1，±2,... ) 。

在这里，我一直称变量 t ，因为我总得称乎一个名称，但是其定义是通用的，并不意味着暗示表示时间上的周期性。

f (t) 在任何长度为 T 的区间内的图形都是一个循环(cycle)，也称为一个周期(period)。在几何上，这个周期性条件意味着，一个周期(任意一个周期)内的形状决定了每一处的图像：每个周期内的图像都是重复的。如果有一道题要求你将这个思想转化为一个公式(周期化函数表达式)，那么如果你知道了一个周期内的函数，你就知道了函数在其定义域内的一切形状。

对于每一个读者说，这些都是老调重弹了，但是，我还想举例说明几点。考虑函数

$f (t) = cos(2\pi t) + \frac{1}{2} cos(4\pi t)$ ，

它的图像如下图所示。

-----------------图 2. 函数 $f (t) = cos(2\pi t) + \frac{1}{2} cos(4\pi t)$ 的图像-------------------

此函数中的单项的周期分别为 1 和 1/2，但是其和的周期为1：

$f (t) = cos(2\pi (t+1)) + \frac{1}{2} cos(4\pi (t+1))$

------- $= cos(2\pi t+2\pi) + \frac{1}{2} cos(4\pi t+4\pi)$

------- $= cos(2\pi t) + \frac{1}{2} cos(4\pi t)$

------- $=f (t)$

对于所有的t ，满足 f (t + T )= f (t) 的周期没有比 T 更小的值了。整体模式每 1 秒重复一次，但如果这个函数表示某种波，你会说它的频率是 1 Hz 吗？出于某种原因，我不这么认为。它有一个周期(period)，但您可能会说它具有或者包含2个频率，一个是频率为 1 Hz 的余弦，另一个是频率为 2 Hz 的余弦。

将周期函数相加的主题值得作为一个通用问题加以研究。

两个周期函数之和仍是一个周期函数吗？

答案是否。因为存在非比数(irrational number)的缘故。例如，cos(t) 和 $cos(\sqrt{2}t)$ 分别单独都是周期函数，且周期分别为 2π 和 $2\pi /\sqrt{2}$ 。但是，其相加的和函数 $cost(t)+cos(\sqrt{2}t)$ 却不是周其函数(注：留作一个问题让读者思考)。

下面是一段平面图， $f_1(t) = cos(t) + cos(1.4t)$ (左边)是周期函数， $f_2(t) = cos(t) + cos(\sqrt{2}t)$ (右边)是非周期函数。存细看，它们是不相等的。

-----------------图 3. 周期函数 $f_1(t)$ 与非周期函数 $f_2(t)$ 的图像对比-------------------------

$f_1(t)$ 的周期是多少？读者可以去求解它。

我知道，具有讽刺性的是，当计算机必须采用比率数(rational number)的近似值来绘制图像时，在绘制计算机显示图像的时候却是依赖的非比数。我使用数学软件Mathematica来绘制这些函数图像，我并不知道它用什么值作为 $\sqrt{2}$ 的近似值。这是多么人为的一个例子？一点也不人为，下面我们将看到原因。

1.2.3 构建块：更多例子(Building blocks: a few more examples)

体现时间周期性的一个经典例子是谐振子(harmonic oscillator), 无论是弹簧上的质点(mass)(无摩擦)还是 LC 电路中的电流(无电阻)，都是如此。几乎每节物理课都会详细讨论谐振子。之所以如此，是因为这是唯一可以详尽地处理的问题。嗯，不完全正确——正如我所指出的，二体(two-body)问题也已得到彻底解决。

谐振子的系统状态通过一个正弦函数描述，比如，如下形式：

A sin(2π𝜈t + 𝜙 ) (译注：𝜙 的 LaTex 宏为mathalpha)。

这个表达式中的参数分别是，幅度(amplitude)A，频率 𝜈，以及相位 𝜙 (译注：汉语中，“相”即“显示”，相位即“显示初始位置的量”)。这个函数的周期是 1/𝜈 ，因为，

$A sin(2\pi vt + \phi ) = A sin(2\pi v(t + \frac{1}{v}) + \phi )$

$= A sin(2\pi vt + 2\pi + \phi )$

$= A sin(2\pi vt + \phi )$

空间周期性的经典例子，也是整个主题的起点，是圆环中的热量分布。环以某种方式被加热，然后热量以某种方式通过材料自行散发。最终，我们期望环上的所有点都具有相同的温度，但短期内它们不会。在每个固定时间，环周围的温度如何变化？

在这个问题中，周期性来自于环的坐标描述。将环想象成一个圆圈。然后环上的一点由角度 θ 确定，并且取决于位置的这个量是 θ 的函数。因为，在圆周上，对角度θ 的这一点和对应θ + 2π 的这一点是同一个点，在圆周上描述物理量(比如，描述温度的量)的任意连续函数，都是以 2π 为周期的θ 的周期函数。

温度分布不是由简单的正弦曲线给出的。将正弦曲线之和视为温度分布模型是Fourier的热门思想：

$\displaystyle \sum_{n=1}^{N}A_n sin(n \theta +\phi_n)$ 。

对时间的依赖性体现在系数 $A_n$ 中。随后，我们会更完整地学习这个问题。

无论物理背景如何，三角和中的各个单项(例如上面的项)都称为谐波(harmonics)，这一术语来自音高(musical pitch)的数学表示。这些项以不同的幅度和相位贡献总和，并且这些量可以具有任何值。另一方面，这些项的频率是基频的整数倍(译注：这是谐波的特点，只要是谐波，它一定有一个基频率，这个“加和”的波中任意其它波的频率一定是基频率的整数倍；那么，这种波体现在音乐中，就是和声，即和谐声，是有节奏有规律的悦声，而非杂乱无章的噪音，这便是“谐波”这个术语的本意)。以上总和的频率为 1/2π。由于频率是基频的整数倍，因此其总和也是周期为 2π 的周期函数。 $A_n sin(n \theta +\phi_n)$ 具有周期2π/n ， 但总和的周期不能比出现的最长周期短，因此，它的周期是2π 。

1.2.3.1音高和调音(Musical pitch and tuning)

音高和音符(musical notes)的产生是一种周期性现象，与我们一直在考虑的一般类型相同。音符可以通过振动琴弦或其他可以定期振动的物体(例如嘴唇、簧片或木琴的琴杆)来产生。工程问题是如何给乐器调音。调音主题有着令人着迷的历史，从古希腊人基于整数比率的自然调音，到等律音阶理论(这是当今使用的调音系统)。这个系统基于 $2^{(1/12)}$ ，这是一个非比数。

等律音阶中有 12 个音符，从任何给定音符到同一音符高八度，并且两个相邻音符的频率具有比率 $2^{(1/12)}$ 。音阶中的音符是 $cos(2\pi.440. 2^{(n/12)}t)$ (从 n = 0 到 n = 12)。若一个频率为 440 Hz(合奏(concert) A)的 A 被描述为

A = cos(2π.440 t )，

那么在平均律音阶中，从 A 开始的 6 个音符D# 由

$D\# = cos(2\pi.440\sqrt{2} t )$

给出。

一起演奏 A 和 D# 基本上给出了我们之前得到的信号 $cos(t )+ cos(\sqrt{2}t )$ 。我不会判断它听起来是否好——它是三全音，增四度，“音乐中的魔鬼”。

当然，当你给钢琴调音时，你不会不合理地收紧琴弦。艺术在于做出正确的近似。对此有很多讨论；参见，例如，

http://www.precisionstrobe.com/

要阅读有关一般调音的更多信息，请尝试

http://www.wikipedia.org/wiki/Musical tuning

以下是第一篇参考文献中的一段话，描述了良好调音的必要性：

音乐技术发生了两项发展，需要改变纯音的音律。随着音品乐器的发展，在设置音品进行调音时出现了一个问题，即在琴颈上的两根琴弦上演奏八度音阶会产生不纯的八度音阶。同样，将风琴设置为恰到好处的音阶会显示出具有令人不愉快特性的和弦。对这种情况的妥协是开发平均色调量表。在该系统中，调整了几个间隔以增加可用键的数量。随着 18 世纪作曲技术的发展，谐波调制的使用越来越多，人们提倡采用等律音阶。J.S.Bach就是这些倡导者之一，他出版了两本完整的作品，名为《平均律钢琴曲集》(The Well-tempered Clavier)。这些作品中的每部都包含以 12 个大调和 12 个小调分别写成的 24 首赋格曲，并证明使用相同的调律音阶，可以将音乐写入并转移到任何调。

1.3 周期函数相加(It All Adds Up)

从简单的单个正弦曲线，我们可以通过对正弦曲线求和来构建更复杂的周期函数，现在只考虑有限和。为了突出基本思想，为了方便，进行了一些标准化并考虑周期为 1 的函数。这简化了一些写法，并且如果周期不是 1，则很容易修改公式以满足需求。周期为 1 的基本函数是 sin(2π t )，所以我们上面简要考虑的Fourier类型和现在看起来像

$\displaystyle \sum_{n=1}^{N}A_n sin(2\pi nt +\phi_n)$ 。

无论显示每个谐波的幅度和相位有什么心理上的优势，事实证明它是一种计算起来有点尴尬的表达方式。更常见的做法是将通用三角和表达式写为

$\displaystyle \sum_{n=1}^{N}[a_n cos(2\pi nt)+b_n sin(2\pi nt)]$ 。

使用正弦函数的加法公式，您可以在两个表达式之间传递——它们是等价的(将其视为练习)。

若我们包括一个常量项(n = 0)，我们写成

$\frac{a_0}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^{N}[a_n cos(2\pi nt)+b_n sin(2\pi nt)]$ 。

之所以将常量项写成一个常数与分数 $\frac{1}{2}$ 的乘积的形式是因为，正如你将在下面看到的那样，对于这样的求和表达式，它与另外一个表达式仍然匹配且更好。在电气工程(electrical engineering)中，与在“直流电中(direct current)”的电流一样，这个常数项通常被称为 DC分量(译注：直流分量(direct current))，其它的项，即周期项，交替项，称为“交流分量(alternating current)”，或称 AC分量。除了DC分量，谐波分量分别具有周期 1，1/2，1/3，...，1/N ，或者分别具有频率1，2，3，...，N 。因为单项谐波的频率是此和式中最低频率的整数倍，这个和式的周期是 1 。

使用复指数(Using complex exponential)。如果我们使用复指数表示正弦和余弦函数，那么对这种三角和的代数运算就会变得无比容易。如果你感到生疏(rusty)，请参阅附录 B关于复数的讨论，其中讨论了复指数以及如何使用它们而无需担心表示真实信号，以及负频率含义问题的答案。后者即将亮相。

我提醒你，有下面的等式关系：

$cos(t ) = \frac{e^{it} + e^{-it}}{2} , sin(t ) = \frac{e^{it} - e^{-it}}{2i}$ 。

(译注：根据 Euler 公式， $e^{it} = cos(t ) + i sin(t )$ ，令变量为 –t，代入公式，得到 $e^{-it} = cos(t ) - i sin(t )$ ,结合这两个公式，可求得以上等式关系。)

因此，有

$cos(2\pi nt ) = \frac{e^{2\pi int} + e^{-2\pi int}}{2} , sin(t ) = \frac{e^{2\pi int} - e^{-2\pi int}}{2i}$ 。

我们有

$\frac{a_0}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^{N}[a_n cos(2\pi nt)+b_n sin(2\pi nt)]$

$\frac{a_0}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^{N}(a_n \frac{e^{2\pi int} + e^{-2\pi int}}{2} -ib_n \frac{e^{2\pi int} - e^{-2\pi int}}{2})$ (在正弦项中使用1/i = -i)

$\frac{a_0}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^{N}[\frac{1}{2}(a_n-ib_n)e^{2\pi int}+ \frac{1}{2}(a_n+ib_n)e^{-2\pi int}]$

$\frac{a_0}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^{N}[\frac{1}{2}(a_n-ib_n)e^{2\pi int}]+ \sum_{n=1}^{N}[\frac{1}{2}(a_n+ib_n)e^{-2\pi int}]$

我想将这个和式写成单项表达式，这个和式运算覆盖负数和正数的n。为了实现这个目的，

令

$c_n=\frac{1}{2}(a_n-ib_n)$ 和 $c_n=\frac{1}{2}(a_n+ib_n)$ (n = 1,2,3,...,N )，

且令 $c_0 = \frac{a_0}{2}$ 。

第一项和式保持不变，将第二项和式写成 n 从 -1 到 –N 。因此，表达式变成了

$\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{N}c_ne^{2\pi int}+ \sum_{n=-1}^{-N}c_{n}e^{2\pi int}$

因此，将前面的这些等式结合在一起，就产生了

$\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{N}[a_n cos(2\pi nt)+b_n sin(2\pi nt)]=\sum_{n=-N}^{N}c_{n}e^{2\pi int}$ 。

负频率是n的负值。现在，你可以看到，为什么我们将DC分量写成了 $\frac{a_0}{2}$ (译注：这一项写成 $\frac{a_0}{2}$ 的原因，是为了统一Fourier系数的计算公式)。

在和式的最后的表达式中，系数 $c_n$ 是复数。若我们假设信号是实信号——在前面的计算中我们不必这么做——则它们的a和b的定义蕴含以下关系：

$c_{-n} = \overline{c_n}$ (译注： $\overline{c_n}$ 表示复数 $c_n$ 的共轭复数 ) 。

特别地，对于n 的任意值， $c_n$ 和 $c_{-n}$ 的幅度是相等的：

$|c_n|=|c_{-n}|$ 。

注意，当 n = 0 时，我们有

$c_0 = \overline{c_0}$ ,

这意味着， $c_0$ 是实数；这与 $c_0$ 等于实数 $\frac{a_0}{2}$ 相符。

共轭对称性 $c_{-n} = \overline{c_n}$ 对实信号而言是非常重要的。若我们从表达式

$f(t)=\displaystyle \sum_{n=-N}^{N}c_{n}e^{2\pi int}$

开始，其中 $c_n$ 是复数，则当且仅当系数满足 $c_{-n} = \overline{c_n}$ 时 ，f (t) 是实信号。假如 f (t) 是实信号，则

$\displaystyle \sum_{n=-N}^{N}c_{n}e^{2\pi int}=\overline{\sum_{n=-N}^{N}c_{n}e^{2\pi int}}=\sum_{n=-N}^{N}\overline{c_{n}}\overline{e^{2\pi int}}$

$= \displaystyle \sum_{n=-N}^{N}\overline{c_{n}}e^{-2\pi int}$ ，

等号两边的等价项给出关系 $c_{-n} = \overline{c_n}$ 个关系成立。对于 n = 0，我们有 $c_{0} = \overline{c_0}$ , 因此， $c_{0}$ 是实数。对于 n ≠ 0 ,我们可以将 $c_{n} e^{2\pi int}$ 与 $c_{-n} e^{-2\pi int}$ 编组，则

$c_{n} e^{2\pi int} +c_{-n} e^{-2\pi int}= c_{n} e^{2\pi int} +\overline{c_{n}} e^{\overline{2\pi int}}=2Re\{ c_{n} e^{2\pi int} \}$ 。

则

$\sum_{n=-N}^{N}c_{n}e^{2\pi int}=c_0+\sum_{n=1}^{N}\{2Re[ c_{n} e^{2\pi int} ]\}$

$= c_0 + \displaystyle 2Re\{\sum_{n=1}^{N}c_{n} e^{2\pi int} \}$ ，

因此，复指数的和产生了实信号。

1.3.1 消没于c(Lost at c)

假设您面对一个看起来很复杂的周期性信号。您可以将信号视为随时间变化的信号，但是，遵循的推理始终适用于任何类型的一维周期性现象。无论如何，我们可以假设周期为 1。我们可以将信号表示为周期 1 的更简单周期信号的总和吗？

假设我们可以将函数 f (t) 写为一个和式

$f(t)=\displaystyle \sum_{n=-N}^{N}c_{n}e^{2\pi int}$

则我们称这个函数为信号 f (t) 。表达式中未知量是系数 $c_n$ 。我们可以求出这个系数吗？

(参见Jean Sheppard在<<A Fistful of Fig Newtons>>系列中的这个故事“Lost at c”)。

根据什么来求解系数？我们假设 f (t) 是已知的，因此，我们希望得到一个根据f (t)的系数表达式。让我们直接使用代数法，尝试对某个具体的 k 分离系数 $c_k$ 。首先，从和式中抽出第 k 项而得到

$c_{k}e^{2\pi int}=f(t) - \displaystyle \sum_{n=-N,n \neq k}^{N}c_{n}e^{2\pi int}$

等式两边分别乘以 $e^{-i(2\pi kt) }$ 而得到单独的 $c_k$ ：

$c_{k}=f(t)e^{-2\pi int} - e^{2\pi int} \displaystyle \sum_{n=-N,n \neq k}^{N}c_{n}e^{2\pi int}$

---- $=f(t)e^{-2\pi int} - \displaystyle \sum_{n=-N,n \neq k}^{N}c_{n}e^{-2\pi ikt}e^{2\pi int}$

---- $=f(t)e^{-2\pi int} - \displaystyle \sum_{n=-N,n \neq k}^{N}c_{n}e^{2\pi i(n-k)t}$ 。

好吧，太棒了，我们已经设法根据所有其他未知系数求解 $c_{k}$ 。

这就是代数所能达到的极限，当代数耗尽时，绝望的数学家将转向微积分，即微分或积分。这里有一个提示：微分不会对你求解这个问题有任何帮助。

需要另外一种思想，这种思想就是把双方从0到1整合起来；如果你知道长度为 1 的间隔内会发生什么，那么你就知道其它间隔内的一切——这就是周期性对你的作用。我们将 0 到 1 的区间作为函数的基周期，但任何长度为 1 的区间都可以，正如我们将在下面解释的那样(这也是周期性对你有用的)。我们有

$c_{k} = \int_{0}^{1}c_{k} dt=\int_{0}^{1}f(t)e^{-2\pi int}dt - \int_{0}^{1}(\displaystyle \sum_{n=-N,n \neq k}^{N}c_{n}e^{2\pi i(n-k)t})dt$

----- $=\int_{0}^{1}f(t)e^{-2\pi int}dt - (\displaystyle \sum_{n=-N,n \neq k}^{N}c_{n}\int_{0}^{1}e^{2\pi i(n-k)t})dt$

就像在微积分中一样，我们可以通过以下方式计算复指数的积分：

$\int_{0}^{1}e^{2\pi i(n-k)t})dt=\frac{1}{2\pi i(n-k)}e^{2\pi i(n-k)t}]_{t=0}^{t=1}$

------------------------ $=\frac{1}{2\pi i(n-k)}[e^{2\pi i(n-k)}-e^{0}]$

------------------------ $=\frac{1}{2\pi i(n-k)}[1-1]$ ((记住， $e^{2\pi.integer} = 1$ )

------------------------ $= 0$ 。

注意，在这儿，必须 n ≠ k 。

以上和式中的所有项积分为0！我们已经求得第 k 项系数的公式：

$c_{k}=\int_{0}^{1}e^{-2\pi ikt}f(t)dt$ 。

让我们总结一下，并仔细记下我们在这里做了什么，以及没有做什么。我们已经证明，如果我们可以将周期 1 的周期函数 f ( t ) 写为和式

$f(t) = \displaystyle \sum_{n=-N}^{N}c_{n}e^{2\pi int}$ ，

则其系数 $c_n$ 一定由

$c_{k}=\int_{0}^{1}e^{-2\pi ikt}f(t)dt$

给出。我们还没有证明每一个周期函数都可以按这种方式表达。

顺便说一句，在前面的计算中，我们都不需要假设 f (t) 是实信号。然而，如果我们确实假设 f (t) 是实信号，则让我们看看，系数公式是如何与 $\overline{c_n}=c_{-n}$ 一致的。我们有

$c_{n} = \overline{\int_{0}^{1}e^{-2\pi int}f(t)dt}=\int_{0}^{1}\overline{e^{-2\pi int}} \hspace{0.2cm} \overline{f(t)}dt$

---- $=\int_{0}^{1}e^{2\pi int}f(t)dt$ (由于f (t)是实信号，t和dt也是如此)

---- $=c_{-n}$ (按照 $c_{n}$ 的定义)。

1.3.2 Fourier系数(Fourier coefficients)

$c_n$ 称为(Fourier级数) f (t)的Fourier系数，因为这种思想是由Fourier首次引入到数学和科学中的(只不过当时使用的是表达式的正弦和余弦表示形式)。和式

$\displaystyle \sum_{n=-N}^{N}c_{n}e^{2\pi int}$

称为(有限) Fourier级数。(译注：Fourier级数的指数项是正号。)

如果您想在数学上时髦并在鸡尾酒会上给您的朋友留下深刻印象，请使用符号

$\hat{f}(n)=\int_{0}^{1}e^{-2\pi int}f(t)dt$ (译注：Fourier系数的指数项是负号。)

表示Fourier系数。读作“n的f帽( f hat of n)”。时刻关注“社会地位”(Always conscious of social status)(译注：大概意思是指使用数学符号要注意当下的业界规范，尽量按规范使用)，我将使用这个符号表示Fourier系数。

注意，特别是，第 0 项Fourier系数是函数的均值(average value或mean value):

$\hat{f}(0)=\int_{0}^{1}f(t)dt$ 。

正如所允诺的那样，现在，让我们来验证——任意长度为1的区间都可以用于计算 $\hat{f}(n)$ 。

在长度为 1 的区间上积分就是从 a 积分到 a + 1，其中，a 是任意数(译注：上面提到过，也可以取任意长度的区间，因为了简便取长度为1的区间)。我们可以通过对 a 求导数来检查积分如何作为 a 的函数产生变化：

$\frac{d}{da}[\int_{a}^{a+1}e^{-2\pi int f}f(t)dt]=e^{-2\pi in(a+1)}f(a+1)-e^{-2\pi ina}f(a)$

----------------------------------- $=e^{-2\pi ina}e^{-2\pi in}f(a+1)-e^{-2\pi ina}f(a)$

----------------------------------- $=e^{-2\pi ina}f(a)-e^{-2\pi ina}f(a)$

(使用 $e^{-2\pi in} = 1$ 和 $f (a+1) = f (a)$ (周期性))

---------------------------------- $=0$ 。

换句话说，积分

$\int_{a}^{a+1}e^{-2\pi int}f(t)dt$

与 a 无关。因此，特别是，

$\int_{a}^{a+1}e^{-2\pi int}f(t)dt=\int_{0}^{1}e^{-2\pi int}f(t)dt=\hat{f}(n)$ 。

这种表示法的一个常用的实例是

$\hat{f}(n) = \int_{-1/2}^{1/2}e^{-2\pi int}f(t)dt$ 。

有时候，这种选择是有帮助的——即，对称区间上的积分。

1.3.2.1 对称关系(symmetry relations)。

当 f (t) 是实信号的时候，我们已经看到其Fourier系数的对称性

$\hat{f}(-n)=\overline{\hat{f}(n)}$ 。

从对称性可推断出

$|\hat{f}(-n)|=|\hat{f}(n)|$ 。

换句话说，Fourier系数的大小(magnitude)是 n 的偶函数。

若 f (t )其本身具有对称性，则其Fourier系数也具有对称性。例如，假设 f (t )是偶函数，即，f (-t ) = f (t )，但是不必假设 f (t ) 是实信号。对于第 n 项Fourier系数,我们有

$\hat{f}(-n)= \int_{0}^{1}e^{-2\pi i(-n)t}f(t)dt = \int_{0}^{1}e^{2\pi int}f(t)dt$

---------- $= -\int_{0}^{-1}e^{-2\pi ins}f(-s)ds$ (使用 t = -s 并调换积分次序)

---------- $= \int_{-1}^{0}e^{-2\pi ins}f(s)ds$ (翻转极限并使用f (t)是偶函数的假设)

---------- $=\hat{f}(n)$ (你可以在任意一个周期的区间上积分，在这里是从 -1 和 0这个区间)。

这就证明了， $\hat{f}(n)$ 其自身是 n 的偶函数。将这个特性与对实函数的 $\hat{f}(-n)=\overline{\hat{f}(n)}$ 特性组合起来，我们可以更进一步地推导出 $\hat{f}(-n)=\overline{\hat{f}(n)}$ ，并将这两个属性放到一起：

$\bullet$ 若 f (t) 是偶函数，则其 Fourier系数 $\hat{f}(n)$ 也是偶函数。

$\bullet$ 若 f (t) 是实信号且为偶函数，则其 Fourier系数 $\hat{f}(n)$ 也是实信号且为偶函数。

如果 f (t) 是奇函数，即，f (-t) = - f (t),则又是什么情况呢？重复前面的计算(以及说明)，但这次使用奇函数：

$\hat{f}(-n)= \int_{0}^{1}e^{-2\pi i(-n)t}f(t)dt = \int_{0}^{1}e^{2\pi int}f(t)dt$

---------- $= -\int_{0}^{-1}e^{-2\pi ins}f(-s)ds$ (使用 t = -s 并调换积分次序)

---------- $= -\int_{-1}^{0}e^{-2\pi ins}f(s)ds$ (翻转极限并使用假设f (t)是奇函数)

--------- $=-\hat{f}(n)$ (你可以在任意一个周期的区间上积分，在这里是从 -1 和 0这个区间)。

这就证明了， $\hat{f}(n)$ 其自身是 n 的奇函数。现在，除此之外，我们假设 f (t)是实信号，则结合 $\hat{f}(-n)=\overline{\hat{f}(n)}$ 给出 $\hat{f}(n)=-\overline{\hat{f}(n)}$ , 意味着：

$\bullet$ 若 f (t) 是奇函数，则其 Fourier系数 $\hat{f}(n)$ 也是奇函数。

$\bullet$ 若 f (t) 是实信号且为奇函数，则其 Fourier系数 $\hat{f}(n)$ 也是奇函数且为纯虚信号。

这些特性对于您的计算的一致性检查很有帮助。假设您正在计算特定函数的Fourier系数(这种情况可能会发生)，那么Fourier系数应该继承该函数的对称性。

试检查：

在我们将在本书中展开的一个故事中,我们将Fourier系数

$\hat{f}(n)=\int_{0}^{1}e^{-2\pi int}f(t)dt$

看成是 f 到一个新函数 $\hat{f}$ 的一种变换(transform)。只不过，f (t)是针对连续变量 t 定义，而并换后的函数 $\hat{f}$ 定义在整数上。造成这种情况的原因比简单地求解Fourier级数中的未知系数要深刻得多。

1.3.3 周期，频率，和频谱(Period, frequencies, and spectrum)

现在我们给出一些更通用的观察和一些术语。本着通用性的精神，我现在允许无限Fourier级数进入“竞技场(arena)”，不用担心收敛问题。下面我们假设 f (t ) 是周期为 1 的实数周期信号，表示为级数

$f(t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi int}$ 。

对于这样的函数，可能只有有限数量的非零系数；或者也许除了有限数量的系数之外的所有系数都是非零的；或者可能没有一个系数为零；或者也许有无限数量的非零系数，但也有无限数量的零系数——我认为这就是一切。任何这样的可能性都可能发生。同样有趣且对于某些应用而言有用的是，人们可以说出有关系数“大小(size)”的信息。除了收敛之外，我们还将回到对这个问题的讨论。

早些时候，我经常使用更具几何意义的术语“周期(period)”，而不是更具物理意义的术语“频率(frequency)”。如上所述，讨论以上Fourier级数的周期是很自然的。周期为1。函数值按照 f (t + 1) = f (t) 的规则重复，因此，所有的单项也是如此(尽管对于所有 n ≠ 1 的项， $\hat{f}(n)e^{2\pi int}$ 具有严格的更短周期 1/ n )。(按照惯例，在谈论周期或频率时，我们有点忽略常数项 $c_0$ 它显然是周期 1 或任何其他周期的周期。) 如前所述，谈论“频率”似乎并不自然。“频率”(它应该是1 Hz 吗？)。这没有抓住重点。相反，能够将 f (t)写成Fourier级数意味着它是由许多谐波、许多频率、正数和负数、也许是无限多数合成的(synthesized)。已知周期信号中出现的频率 n 的集合是信号的频谱。这些频率是满足 $\hat{f}(n) \neq 0$ 时的数 n。然而，严格地讲，是频率(如，±2，±7，±325)组成了频谱。人们通常也用词汇“spectrum(频谱)”来指称(非零的) $\hat{f}(n)$ (如， $\hat{f}(\pm 2)$ ， $\hat{f}(\pm 7)$ ， $\hat{f}(\pm 325)$ )。这种混用(ambiguity)不应该引起任何问题。

让我们回顾一下实信号的对称性关系 $\hat{f}(-n)=\overline{\hat{f}(n)}$ 。由于存在这种关系，Fourier系数 $\hat{f}(n)$ 和 $\hat{f}(-n)$ 要么都为零，要么都为非零。假如从某一点开始，Fourier系数全为零，比如说，对于 | n | > N ， $\hat{f}(n)=0$ ，则通常称信号从那一点后没有了频谱。你也可以说，在这种情况下，信号是带限的(bandlimited)，信号的带宽(bandwidth)是2N 。

第 n 项Fourier系数的平方大小 $|\hat{f}(n)|^{2}$ 称为(正负)谐波 $e^{\pm 2\pi int}$ 的能量(energy)。(稍后会详细介绍。) 由平方大小 $|\hat{f}(n)|^{2}$ 构成的序列称为能量谱(energy spectrum)或者信号的功率谱(power spectrum)(在不同的领域使用不同的名称)。这是一个基本的事实，称为Rayleigh[réili]恒等式(Rayleigh’s identity)(注：实际上是Rayleigh勋爵(Lord Rayleigh)，第三代Rayleigh男爵( the third Baron Rayleigh)，1842年—1919年，英国物理学家),即，

$\int_{0}^{1}|f(t)|^{2}dt=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}|\hat{f}(n)|^{2}$ 。

在1.7节我们将回到对这个问题的讨论。

1.3.3.1 查看信号( Viewing a signal )：为什么乐器发出的声音听起来不同？(Why do musical instruments sound different? )

频率和Fourier系数提供了信号的配方，事实证明，通过频谱透镜查看信号非常有用，因此人们发明了频谱分析仪(spectrum analyzer)来显示信号。如今，您可以在智能手机上安装一个应用程序来执行此操作，通常与示波器结合使用以及时显示信号图像。你真的应该选择一个并做你自己的实验。当然，每个 EE (译注：电气工程师(Electrical Engineer)或电子工程师(Electronics Engineer))在他或她的学习过程中都会接触到这些设备。让我们看看一些实际信号的频谱图像是什么样的。

至于标题中的问题，更准确地说，为什么两种乐器即使演奏相同的音符，听起来也会不同？这是因为乐器产生的音符不是单一频率的单个正弦波，也不是 440 Hz 的纯 A，而是许多正弦波的总和，每个正弦波都有自己的频率，并且每个正弦波贡献自己的能量。到达您耳朵的复杂波是多种成分的组合，两种乐器的声音听起来不同，因为它们产生不同的谐波以及谐波强度不同。

在这里，我用长号演奏 A 440，这是所有乐器中最浪漫的乐器。

---------------------图4-1 长号演奏 A 440的时间-电压图----------------------

--------------------------------------图4-2 长号演奏 A 440频谱图--------------------------

第一张图片是示波器向您显示的内容——随时间变化的波形。横轴是以毫秒为单位标记的时间，纵轴是跟踪变化气压的变化电压。

第二张图片是频谱图。该应用程序正在计算与不同频率相对应的Fourier系数，并以条形图的形式绘制它们的大小作为频率的函数(注：请记住，Fourier系数本身很复杂。该图不捕获有关阶段的信息。用于求得Fourier系数的算法是著名的快速Fourier变换(FFT)，我们稍后会研究它。它应用于信号的采样(因此是离散的)版本)。由于 $|\hat{f}(-n)|=|\hat{f}(n)|$ ,所以仅显示了正频率部分。横轴是以 kHz 为单位的频率，最高可达 20 kHz，大约是人类听觉的上限。我没有在垂直轴上显示单位，因为不同的应用程序有不同的显示频谱的约定。真正有趣的是条形的相对高度。一些谐波相对于其他谐波贡献更多的能量。

我请物理学家兼小号演奏家Randy Smith用他的小号演奏 A 440，并向我展示波形和频谱，他很乐意效劳：

---------------------图5-1小号演奏 A 440的时间电压图------------------------

---------------------图5-2小号演奏 A 440的频谱图-----------------------------

对于Randy的小号来说，高次谐波的能量比基波的能量更多。(此外，他的麦克风接收到一定量的环境噪音。) 以下是Randy的评述：

“我演奏的小号是 Benge，它有主音号的美誉。它给大乐队中的主唱带来一种明亮的音调或嘶嘶声。我认为在喇叭设计中决定这一点的主要参数是喇叭的天赋率(rate of flair)。 Benge在最后的时候会更加张扬，而其他喇叭则沿着最后一个水平延伸到钟声的方向逐渐地展开。这是一种微妙的效果，即使在并排比较中也很难看到。”

“我不得不说，我很惊讶(或者已经忘记)，高音部分似乎比基音有更多的能量！为什么耳朵甚至知道这是 A 440，而在我看来，我认为我会称这些音符为 A 2640！”

当然，波形看起来不同，但频谱呈现——频域——比时域描述更清楚地解释了为什么乐器听起来不同。在频域中，您可以看到成分有何差异以及差异有多大。我想说(我会)长号的声音更纯净，因为更多的谐波集中在基音周围。上课后，我们对我的长号和音高完美的歌手进行了比较。当她唱 A 时，几乎是 440 Hz 的纯尖峰。

频谱呈现还为各种信号处理提供了机会，而这些处理在时域中并不容易做到，更不用说想象了。将频谱图视为条形图，很容易想象将某些条形向下推，将其他条形向上拉，或消除整个条形块，这些操作在时域中的作用远非清晰。

顺便说一句，对于为什么管弦乐队(orchestras)选择双簧管(oboe)演奏 A 的问题，我从来没有找到令人满意的答案。我认为这可能是因为双簧管产生非常纯净的音符，大部分是完美的 440，很少有其他和声，这将是可取的。事实上，情况似乎恰恰相反。双簧管的频谱非常丰富，有大量的和声。我想知道这是否意味着无论你弹奏什么乐器，双簧管都有你的一点点，你身上也有双簧管的一点点。也许潜意识里这可以帮助你调整？

最后，阅读一些有关听力如何运作的文章。简而言之，您的内耳(耳蜗)会找到谐波及其数量(关键是共振)，并将这些数据传递到您的大脑进行合成。大自然一直都知道Fourier分析的存在！

1.3.4 更改周期，另一种互反关系(Changing the period, and another reciprocal relationship)

我们已经对公式进行了归一化——假设我们的信号具有周期 1，并且给出的公式也反映了这种选择。将基本周期更改为 1 以外的其它值并不会面临太大的挑战，而且这样还会引出一个非常重要的现象。

假设 f (t ) 具有周期 T 。假如我们调整(scale)时间，并令

g(t ) = f (T t) ，

则 g(t ) 具有周期 1 。

g(t + 1) = f (T (t + 1)) = f (T t + T ) = f (T t) = g(t)。

现在，假设我们将 g(t) 表示为 Fourier级数

$g(t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{2\pi int}$ 。

写成 s = T t ，因此，g( t ) = f (s) 。则

$f (s) = g(t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{2\pi int}= \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{2\pi ins/T}$ 。

对 f (s) 的谐波现在是 $e^{2\pi ins/T}$ 。

Fourier系数是什么样？对于 g( t ) 的展开式，具有周期1，

$c_{n} = \hat{g}(n) = \int_{0}^{1}e^{-2\pi int}g(t)dt$ 。

然后，同样做变量替换 s = T t ，根据 f (s) ，积分就成了

$\frac{1}{T} \int_{0}^{T}e^{-2\pi int/T}f(s)ds$ (译注：这一步太突兀，实际计算系数没这么简单)。

以上是f (s)在谐波 $e^{-2\pi int/T}$ 中的展开式的 Fourier系数。

总结一下，再次启用变量 t ，一个周期为 T 的函数的 Fourier 级数是

$f (t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{2\pi int/T}$ ，

其中，系数 $c_{n}$ 由公式

$c_{n} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}e^{-2\pi int/T}f(t)dt$

给出。我们可以再次采用符号 $\hat{f}(n)$ 来表示系数，但如果您这样做，请务必提醒自己现在的同期是 T 。系数 $c_{n}$ 仍然是函数的均值，因为我们将积分除以周期区间的长度。

和周期为1的情况一样，我们可以在任意长度为 T 的区间上积分来求得系数 $c_{n}$ 。例如，

$c_{n} = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}e^{-2\pi int/T}f(t)dt$ 。

评注：

正如我们稍后将会看到的那样，有理由将谐波取为

$\frac{1}{\sqrt{T}} e^{2\pi int/T}$ ，

则Fourier系数就为

$c_{n} = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T/2}^{T/2}e^{-2\pi int/T}f(t)dt$ 。

这对级数的最终公式没有影响，因为我们有 $\frac{1}{\sqrt{T}}$ 的两个因子进来，一个来自不同归一化的Fourier系数，另一个来自不同归一化的复指数。

1.3.4.1 时域-频域互反性(Time domain–frequency domain reciprocity)

对于函数 f (t) 的 Fourier级数

$f (t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{2\pi int/T}$ ，

我们可以多解读一点。在时域上，信号经过 T 秒后重复，而频谱中的点是 0，±1/ T ，±2/ T ，... ，每一个间隔 1/ T 间距。(当然，对于周期 T = 1，频谱中的间距也是 1。)这值得提升为一句格言(aphorism)：

$\bullet$ 时间周期越大，频谱中的间隔越小。 时间周期越短，频谱间距越大(译注：因为二者互为倒数关系)。

我们将看到这句格言的其它例子(注：我们还会有其他这样的格言——它们旨在帮助你组织对主题和应用的理解和直觉)。

宽松地思考长周期为慢振荡，短周期为快振荡，说服自己这个说法具有直观意义。如果你允许自己想象让 T ⟶ ∞，你也可以允许自己想象离散的频率集变成频率的连续体。当我们在下一章介绍Fourier变换时，我们将允许自己想象这一点。

1.4 两个例子和一个忠告(Two Examples and a Warning)

所有这些似乎看起来都很好，但是真的有效吗？ 给定一个周期函数，我们是否可以按照我们所描述的方式将其写为指数之和？让我们看一个例子。

考虑一个周期为 1 的方波，如下图 6 所示。

---------------------------图6. 方波时间幅度图-----------------------------

让我们来计算其Fourier系数。这个方波函数的表达式是

$f(t) = \left\{\begin{matrix} +1(0\leqslant t<\frac{1}{2}),\\ -1(\frac{1}{2}\leqslant t<1), \end{matrix}\right.$

然后，通过重复这个函数的模式将这个函数扩展为周期为0的周期函数。第0项系数是函数在 0 ≤ t ≤ 1 上的均值，这个均值为0 。对于其它项系数，我们有

$\hat{f}(n)=\int_{0}^{1}e^{-2\pi int}f(t)dt$

-------- $=\int_{0}^{1/2}e^{-2\pi int}f(t)dt-\int_{1/2}^{1}e^{-2\pi int}f(t)dt$

-------- $=[-\frac{1}{2\pi in}e^{-2\pi int}]_{0}^{1/2}-[-\frac{1}{2\pi in}e^{-2\pi int}]_{1/2}^{1}$

-------- $=\frac{1}{\pi in}(1-e^{-\pi in})$ 。

因此，我们应当考虑无穷Fourier级数

$\displaystyle \sum_{n \neq 0}^{}\frac{1}{\pi in} (1-e^{-\pi in})e^{2 \pi int}$ 。

我们可以将这个级数写成更简单的形式，首先注意到

$1-e^{-\pi in}=\left\{\begin{matrix} 0(n=even ),\\ 2(n=odd) ,\end{matrix}\right.$

因此，级数变成了(注：一致性检验：信号是实信号且是奇信号，Fourier系数 $\hat{f}(n)=2/(\pi in)$ 是一个 n 的奇函数，是一个纯虚数)

$\displaystyle \sum_{n \hspace{0.1cm} odd}^{}\frac{2}{\pi in} e^{2 \pi int}$ 。

现在，结合正负项，并使用

$e^{2\pi int} - e^{-2\pi int} = 2i sin(2\pi nt)$ (译注：使用Euler公式)。

将这个关系代入级数，并写成 n = 2k + 1 ,我们最后的答案是(译注：另一个一致性检查：信号是奇信号，且与Fourier系数仅有正弦项一致)

$\frac{4}{\pi} \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}sin[2\pi (2k+1)t]$ 。

这是什么级数？它在什么意义上收敛，如果收敛，它又是收敛于何值？我们可以通过求和将 f(t) 表示为Fourier级数吗？

下图分别是频率高达 11(k 从 0 到 5)和 31(k 从 0 到 15)的项之和。

----------------------------图7. 两个频率的对比图----------------------------------

我们看到了一个奇怪的现象。我们确实看到了方波的一般形状，但是在拐角处遇到了麻烦，我们在1.5节会回到这个主题。

回想起来，我们不应该期望用复指数的“有限”和来表示像方波这样的函数。为什么？因为连续函数(译注：复指数函数是连续的)的有限和是连续的，而方波具有跳跃不连续性。也许这是你一生中第一次遇到这样的情况——当时看起来毫无意义的微积分定理之一出现了：两个(或有限数量的)连续函数之和是连续的。无论我们能够对方波的Fourier级数表示得出什么结论，它都必须包含任意高频。

我选择了方波的例子，因为它很容易进行求解Fourier叶系数所需的积分。然而，产生高频的原因不仅仅是不连续性。取一个三角波，比如说，针对 |t| ≤ 1/2 ，定义函数为

$g(t) = \frac{1}{2}-|t| = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}+t(-\frac{1}{2}\leq t \leq 0) ,\vspace{0.2cm} \\ \frac{1}{2}-t(0 \leq t \leq +\frac{1}{2}), \end{matrix}\right.$

则按照其重复模式将其扩展为周其为1的周期函数。下图是5个周期的图像。

-------------------------图 8. 三角波g (t) 在5个周期内的时间波形图-------------------------------

这个信号是连续的，尽管存在拐角，但是没有跳跃点。

与方波相比，求Fourier系数需要更多的工作。第零个系数是三角形的面积，因此， $g(0)=\frac{1}{4}$ 。对于其它系数，当 n ≠ 0 时，

$\hat{g}(n) = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}e^{-2\pi int}(\frac{1}{2}-|t|)dt$

-------- $= \frac{1}{2} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}e^{-2\pi int}dt- \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}e^{-2\pi int}|t|dt$ 。

第一个积分是0 , 因此，

$\hat{g}(n) = - \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}e^{-2\pi int}|t|dt$

-------- $=\int_{-\frac{1}{2}}^{0}e^{-2\pi int}tdt-\int_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-2\pi int}tdt$ 。

对于每一个积分，令 u = t， $dv = e^{-2\pi int}dt$ ，利用分部积分法(注：如果您已经忘了分部积分法，那么回顾其公式如下所示，通常是这样写的：

$\int_{a}^{b}udv=[uv]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}vdu$ 。

在给定问题中应用分部积分就是确定被积函数的哪一部分是 u，哪一部分是 dv)。

积分不会直接组合，但它们以某种方式相关，通过以下观察可以为我们节省一些工作(您应该始终注意做的事情)。给第一个积分命一个名，比如，

$A(n) = \int_{-1/2}^{0}e^{-2\pi int} \hspace{0.1cm}t dt$ 。

则

$A(-n) = \int_{-1/2}^{0}e^{2\pi int} \hspace{0.1cm}t dt$

----------- $= \int_{1/2}^{0}e^{-2\pi ins} \hspace{0.1cm}(-s) d(-s)$ (代入 s = -t )

----------- $= -\int_{0}^{1/2}e^{-2\pi ins} \hspace{0.1cm}sds$ ；

这正是第二个积分，因此

$\hat{g}(n) = A(n) + A(-n)$ ，

现在就只剩下求解 A(n)了。另外，注意对 $\hat{g}(n)$ 的这个表达式，意味着 $\hat{g}(n)=\hat{g}(-n)$ ，这反过来意味着 $\hat{g}(n)$ 作为 n 的函数既是偶数也是实数，正如它应该的那样(一致性检验)。

我倾向于不在这里进行繁琐的分部积分演算，但我很高兴给出积分的结果：

$\int_{-1/2}^{0}e^{-2\pi int} \hspace{0.1cm}t dt=\frac{1}{4\pi^{2}n^{2}}[1+e^{\pi in}(\pi in-1)]$ 。

然后，求取 $\hat{g}(n)$ 便相当容易了：

$\hat{g}(n)=\frac{1}{2\pi^{2}n^{2}}[1-n\pi sin(n\pi)-cos(n\pi)]=\frac{1}{2\pi^{2}n^{2}}[1-cos(n\pi)]$ 。

这是偶函数且是实信号(再次检验)，事实上，

$\hat{g}(n)=\left\{\begin{matrix} 0 (n=even) ,\vspace{0.2cm} \\ \frac{1}{\pi^{2}n^{2}}(0=odd), \end{matrix}\right.$

方波也是如此，我们将 + n 项和 –n 项组合在一起，对于 n 是奇数：

$\hat{g}(n)e^{2\pi nt}+\hat{g}(-n)e^{-2\pi nt}=\frac{2}{\pi^{2}n^{2}}cos(2\pi nt)$ ,

则，我们可以将Fourier级数写成

$\frac{1}{4}+\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{\pi^{2}(2k+1)^{2}}cos[2\pi (2k+1)t]$ 。

这次级数仅涉及余弦，反映了三角波是偶函数的事实。

这里，对于方波来说，有无穷多个项。这是微积分定理之一的又一次出现：正弦和余弦可微到任何阶，因此它们的任何有限和也可微到任何阶。我们不能指望用有限Fourier级数能够准确地表示三角波，因为三角波有角。我们先来说一句格言：

$\bullet$ 周期函数的任何阶导数的不连续性都会迫使Fourier级数变得无穷大。

这并不是说如果函数可微到任意阶，那么Fourier级数必然是有限和。事实并非如此。

请考虑一个忠告：有限Fourier级数是一个例外。收敛一定是一个问题。

有限和在逼近三角波方面效果如何？下面是两个周期的图，分别显示了前 7 个和 15 个频率的近似值。

----------------------------图9. 有限和逼近三角波示------------------------------------

不错。没有像不连续的方波那样奇怪的摆动。角是圆的，因为它们必须是有限的和。

另请注意，对于三角波，系数以 $\frac{1}{n^{2}}$ 的方式减小，而对于方波，系数以近似 1/n的方式递减。这正是与方波不连续而三角波连续但其导数不连续有关。如果您有耐心，我们将在第 1.8.2 节中解释这一点以及更多内容。

这两个例子的一个共同点可以用另一句格言来表述：

$\bullet$ 信号需要携带高频才能产生尖角。

这句特殊的格言很重要，例如，在滤波问题中，我们稍后将详细考虑这个主题。目前：

$\bullet$ 滤波(通常)意味着在时间或频率上切断。

$\bullet$ 切断意味着产生尖角。

$\bullet$ 时间上的尖角意味着其频域中存在高频。

例如，这会出现在音乐信号处理中。如果您不小心避免过滤信号(音乐)时出现中断，则在播放信号时您会听到喀哒声(clicks)(高频症状)。急剧截止将不可避免地产生令人不满意的结果，因此您必须设计滤波器以尽量减少此问题。

1.5 相关数学知识，第1部分：收敛性(The Math, Part 1, A convergence result)

在此阶段，我们仅证明了是否可以将周期函数写为简谐波之和，

$f (t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{2\pi int/T}$ ，

然后是其Fourier系数，

$c_{n} = \hat{g}(n) = \int_{0}^{1}e^{-2\pi int}f(t)dt$

我们还有一些例子表明这种表示可能存在的困难； 即，可能需要无穷级数，然后收敛问题不可避免地出现了(loom)。

在这个简短的部分中，我们将提供一个关于收敛的可引用结果，足以(大部分)缓解您可能感受到的任何不安。稍后我们将提供一些进一步的细节，以及对迄今为止我们所看到的Fourier级数所提出的数学问题的不同看法。

1.5.1 你想要的数学定理(The theorem you want)

从周期为 1 的周期函数 f (t) 开始。假设这些积分很好，求出Fourier系数，并形成Fourier级数

$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi int}$ 。

你想知道的两件事情是：

(1) 如果你在级数中插入一个点 $t_0$ 例如，在 $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi int_{0}}$ 中，这个级数还收敛吗？

(2) 如果是这样的话，它收敛于 $f(t_0)$ 吗？即，你有

$f (t_0) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi int_0}$

吗？

您可能认为第一个问题的答案就足够了，但正如我们将看到的那样，这些问题是分开的，并且您想知道这两个问题各自的答案。

您想要这些问题的答案，因为您是一个务实、忙碌的人，使用有限近似进行计算，就像我绘制方波和三角波的近似一样(注：或者，如果你是一个数学家，你恰恰想知道)。您可能不会使用数学术语，而您在你的计算中使用的是(有限)部分和(partial sums)，表示为

$S_{N}(t) = \displaystyle \sum_{n=-N}^{N}\hat{f}(n)e^{2\pi int}$ 。

你想知道，如果这些表达式可以作为 f (t) 的良好近似，随着N的递增，级数越逼近 f (t) 。因此，你陷入了更想知道的状态：

(a) 对于一个点 $t_0$ ， $\displaystyle \lim_{N->\infty}S_{N}(t_0)$ 是否存在？

(b) 如果极限存在，我们有 $f(t_0)=\displaystyle \lim_{N->\infty}S_{N}(t_0)$ 吗？

您可能已经在微积分课程中看到了部分和的限制，但也可能已经有一段时间了。

所有关于Fourier级数收敛的问题都是关于相应部分和的极限的问题。不用担心，有一个很好的结果可以回答问题。让我给出一个易于引用的版本，然后是对术语的评述。

定理1 假设 f (t) 是一个周期性的且具有分段连续导数的分段连续函数。若 f (t) 在 $t_0$ 点处连续，则

$f(t_0)=\displaystyle \lim_{N->\infty}S_{N}(t_0)=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi int_0}$ 。

如果 f (t) 在 $t_0$ 点处具有跳跃的不连续性，且其左右极限分别为 $f(t_{0}^{+})$ 和 $f(t_{0}^{-})$ ，则

$\frac{1}{2}[f(t_{0}^{+})+f(t_{0}^{-})]=\displaystyle \lim_{N->\infty}S_{N}(t_0)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi int_0}$ 。

术语：说 f (t) 是分段连续的，就是说它在任何周期间隔上至多具有有限数量的有限跳跃不连续点(注：因此，f (t) 的值中的跳跃点(如果有的话)是有限的，特别地，f (t)是有界的——在一个周期区间内，它不可能在任意点变得无穷大。在f (t)是连续的某一点，我们有 $f(t_0) =\frac{1}{2}[f(t_{0}^{+})+f(t_{0}^{-})]$ ，因为左边和右边的极限是一致的。因此，这个定理的两份个部分实际上可以组合起来并仅需表述为，在任意 $t_0$ 点，有 $\frac{1}{2}[f(t_{0}^{+})+f(t_{0}^{-})]=\displaystyle =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi int_0}$ ,但没人这么认为)。假设同样的情况也适用于 f ’(t)。定理中识别的收敛类型通常称为逐点收敛(pointwise convergence)，这意味着如果插入一个点，就会得到收敛。

该定理通常以各种形式归功于德国数学家Lejeune Dirichlet，其假设通常称为Dirichlet条件。第 1.8 节对此有更多介绍。

这是一个非常合理的结果，特别是它适用于方波和三角波。对于三角波，Fourier级数在每个点收敛到函数。对于方波，Fourier级数在远离跳跃处收敛到 1 或 -1，在跳跃处收敛到 1/2。

正如图中所示，跳跃时奇怪的抖动(weird jiggling)被称为Gibbs现象(Gibbs’s Phenomenon)，以 J. W. Gibbs(注：Gibbs是一位非常杰出的美国数学家、物理学家和工程师。耶鲁大学授予他美国第一个工程学博士学位，他的整个职业生涯一直是在那里担任教授)的名字命名。既然 N 变得更大，这个问题仍然存在。这个现象由 Michelson和Stratton (注：这就是著名的Michelson和Morley实验中的Albert Michelson，证明不存在发光的以太(luminiferous aether))通过实验观察到，他们设计了一个机械装置来绘制有限Fourier级数图形。Michelson和Stratton认为他们在跳跃时看到的额外摆动(wiggles)来自于装置的机械问题。但Gibbs(以锯齿波为例)证明，这种现象是真实存在的，即使在极限情况下也“不会消失”。振荡可能会变得更加压缩，但它们不会消失。精确表述Gibbs现象的标准方法是，当 t 从负值变为正值时，方波在 t = 0 时从 -1 跳到 +1。当 N ⟶ ∞ 时，远离单跳不连续性， $S_{N}(t)$ 一致地趋向于值 + 1 或 -1(视情况而定)。因此，Gibbs现象的精确表述是，当 N ⟶ ∞ 时， $S_{N}(t)$ 的最大值仍然大于 1。这就是被证明的：

$\displaystyle \lim_{N->\infty}max \hspace{0.1cm}S_{N}(t)=1.1789797...$ 。

所以过冲(overshoot)几乎是18% ——非常明显！如果您很好奇，而且主要是出于好奇，您可以在大多数有关Fourier级数的书籍中找到讨论(注：我感谢Gerald Folland帮我指出，我最初引用的大约 9% 的数据是错误的，并且我加入了许多做出同样做法的杰出人士的行列)。这里有一些事情可能会困扰您。我们有关于逐点收敛的定理，该定理表示在跳跃不连续处，部分和收敛到跳跃处值的平均值。我们还有Gibbs现象和不会消失的过冲振荡图景。这两个图景怎么能共存呢？如果你感到困惑，那是因为你一直认为， $S_{N}(t)$ 的收敛与 $S_{N}(t)$ 收敛于锯齿函数(sawtooth function)的图像的收敛性相同。但是它们“不是”一回事。这是点收敛和一致收敛之间的区别。我们将在第 1.8 节，特别是第 1.8.4 节中再次讨论这一点。

1.6 Fourier 级数的实际应用(Fourier Series in Action)

我们将回到数学，这既有趣又重要，但我想首先介绍一些如何应用Fourier级数的模型案例。由于其应用范围很广泛，因此选择的原则是选择其本身有趣且与不同领域有联系的示例。

第一个应用是热流(heat flow)。这些都是经典的、著名的问题，对于您而言应该是常识。囊括它们的另一个原因是，其中一个解采用卷积积分的形式，用于预测即将发生的事情。我们还将简要了解控制热流的微分方程如何在其他领域出现。关键词是扩散(diffusion)。

下一个应用根本不是经典的。在一方面，它与合成声音有关，在另一方面，正如我们稍后将看到的那样，它与采样理论有关。稍后，当我们进行高维Fourier分析时，我们将最终将高维Fourier级数应用于格子上的随机游走。加上一点概率，对问题的分析并没有超出我们目前所知的范围，但现在这些就足够了。

1.6.1 对你来说够热吗？(Hot enough for ya?)

研究加热区域的温度如何随时间和空间变化是Fourier在1820年代首次使用将函数展开为一系列三角函数的方法。物理现象至少可以通过偏微分方程近似地描述，并且可以使用Fourier级数来写出解。

我将在一个空间维度上给出微分方程的简短标准推导，因此要考虑的配置是一维杆——直的或弯曲的，都没关系。该论证涉及许多常见但困难、实际上未定义的术语，其中首先是术语“热量(heat)”，其次是术语“温度(temperature)”。

正如通常所说，热量是由于温差而产生的能量转移(另一个未定义的术语，谢谢)。这个转移过程称为“热”。被转移的是能量。因此，热量通常被认为是能量的一种形式，并且具有能量单位。我们将热视为能量的传递，因此我们称之为热流，因为与许多其他物理量一样，热只有在与变化相关时才有意义。温度，更准确地是称为热力学温度(以前的绝对温度)，是一个导出量。物质的温度与该物质中原子的动能成正比(注：根据这个(部分)定义，温度的单位是Kelvin)。温度为 0(绝对零)的物质无法传递能量——它不是“热的”。根据Newton的说法，工作原理是:

“两种相互接触的物质之间的温差导致能量从较高温度的物质转移到较低温度的物质，这就是热量或热流。没有温差，就没有热量(传递)”。

回到杆问题。无论杆如何实现，它的温度都是空间变量 x (给出沿杆的位置)和时间 t 的函数。我们令 u(x, t) 表示温度，问题是求解它。上面对热的描述，稍加放大，足以提出u(x, t) 应满足的偏微分方程(注：这一点遵从Bracewell的表示方法)。

为了推导该方程，我们引入 q(x , t)，即在 x 和 t 处每秒“流动”的热量，这意味着 q(x, t) 是在 x 和 t 处能量传递的速度。Newton冷却定律表明，这与温度梯度成正比：

$q(x , t) = - ku_{x}(x, t) (k > 0)$ 。

出现负号的原因在于，若 $u_{x}(x, t)> 0$ ，即，假如温度在 x 点处是递增的，则在位置 x 处的热流速度为负——从较热到较冷，因此从 x 返回。常数k可以用物质的热阻的倒数来确定。对于给定的温度梯度，电阻越高，每秒的热流越小，同样，电阻越小，每秒的热流越大。

当热量从较热处流向较冷处时，物质较冷部分的温度升高。x 处温度上升的速度由导数 $u_{t}(x, t)$ 给出，与每单位长度热量积聚的速度(由于缺乏更好的术语)成正比。现在 q(x , t) 已经是一个速度——每秒的热流量——所以每单位长度累积热量的速度就是“流入速度”减去每长度的“流出速度”，即(如果热量是从左向右流动)

$\frac{q(x,t)-q(x+\Delta x,t)}{\Delta x}$ 。

因此，在极限中，

$u_{t}(x, t) = - k'q_{x}(x, t) (k' > 0)$ 。

常数k’ 可以用单位长度的热容量(thermal capacity)的倒数来确定。热阻和热容不是标准术语，但它们可以与标准术语(例如比热(specific heat))相关。此处使用它们是因为热流与电现象的相似性——请参阅下面对电报电缆(telegraph cables)数学分析的讨论。

下一步，针对 x 微分第一个方程，得到

$q_{x}(x, t) = - ku_{xx}(x, t)$ ，

将这个结果代入第二个方程，得到一个只含 u(x, t) 的方程：

$u_t(x, t) = k k'u_{xx}(x, t)$ 。

这就是热传导方程(heat equation)

总而言之，无论应用在什么特定背景中，基于热传导方程的问题设置都涉及：

$\bullet$ 空间上的一个区域。

$\bullet$ 基于这个区域上的初始温度分布。

人们很自然地会想到修复其中一个变量并改变另一个变量。那么解 u(x, t) 告诉你：

$\bullet$ 对于每一个时间 t ，在这个区域上的温度是如何分布的。

$\bullet$ 在每一个固定的点 x ，温度是如何随时间变化的。

我们想看一下使用Fourier级数解决此类问题的两个示例：圆周上的热流，以及更戏剧性的地球温度。这些都是很好的例子，因为它们展示了如何应用这些方法的不同方面，并且如上所述，它们展示了方程解的形式，特别是对于我们经常看到的圆形问题。

为什么是圆，为什么是地球，为什么是Fourier方法？ 因为在每种情况下，函数 u(x, t) 在其中一个变量中都是周期性的。在一种情况下，我们使用空间周期性，而在另一种情况下，我们使用时间周期性。

1.6.1.1 加热一个圆(Heating a circle)

假设一个圆(例如，一根电线)被加热。这为圆提供了初始温度分布，然后热量绕着圆流动，并且温度随时间变化。在任何固定时间，温度必须是圆上位置的周期函数，因为，如果我们以角度 θ 指定圆上的点，那么温度作为θ 的函数，在θ 和θ + 2π处是相同的。

我们可以将一个圆想像成具有确定端点的一个区间，比如说区间 0 ≤ x ≤ 1,我们令 f (x) 为初始温度函数，并令 u(x, t)为位置和时间函数的温度。则

$u (x, 0) = f (x)$ 。

我们选择单位，以便热传导方程采用以下形式

$u_t = \frac{1}{2}u_{xx}$ ,

也就是说，取决于电线物理属性的常数为 1/2(注：这种归一化没有什么特别的，但我已经习惯了。如果你愿意的话，合并这个常数并不难。)。

函数 f (x) 和 u(x, t) 在周期为 1 的空间变量 x 中是周期性的，我们可以尝试将 u(x, t)展开为具有时变系数的Fourier级数：

$u(x, t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}(t)e^{2\pi inx}$ (其中， $c_{n}(t) =\int_{0}^{1}e^{-2\pi inx}u(x,t)dx$ )

未知项是系数 $c_{n}(t)$ ，注意到

$c_{n}(0) =\int_{0}^{1}e^{-2\pi inx}u(x,0)dx = \int_{0}^{1}e^{-2\pi inx}f(x)dx=\hat{f}(n)$ 。

我们希望将 u(x, t) 的Fourier级数代入热传导方程中，为此我们允许自己逐项对级数进行微分(注：这是有道理的)。因此，

$u_{t}(x, t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}c'_{n}(t)e^{2\pi inx}$ ,

$u_{xx}(x, t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}(t)(2\pi in)^{2}e^{2\pi inx}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-4\pi^{2}n^{2})e^{2\pi inx}$ ，

以及

$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}c'_{n}(t)e^{2\pi inx}=u_{t}(x, t)=\frac{1}{2}u_{xx}(x, t) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-2\pi^{2}n^{2})c_{n}(t)e^{2\pi inx}$ 。

使系数相等(注：见前面注释)推导出

$c_{n}^{'}(t)=-{2\pi^{2}n^{2}c_n(t)}$ ，

期解为

$c_{n}(t)=c_{n}(0)e^{-2\pi^{2}n^{2}t} = \hat{f}(n)e^{-2\pi^{2}n^{2}t}$ 。

因此，这个热传导方程的解为

$u(x, t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{-2\pi^{2}n^{2}t}e^{2\pi inx}$ 。

相当令人印象深刻。感谢你，Fourier!

从数学上讲到这里，让我们看看解的形式，看看它在物理上捕获了哪些属性。如果不出意外的话，这可以作为对我们的推理走向的现实检验。让我们看一下两个极端情况，t = 0 和 t = ∞。我们知道 t = 0 时会发生什么，但从我们的最终公式出发，我们有

$u(x, 0) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{-2\pi^{2}n^{2}0}e^{2\pi inx}=f(x)$ 。

这是针对 f (x) 的Fourier级数，

$u(x, 0) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi inx}=f(x)$ 。

完美。

当 t ⟶ ∞ 时，又会发生什么？指数因子 $e^{-2\pi^{2}n^{2}t}$ 除 n = 0 之外，t ⟶ ∞ 时，其趋近于 0 。因此，所有 n ≠ 0 的项都会在极限内消失，并且

$\displaystyle \lim_{t->\infty}u(x,t) = \hat{f}(0)$ 。

这也有一种自然的物理解释，因为

$\hat{f}(0)=\int_{0}^{1}f(x)dx$

是函数 f (x)的均值，或者，在物理上的这个应用中，是初始温度的均值。我们看到，作为解的数学形式的结果,当 t ⟶ ∞ 时，温度 u(x, t) 趋近于一个常量。你很可能已经通过物理思考得出了这个结论，但很高兴看到它在数学上发挥作用(注：如果初始温度本身是一个常量，这个解又是什么样？)。

u(x, t)的公式是解的写法的简洁方式，我们可以先保持这种写法，但基于对后续事项的预见，回转到 $\hat{f}(n)$ 的积分定义，将其表达式写成不同的形式，这是有用处的。将 $\hat{f}(n)$ 的公式写为

$\hat{f}(n)=\int_{0}^{1}f(y)e^{-2\pi iny}dy$ 。

(不要再使用 x 作为积分变量，因为它在u(x, t)公式中已在使用。) 则，

$u(x, t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi^{2}n^{2}t}e^{2\pi inx}\int_{0}^{1}f(y)e^{-2\pi iny}dy$

----------- $= \displaystyle \int_{0}^{1}f(y)e^{-2\pi iny}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi^{2}n^{2}t}e^{2\pi in(x-y)}dy$ ，

或者，根据

$g(x-y,t)=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi^{2}n^{2}t}e^{2\pi in(x-y)}$ ，

我们有

$u(x, t) = \displaystyle \int_{0}^{1}f(y)e^{-2\pi iny}g(x-y,t)dy$ 。

函数

$g(x, t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi^{2}n^{2}t}e^{2\pi inx}$

被称为Green函数(Green’s function)(注：如此命名是为了纪念英国数学家George Green。您可能在向量微积分课程中遇到过有关线积分的Green定理。这是同一个Green)。或称其为圆的热传导方程的基本函数。注意，g(x, t) 在空间变量上是以为1周期的周期函数。热传导方程的解 u(x, t) 的表达式是一个卷积积分式(convolution integral)。您可能在之前的课程中听说过这个术语，但是在这儿其含义有所不同。换句话说，u(x, t) 由初始温度分布函数 f(x)和Green函数g(x, t)的卷积给出。

1.6.1.2 周期函数的卷积(Convolution for periodic functions)

一旦我们引入了Fourier变换，卷积就有了自己的一章。这里对周期函数背景中的这个运算简单说几句。

通常(和上面一样，不假设任何额外的时间依赖)，如果 f (x) 和 g( x )是周期函数，则积分

$\int_{0}^{1}f(y)g(x-y)dy$

称为函数 f 和 g的卷积(convolution)。有一种专用记法，

$( f * g )( x) = \int_{0}^{1}f(y)g(x-y)dy$ ，

读作“f 与g卷积”。

由于周期性，卷积积分才有意义。也就是说，对于给定的 x 在 0 到 1 之间以及 y 在 0 到 1 之间变化(作为积分变量)，x - y 将采用区间 [0, 1] 之外的值。如果 g( x ) 不是周期性的，那么考虑 g(x - y) 就没有意义，但周期性正是我们能够这样做的原因。此外，虽然定义看起来 f ( x ) 和 g( x ) 以形成 f * g 表示并不对称，但只要 f ( x ) 也是周期性的，我们有

$( f * g )( x) = \int_{0}^{1}f(y)g(x-y)dy=\int_{0}^{1}f(x-y)g(y)dy=( f * g )( x)$

为了理解这一点，在第一个积分中做一个变量替换 u = x – y 。则

$( f * g )( x) = \int_{0}^{1}f(y)g(x-y)dy$

---------------- $= \int_{x}^{x-1}f(x-u)g(u)(-du)$ (因为 f ( x ) 是周期函数，这样有意义)

---------------- $= \int_{x}^{x+1}f(x-u)g(u)(du)$

---------------- $= \int_{0}^{1}f(x-u)g(u)(du)$ (积分是周期的：长度为1的任意区间均可)

---------------- $= ( g * f )( x)$ 。

本章最后有一些关于卷积和Fourier级数的问题。其中最重要的是卷积下Fourier系数的变化。这个恒等关系式是

$\widehat{f*g}(n)=\widehat{f}(n)\widehat{g}(n)$

卷积的Fourier系数是分别的Fourier系数相乘。若

$f (t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}e^{2\pi int},g(t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}b_{n}e^{2\pi int}$ ，

则,另一种记法是

$(f *g)(t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}b_{n}e^{2\pi int}$ 。

我们将在 1.8 节中使用卷积的这一性质，当我们进行卷积和Fourier变换时，我们将再次看到这种现象。在其他应用中，卷积是使用一个信号过滤另一个信号的基础。

热传导方程的解有一个有趣且重要的属性，即与移位有关的卷积。假设我们将初始温度转移到 $f(x-x_0)$ ，对于圆上的某个 $x_0$ —— 就好像圆周围的初始温度分布刚刚旋转了 $x_0$ 量。我们的感觉是热传导方程的解也应该移动相同的量，因此 u(x, t) 应该变成 $u(x - x_0, t)$ 。让我们看看它是如何从解的卷积形式推导出来的。

我们的论证已经证明，由初始温度 $f(x-x_0)$ 引起的在 x 位置 t 时刻的温度是

$\int_{0}^{1}g(x-y,t)f(x-x_0)dy$ 。

引起的在 x 位置 t 时刻的温度是 $u = y - x_0$ 得到

$\int_{0}^{1}g(x-y,t)f(x-x_0)dy=\int_{-x_0}^{1-x_0}g(x-(u+x_0),t)f(u)du$

----------------------------------------- $=\int_{-x_0}^{1-x_0}g((x-x_0)-u,t)f(u)du$ 。

由于积分以1为周期的，所以

$\int_{-x_0}^{1-x_0}g((x-x_0)-u,t)f(u)du=\int_{0}^{1}g((x-x_0)-y,t)f(y)dy$ (再次使用y作积分变量。)

后面的积分正是 $u(x - x_0, t)$ ，其中，u (x, t) 是对应一个未平移的初始温度 f (x) 的解。

如果你知道线性系统的术语，更多地从EE(译注：电气工程师(Electrical Engineer)或电子工程师(Electronics Engineer))角度思考，则 Green函数 g(x, t)是与线性系统“圆周上的热流”相关的脉冲响应(impulse response),含义是：

$\bullet$ 输入进到：初始温度分布 f (x) 。

$\bullet$ 输出出自：温度 u(x, t)。

$\bullet$ 从输入到输出的系统是线性的；即，输入的叠加产生输出的叠加。(你可以思考一下为什么这样是成立的。)

$\bullet$ 输出是输入与g 的卷积：

$u(x, t) = \int_{0}^{1}f (y)g(x - y,t)dy$ 。

事实上，由于移位特性，必须引入卷积。这将是线性系统章节的中心主题。

Fourier分析中卷积无处不在，我们将花费大量时间来研究它们。在我们的示例中，作为解的公式，卷积可以解释为，对于每个时间 t，位置点 x 处的温度 u(x, t) 是初始温度分布 f (x) 的一种平滑平均值。在其他背景中，卷积可能有不同的解释。

1.6.1.3 加热地球，储存你的佳酿(Heating the earth, storing your wine)

风拂过，雨撒过，地球上任何特定地方的温度在一年中都会发生变化。我们一致认为，年复一年地，温度变化的方式几乎相同，因此地球上任何特定地点的温度大约是时间的周期函数，其中周期为 1 年。在那个特定的地方,地下x 米深度处的温度怎么样？温度如何取决于 x 和 t ？(这个例子取自 H. Dym 和 H. McKean的<< Fourier Series and Integrals>>(Fourier级数和积分)，并归功于A. Sommerfeld 。)

固定地球上的一个地方，令 u(x, t) 表示 t 时刻地下 x 米处的温度。我们再一次假设 u 满足热传导方程， $u_t = \frac{1}{2}u_{xx}$ 。这一次，我们尝试形如

$u(x, t) = \displaystyle \sum_{n=-N}^{N}c_{n}(x)e^{2 \pi int}$

的解，它反映了时间的周期性。从这个等式，可以推出

$u_{xx}(x, t) = \displaystyle \sum_{n=-N}^{N}c_{n}^{''}(x)e^{2 \pi int}$ 和 $u_{x}(x, t) = \displaystyle \sum_{n=-N}^{N}c_{n}(x)(2\pi in)e^{2 \pi int}$ 。

将 $u_{xx}$ 和 $u_{t}$ 代入到热传导方程，给出

$c_{n}^{''}(x)=\pm (2 \pi |n|)^{1/2}(1\pm i)$ ，

其中，在第二个 ± 中，当 n > 0时，我们取 1 + i ，当 n < 0时，我们取 1 - i 。因此，

$c_{n}(x)=A_{n}e^{-(2 \pi |n|)^{1/2}(1\pm i)}$ 。

初始值 $A_n = c_n (0)$ 是多少？我们假设在 x = 0 处存在一个 t 的周期函数，此函数模型化了(地球上固定点)在一年中的温度，命其为 f (t) 。则 u(0, t) = f (t) ，且

$c_{n}(0) = \int_{0}^{1}u(0,t)e^{-2\pi int}dt = \widehat{f}(n)$ 。

我们的解是

$u(x, t) = \displaystyle \sum_{n=-N}^{N}\widehat{f}(n)e^{(-2\pi |n|)^{1/2} (1\pm i)x }e^{2\pi int}$ 。

可以将其表达为卷积形式吗？

u(x, t) 的这个表达式并不美观，但假如我们重新调整指数以分离其周期部分(含有i的部分)和非周期部分，则表达式变得更加有趣。后者是 $e^{(-2\pi |n|)^{1/2}x}$ 。则，这些项看起来形如

$\widehat{f}(n)e^{(-2\pi |n|)^{1/2}x}e^{2\pi int\mp (2\pi |n|)^{1/2}ix}$ 。

此处有何趣点？关于深度的依赖性 x 。每一项均按指数

$e^{(-2\pi |n|)^{1/2}x}$

递降(damped)并以

$(2\pi |n|)^{1/2}ix$

的数量产生相移(phase shifted)。

举一个简单的例子。假设表面温度 x = 0 仅由 sin(2πt)给出，并且年平均温度为 0(在某些非Kelvin温标中)；即，

$\int_{0}^{1}f(t)dt=\widehat{f}(0) = 0$ 。

举一个简单的例子。假设表面温度 x = 0 仅由 sin(2πt)给出，并且年平均温度为 0(在某些非Kelvin温标中)；即，

所有的Fourier系数(除了第一项(和负第一项))都是0，则解简化为

$u(x,t)=e^{-(2\pi)^{1/2}x}sin [2\pi t -(2\pi)^{1/2}x]$ 。

取深度 x 使得 $-(2\pi)^{1/2}x=\pi$ 。这个温度按照 $e^{-\pi } = 0.04$ 递降，相当多，而且与表面温度有半个周期(六个月)的异相(out of phase)。由于阻尼(damping)的作用，下方 x 米的温度保持相当恒定，并且由于相移，夏季凉爽，冬季温暖。类似的地方有一个名字。它被称为地窖(cellar)。

1.6.1.4 第二次工业革命打响第一枪(The first shot in the second industrial revolution)

许多类型的扩散过程原则上与热流非常相似，因此它们可以通过热传导方程或热传导方程的变体进行建模，并且通常使用Fourier分析来求解。一个著名的例子是 William Thomson(后来的Kelvin勋爵(Lord)于1855年在<<Proceedings of the Royal Society>>(皇家学会学报)上发表的论文“论电报理论(On the theory of the electric telegraph)”。

19世纪中后期的高科技产业是海底电报，也面临着挑战。表示Morse电码的点和划的尖锐脉冲在电缆的一端发送，并且在传输过程中，如果电缆很长并且脉冲连续发送得太快，则观察到脉冲会被抹掉并重叠到在接收端无法解决这些问题的程度。各大洲之间电报传输的商业成功取决于海底电缆能否可靠地处理大量流量。是什么导致了这个问题？电缆应该如何设计？风险很高，需要进行定量分析。

Michael Faraday 提供了信号失真的定性解释， Latimer Clark向他展示了这一现象。 Clark是电力国际电报公司的一名官员，他观察到荷兰-英国线路上的信号模糊。Faraday推测，浸入水中的电缆实际上变成了一个巨大的电容器，由两个导体组成——电线和水——由绝缘材料(当时是古塔胶(gutta-percha))隔开。当发送信号时，部分能量用于给电容器充电，这需要时间，而当信号结束时，电容器放电，这也需要时间。与充电和放电相关的延迟使信号失真，并导致信号发送得太快而无法重叠。

Thomson在写给G. Stokes(因Stokes定理而闻名)的两封信中讨论了这个问题，这封信后来成为发表的论文。我们现在不会遵循Thomson的分析，因为随着时间的推移，通过Fourier变换而不是Fourier级数更容易理解它。不过，这里有一些亮点。将整个电缆视为一个(柔性)圆柱体，沿轴有一根半径为 a 的电线，并被半径为 b 的绝缘层包围(因此厚度为 b - a)。为了对电缆的电气特性进行建模，Thomson引入了“每单位长度的静电容量”，该电容取决于绝缘体的介电常数 a、b ，他的公式是

$C= \frac{2\pi \epsilon}{ln(b/a)}$ 。

(您可能在电子工程或物理课上做过这个计算。) 他还介绍了“每单位长度的电阻”，用 K 表示。将电缆想象为一系列无穷小的部件，并对每个部件使用Kirchhoff电路定律和Ohm定律。在这篇文章中，他认为距电缆末端距离 x 处、时间 t 处的电压 v(x, t) 必须满足偏微分方程

$v_{t}=\frac{1}{KC}v_{xx}$ 。

Thomson指出：“这个方程与众所周知的固体导体中热量的线性运动方程一致，Fourier给出的各种形式的解非常适合回答有关电报线使用的实际问题。”

事实上，类比的基础是，通过电缆扩散的电荷可以用与通过棒的热量相同的方式来描述，用电势梯度代替温度梯度等。(但是请记住，电子直到 1897 年才被发现。) 在这里我们看到 K 和 C 在热传导方程的推导中扮演着热阻(thermal resistance)和热容(thermal capacity)的角色。

Thomson的分析结果具有最大的实际影响，他证明了“……连接电池瞬间电动效应最大的时间……” [发送尖锐脉冲，即]发生在

$t_{max}=\frac{1}{6}KCx^{2}$ 。

数 $t_{max}$

正是在接收信号的时候所需的理解延时的量。事实上，距电缆末端的距离 x 是平方，这一点非常重要。例如，这意味着沿 1,000 英里电缆发送的信号的延迟将是沿 100 英里电缆发送的延迟的 100 倍，而不是想象中的 10 倍。这就是Thomson的“平方法则”。

Thomson的工作被称为“第二次工业革命的第一枪” (注：<<Getting the Message: A History of Communications>>(获得信息：一部通讯史)，L. Solymar 著)。就在那时，电气工程明显变得数学化了。然而，他的结论并非没有受到质疑。考虑一下大西洋电报公司首席电工Edward Whitehouse在 1856 年发表的讲话：

“我相信大自然并不知道这条法则(平方法则)的应用，我只能将其视为学校的虚构；物理原理的强制和暴力应用，在其他情况下是好的和真实的，但在这里被误用了。”

Thomson的分析没有占上风，第一条跨大西洋电缆的建造没有考虑他的规格。Thomson表示，电缆的设计必须使 KC 变小。电报公司认为他们可以加大供电力度。经过四次失败的尝试后，各大洲于 1858 年 8 月 5 日合并。(铺设海洋的电缆本身就很困难。) 第一个成功发送的消息是在 8 月 16 日。三周后，电缆失败了。电压太高。他们把它废了。

后来，在 1876 年，Oliver Heaviside 通过纳入归纳效应，极大地扩展了Thomson的工作。他导出了一个更一般的电压 v(x, t)微分方程，形式为

$v_{xx}=KCv_{t} + SCv_{tt}$ ,

其中，S 表示每单位长度的电感，如前所述，K 和 C 表示每单位长度的电阻和电容。尽管直到后来才意识到这个方程的重要性，但它允许代表传播波的解。事实上，从偏微分方程的角度来看，该方程看起来像是热传导方程和波动方程的混合。(稍后我们会看到波动方程。) Heaviside方程现在通常被称为“电报方程”。

1.6.1.5 第二次世界大战中的最后一枪(The last shot in the Second World War)

说到高风险的扩散过程，在原子炸药理论分析的早期阶段，有必要研究裂变产生的中子穿过大量铀时的扩散。问题是：需要多少质量才能使足够的铀核在足够短的时间内裂变以产生爆炸？1942 年夏天，在Los Alamos工厂启用之前(大部分工作都在那里完成并制造了炸弹)，Robert Serber和Berkeley的一些学生对这个问题进行了分析。他们发现，爆炸性链式反应所需的所谓临界质量约为 60 千克 $U^{235}$ ，排列在半径约为 9 厘米的球体中(连同围绕铀的捣固器)。一个不太仔细的扩散原理模型给出了 200 公斤的临界质量。据说，在德国原子弹项目(早于美国的努力)的开发过程中，Werner Heisenberg使用了一个不太仔细的模型，并获得了对于临界质量来说过高的数字。这使得德国的计划受阻。

有关此内容以及更多内容的引人入胜且易于理解的说明，请参阅Robert Serber所著的<< The Los Alamos Primer>>( Los Alamos入门)。这些是Serber在Los Alamos关于原子弹知识状况的第一次讲座的笔记，并由他为本版本添加了注释。如果想以戏剧化的方式描述Heisenberg在德国原子弹项目中的作用(包括对扩散的误解)，请尝试Michael Frayn的戏剧<<Copenhagen>>。

顺便说一句，正如 Serber 所解释的：

“……裂变释放的能量的来源与两个原子或分子发生化学反应时释放的能量的来源完全相同。它是两个相似带电粒子之间的静电能。两个带相似电荷的粒子相互排斥。有一股电力将它们推开。必须努力克服排斥力并将它们从很远的距离推到一起……[他继续将其应用于铀核中的质子。]

不知何故，很久以前流行的观念就认为爱因斯坦的相对论，特别是他著名的方程 $E=mc^{2}$

，在裂变理论中发挥着重要作用……讨论裂变不需要他的相对论。裂变理论被物理学家称为非相对论理论，这意味着相对论效应太小，无法显著影响裂变过程的动力学。”

1.6.2 一个非经典例子：什么是蜂呜声?(classical example: What’s the buzz?)

乐音是一种周期波，我们用正弦曲线对其进行建模。纯音是单个正弦曲线，而更复杂的音调是正弦曲线之和。 高次谐波的频率是基波谐波的整数倍，并且谐波通常具有不同的能量。作为最完整和均匀音调的模型，我们可以取所有谐波的总和，每个谐波具有相同的能量，比如说都为 1 (译注：这里的能量体现是Fourier系数)。如果我们进一步假设周期为 1(即基波谐波的频率为 1) ，然后我们看看信号

$f (t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi int}$ 。

这听起来像什么？不是很愉快，取决于你的口味。让我们称之为蜂呜声，稍后再发表一些进一步的评述。

和式 $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi int}$ 并不是以任何方式(形状或形式)表现的经典 Fourier 级数，它不代表具有有限能量的信号，并且级数在任何容易定义的意义上都不收敛。抛开这些令人难以忽视的事实不谈，蜂呜声是一个重要信号，原因有几个。

公式可以帮助我们更好地了解其属性。在附录 C 中，关于几何和，您需要考虑

$D_{N}(t)=\displaystyle \sum_{n=-N}^{N}e^{2\pi int}$ ，

这是蜂呜声的一个部分和，并需要导出表达式

$D_{N}(t)=\frac{sin[2\pi t(n+1/2)]}{sin(\pi t)}$ 。

这里的字母“D” 是Dirichlet(又是)提出的，他引入了这个表达式来研究收敛问题。他没有考虑蜂呜声。为了纪念他，将 $D_{N}(t)$ 命名为 Dirichlet 核(Dirichlet Kernel)。我们可以看到， $D_{N}(t)$ 是一个偶函数；总是寻找对称性，你永远不知道它什么时候会出现。

和式 $\sum_{n=-N}^{N}e^{2\pi int}$ 的另一种形式也很有用，分离出0项，并将正负项组合在一起我们得到

$\displaystyle \sum_{n=-N}^{N}e^{2\pi int}=1+\sum_{n=1}^{N}(e^{2\pi int}+e^{-2\pi int})=1+2\sum_{n=1}^{N}cos(2\pi nt)$ 。

后一个表达式很容易看出原点处的值为 1 + 2N，并且 1 + 2N 是 $D_{N}(t)$ 的最大值，因为各个项在 t = 0 时的最大值为 1。最大值根据 N 变的增大而变得更大。根据周期性，1 + 2N 也是每个整数处的值。请注意另一个有趣的事实，即,

$\int_{0}^{1}D_{N}(t)dt = 1$ 。

它可以从作为复指数之和的 $D_{N}(t)$ 的定义或从余弦的第二个表达式快速推导出。复指数 $e^{2\pi int}$ 积分为 0(除非 n = 0)；同样，余弦积分消失。(从 $D_{N}(t)$ 的正弦比公式中看出积分属性并不容易。) 无论如何，这都证明了 $D_{N}(t)$ 的一个重要属性，正如我们将在第1.8节中看到的那样。以下是 $D_{N}(t)$ 在 N 的取值分别为 5，10，和20时的图像。

------------------图10. $D_{N}(t)$ 在 N = 5，10，和20时的时间波形图像-----------------

信号变得越来越集中在整数处，峰值越来越高。事实上，正如我们稍后将看到的那样，当 N ⟶ ∞ 时，信号序列 $D_{N}(t)$ 趋向于整数处的 δ 之和：

$D_{N}(t) \longrightarrow \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-n)$ 。

究竟以何种方式实现收敛，还得等到以后再说。

无限多个、规则间隔的δ的总和有时称为脉冲串，我们还会有其他描述性名称。从第 5 章开始，它将成为我们真正的主力。

在数字信号处理中，尤其是计算机音乐中，使用的是有限的、离散形式的脉冲序列。请参阅第 7 章。不是通过添加(采样)正弦波来创建声音，而是在频域中工作并从其频谱合成声音。从具有相同能量的所有频率的离散脉冲序列开始——离散时间蜂呜声。这很容易生成。然后通过增加或减少各种谐波的能量(也许将一些谐波减少到零)来塑造频谱。声音是在时域中根据该整形频谱合成的。附加操作也是可能的。对于有趣的讨论，我推荐 Ken Steiglitz 所著的<<A Digital Signal Processing Primer>>(数字信号处理入门)。这也是我得到术语“buzz”的地方(注：“蜂呜声”可能不是描述连续时间情况下的信号的最佳词，但它可以作为速记参考)。

最后回顾一下热量。热传导方程的Green函数的形式为

$g(x,t)=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi^{2}n^{2}t}e^{2\pi inx}$ 。

当 t ⟶ 0 时，方程 g(x, t) 趋近于 $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi inx}$ 。

我认为你会觉得这很具有启发性(provocative)。

1.7 相关数学知识，第2部分：正交性和平方可积函数(The Math, Part 2: Orthogonality and Square Integrable Functions)

那些关心的人逐渐认识到，Fourier系数的结构以及将周期函数写成复数指数之和的这种思想，远比我们从简单的推导中可能出现的情况要复杂得多。这些方面包括：

$\bullet$ 代数和几何方面：

这些是Euclid空间中向量的代数和几何的扩展，适用于函数。关键思想是内积(点积)(inner product)、正交性(orthogonality)和范数(norm)。这些扩展很简单，在函数的运算形式与几何向量的运算形式这个意义上，它们看起来(几乎)相同。我们几乎可以涵盖整个运算。

这将使您有机会从更高级的角度反思您已经知道的事情。这种方式永远受到欢迎。你的工作是将你的几何直觉从向量(比如二维)转移到通用的背景，其中“向量”是信号，“几何”是类比，这意味着表述的含义以某种类似的方式转移，即使没有图像。

$\bullet$ 分析方面：

分析方面要求基于使用约束和积分本质的新思想。我们在本文中确实无法涵盖全部运算，而且尝试这样做也是不合适的。但我会说一点。当我们使用Fourier变换时，也会出现类似的问题。

我想添加第三项(没有项目符号)：线性算子(linear operators)(尤其是微分算子(differential operators))的特征函数(eigenfunctions)。我对此不会说太多，尽管它会出现(figure)在我们对线性系统的讨论中。我之所以提到它，是因为当人们想要使用正弦和余弦以外的函数来处理信号的扩展时(即除了仅考虑周期函数之外)，这种观点与正交性仍然有效。这也提供了为什么只有基频的整数倍频率才进入Fourier级数的另一个原因。这与作为微分算子特片函数的谐波以及与问题相关的边界条件有关。例如，您可以搜索一下 Sturm-Liouville 理论，看看它的确切含义。许多偏微分方程工程课程都涵盖了这一点。

本节很长，但您会看到许多应用领域的术语和思想。非常值得您的努力看完。计划是关注大局，并为第 1.8 节保留一些细节，尽管这样说让我很伤心，但你可以将其视为可选。

从几何向量开始将有助于奠定讨论的基础，其中的思想您应该很熟悉。继续呈现。

1.7.1 向量和正交性(vectors and orthogonality)

从其起源上讲，几何学是关于测量事物——现实的、物理的事物。Euclid几何与其他大多数具有共同特征的几何的区别在于垂直性(perpendicularity)(直角)的产生方式。考虑著名的平行线第五公设：“如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。”

垂直性(正交性)在一个地方满足度量，Pythagoras定理：三个数a, b,和c分别是一个直解三角形的三条边的充分条件是，当且仅当

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 。

你的确记得“仅当(only if)”部分，但是可能已经忘记了“当(if)”部分，这恰是我们故事的重要部分。

提到垂直性和度量，如何布置一个指定尺寸的大矩形区域？您使用Pythagoras定理。几年前的夏天，当我自愿帮忙布置足球场(soccer)时，我就遇到过这种情况。我只是被要求提供协助，因为，很显然，对于细节我是不被相信的。将两根木桩(stakes)放在地上以确定场地的一侧。这是直角三角形的一条腿——半个场地。我把卷尺(tape)挂在一根木桩上，然后沿着与第一条腿大致垂直的方向走去，当我走完球场那一侧的规定距离时停了下来。工作人员的负责人将另一把卷尺挂在另一根木桩上，然后沿着场地的对角线(斜边)走动。我们调整了位置，但没有调整我们走开的距离，以便会合，这样Pythagoras定理就得到了满足；他有一张图表显示这个距离应该是多少。因此，在我们的交汇点，我确定的腿必须垂直于我们布置的第一条腿。这是我第一次实际运用Pythagoras定理，从此开始了我从纯数学家到工程师的转变。

要在熟悉的Euclid平面或三维空间以外的环境中建立包含Pythagoras定理的垂直概念，就是尝试复制与之相伴的Euclid性质。这就是我们对信号所做的事情。

向量使我们能够通过代数的方式进行几何计算，并且还可以使我们对代数表达式给出几何解释。当两个向量正交时，这两个方面都体现在代数识别问题中。这就是我们想要解决的问题。

为了固定某些记法(你可能已经知道)，我们令 ℝ 表示实数集(译注：手写体双线字母，Unicode编码“0211D”，office word中输入方式：U+0211D，然后按Alt + x 组合键，LaTex宏“\mathbb{R}”)，我们用 $\mathbb{R}^{n}$ 表示由实数组成的 n 元组(译注：或称为n维向量空间)

$\underline{v} = \{v_1, v_2,...,v_n\}$ 。

其中， $v_i$ 表示 $\underline{v}$ 的分量。向量的下划线符号很容易手写，比常用的粗体更容易，而且比在符号上画一个小箭头看起来更不尴尬。我们将在处理离散信号和离散Fourier变换以及二维和更高维度的Fourier变换时再次使用这种表示法。如果你想使用自己的符号，那很好，但是要选择一些东西——你确实需要一些符号来区分向量和标量。

$\underline{v}$ 的长度，或称范数(norm)(译注：汉语中“范”与英语中这个词的解释“pattern(模子)”解释最为接近，但是没有很好地体现“norm”在数学中的含义，其真正的含义是度量长度的一种方式)是：

$||\underline{v}||=(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v_{n}^{2})^{1/2}$ (译注：n ∈ ℤ ，下同)。

如果 $||\underline{v}|| =1$ , 则称 $\underline{v}$ 是一个单位向量(unit vector)。两个向量 $\underline{v}$ 和 $\underline{w}$ 之间的距离是 $||\underline{v}-\underline{w}||$ 。三角不等式指的是

$||\underline{v}+\underline{w}||\leq ||\underline{v}||+||\underline{w}||$ ，

当且仅当 $\underline{v}$ 和 $\underline{w}$ 位于同一方向时，才能取得等号。我们将在 1.9 节中看到这一点的证明。从分析上讲，不等式是说两点之间的最短距离是一条直线；说服自己这就是所称的。

Pythagoras定理在向量上有何体现？让我们仅以 $\mathbb{R}^{2}$ 中的向量作说明。令 $\underline{u}=\{ u_{1},u_{2} \}$ , $\underline{v}=\{ v_{1},v_{2} \}$ ，因此， $\underline{u}+\underline{v}=\{ u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2} \}$ 是具有边 $\underline{u}$ 和 $\underline{v}$ 的三角形的斜边(hypotenuse)。当且仅当

$||\underline{v}+\underline{w}||^{2}= ||\underline{v}||^{2}+||\underline{w}||^{2}$

时，向量 $\underline{u}$ , $\underline{v}$ 和 $\underline{u}+\underline{v}$ 构成直角三角形。我们将其它展开为

$(u_1+v_1)^{2}+(u_2+v_2)^{2}=(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})+(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})$

$(u_{1}^{2}+2u_{1}v_{1}+v_{1}^{2})+(u_{2}^{2}+2u_{2}v_{2}+v_{2}^{2})=(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})+(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})$

平方项抵消掉之后，我们推出这个代数条件

$u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2} = 0$

对于 $\underline{u}$ 和 $\underline{v}$ 垂直而言是必要的且充分的。这对你来说并不新鲜。无任何进一步论证——计算是类似的——让我也指出，在更高维的向量中，也会发生同样的于事：对于向量 $\underline{u}=\{ u_{1},u_{2},...,u_{n} \}$ 和 $\underline{v}=\{ v_{1},v_{2},...,v_{n} \}$ ，当其仅当 $u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2} + ...+u_{n}v_{n} = 0$ 时，它们是相互正交的(或垂直的)。

几何中向量方法的一大优势是，虽然您最初的直觉可能仅限于可以绘制图像的情况(例如二维和三维)，但大多数情况下，即使您无法绘制图像，你的计算也能生效(n 维)。跟着这句话的思路走。跟着你的铅笔走(注：据说伟大的数学家Leonhard Euler在解释他对公式的惊人洞察力时说道：“我只是跟着我的铅笔走。” 或类似的词语。我买了很多支铅笔，一直在寻找合适的一支)。不要低估它的力量。

1.7.1.1 关于数学界商业秘密的评述(A remark on trade secrets)

我们已经解决了我们的问题。我们找到了一种用代数表达正交性的几何性质的方法。请允许我借此机会向您介绍数学和数学家的商业秘密。

数学的进步更多来自于定义而不是证明定理。 定义的动机是解决一个有趣的问题。 一个真正好的定义可以找到超出原始问题的应用。将“导数(derivative)”视为捕获瞬时变化率(或曲线切线斜率，如果您愿意的话)的概念，或将“积分(integral)”视为曲线下面积的精确表达式或“群(group)”视为捕获对称的一种方式。不那么宏大地想想我们刚刚对向量和正交性所做的类似事情。

数学家扭转问题的解决方案并从中给出定义。然后，数学家除了向世界宣布他们的伟大发现——即通过优雅的新定义，他们可以解决他们真正想要解决的问题，他们还常常掩盖任何曾经存在过的促使人们产生研究问题的动机的根源的痕迹。这是外行人(uninitiated)很难阅读数学书籍的原因之一。数学书籍(通常)从定义开始，然后将示例(激发问题的问题)留到后面。

我们将反复看到这种模式(pattern)。我们将有自己的定义，但我会尽力让它们以问题为导向(译注：这样更容易理解问题)。

1.7.1.2 内积的定义(Inner product defined)

下面我们引入两个向量的内积(或点积)的定义。我们在 $\mathbb{R}^{n}$ (译注：实数域上的n 维向量空间)中给出其定义。

$\bullet$ 若向量 $\underline{u}=\{ u_{1},u_{2},...,u_{n} \}$ , $\underline{v}=\{ v_{1},v_{2},...,v_{n} \}$ ，则这两个向量的内积是

$\underline{u} \cdot \underline{v} = u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2} + ... + u_{n}v_{n}$ 。

内积的其它记法是 $(\underline{u},\underline{v})$ (只有括号；我们将使用这种记法)和 $<\underline{u},\underline{v}>$ (尖括号适合那些认为圆括号不够花哨的人；尖括号的记法在物理学中尤其常见)。

注意，

$(\underline{v} , \underline{v}) = v_{1}^{2}+v_{2}^{2} + ... + v_{n}^{2}=||\underline{v}||^{2}$

因此，

$||\underline{v}||=(\underline{v},\underline{v})^{1/2}$

我们现在向世界宣布最优秀的定理。

$\bullet$ 对于向量 $\underline{u}$ 和 $\underline{v}$ ,当且仅当它们正交时， $(\underline{u},\underline{v})=0$ 。

毕竟，这才是重点。游戏已被操纵。我们发明了 $(\underline{u},\underline{v})$ 来使得这个结论成立。然而，这确实是一个非常有帮助的结论，特别是因为，验证 $(\underline{u},\underline{v}) = 0$ 是否成立非常容易。

让我也提醒你这个类似的公式

$(\underline{u},\underline{v})=||\underline{u}||||\underline{v}||cos(\theta)$ ，

其中，θ 是 $\underline{u}$ 和 $\underline{v}$ 之间的夹角。有时这被视为内积的替代定义。它根据向量书写的余弦定理

$c^2 = a^2 + b^2 -2ab cos(\theta)$ 。

关于这一点的更多评述见1.9节。

1.7.1.3 向量视作投影(Projections)

内积的作用不仅仅是识别正交向量，虽然这使得它成为一个非常好的定义。当它非零时，它告诉你一个向量有多少是在另一个向量的方向上(译注：即两个向量同向性的程度)。向量

$\frac{(\underline{v},\underline{w})}{||\underline{w}||}\frac{\underline{w})}{||\underline{w}||}$ 也写作 $\frac{(\underline{v},\underline{w})}{(\underline{w},\underline{w})}\underline{w}$

它是 $\underline{v}$ 在单位向量 $\underline{w}/||\underline{w} ||$ 上的投影，或者，如果你愿意，可看成 $(\underline{v},\underline{w})/||\underline{w}||$ 是 $\underline{v}$ 在 $\underline{w}$ 方向上(标量(scalar))分量。最简单的，如果 $\underline{w}$ 是一个单位向量，则 $(\underline{v},\underline{w})\underline{w}$ 是 $\underline{v}$ 在 $\underline{w}$ 方向上的数量。如果我们按 α 比例缩放 $\underline{v}$ ，则 $\underline{v}$ 的投影也会相应地缩放α 。

我认为内积可以度量一个向量对另一个向量的了解程度；两个正交向量可以视为彼此不相识。

1.7.1.4 内积的代数属性(Algebraic properties of the inner product)

最后，我想列出内积的主要代数性质以及它们在 mathland 中的名称。我不会给出证明：它们是简单的验证。稍后我们将再次看到这些属性——稍微修改以允许复数。

(1) 正定性(positive definiteness)

$(\underline{v},\underline{v})>0 ,$ 且当且仅当 $\underline{v}=0$ 时 $(\underline{v},\underline{v})=0$ 。

(2) 对称性(symmetry)

$(\underline{v},\underline{w})=(\underline{w},\underline{v})$ 。

(3) 同质性(homogeneity)

对于任意标量α ， $(\alpha \underline{v},\underline{w})=\alpha (\underline{w},\underline{v})$ ,根据对称性，我们也有 $(\underline{v},\alpha \underline{w})=\alpha (\underline{w},\underline{v})$ 。

(4) 可加性(additivity)

$(\underline{v}+\underline{w},\underline{u})=(\underline{v},\underline{u})+(\underline{w},\underline{u})$

事实上，这些正是普通乘法所具有的性质。

1.7.1.5 正交基(Orthogonality basis)

对于 $\mathbb{R}^{n}$ 而言，自然的基底是位于 n 个坐标方向中的长度为1的向量:

$\underline{e}_1 = (1,0,...,0)$ , $\underline{e}_2 = (0,1,...,0)$ ,..., $\underline{e}_n = (0,0,...,1)$ 。

这些向量被称为“自然基”，因为，一个向量 $\underline{v} =\{v_1,v_2,...,v_n\}$ 是根据其分量被“自然地”描述为

$\underline{v} =v_1\underline{e}_{1}+v_2\underline{e}_{2}+...+v_n\underline{e}_{n}$

的形式的。这个自然的基 $\underline{e}_{1} ,\underline{e}_{2},...,\underline{e}_{n}$ 称为 $\mathbb{R}^{n}$ 的正交基(orthogonality basis)(译注：即，它们是相互之间垂直的，没有方向上的相似性，即内积为0)。含义是，

$(\underline{e}_{i},\underline{e}_{j})=\underline{\delta}_{ij}$ ,

其中， $\underline{\delta}_{ij}$ 是 Kronecker δ (注：以德国数学家 Leopold Kronecker的名字命名。他主要从事数论研究。每个数学专业的学生都会学到这句名言：“上帝创造了整数；其他一切都是人类的工作。”)。定义为：

$\underline{\delta}_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1(i=j),\\ 0(i \neq j) \circ \end{matrix}\right.$

注意，

$(\underline{v},\underline{e}_{k})=\underline{v}_{k}$

因此，有

$\underline{v}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(\underline{v},\underline{e}_{k})\underline{e}_{k}$ 。

换句话说：

$\bullet$ 当 $\underline{v}$ 被分解为正交基向量方向上的向量和时，各个分量由 $\underline{v}$ 与基向量的内积给出。

$\bullet$ 因为 $\underline{e}_{k}$ 具有长度1，内积 $(\underline{v},\underline{e}_{k})$ 是向量 $\underline{v}$ 在基向量 $\underline{e}_{k}$ 方向上的投影。换句话说，我非常喜欢这样表述：内积 $(\underline{v},\underline{e}_{k})$ 是 $\underline{v}$ 和 $\underline{e}_{k}$ 之间互相知道的程度(译注：在多大程度上具有同向性)。

$\bullet$ 此外，我们有

$||\underline{v}||^{2}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(\underline{v},\underline{e}_{k})^{2}$ 。

关于最后一个公式，它没有说任何你不知道的事情，但值得一去看看它是如何从基向量的正交性和内积的代数属性得出的。即(to wit)：

$||\underline{v}||^{2}=(\underline{v},\underline{v})$

-------- $=\displaystyle (\sum_{k=1}^{n}(\underline{v},\underline{e}_{k})\underline{e}_{k},\sum_{k=1}^{n}(\underline{v},\underline{e}_{l})\underline{e}_{\underline{e}_{l}})$ (我们必须使用不同的求和下标，如果你不知道的话，参见附录C ,关于几何求和部分)

--------- $=\displaystyle \sum_{k=1,l}^{n}(\underline{v},\underline{e}_{k})(\underline{v},\underline{e}_{l})(\underline{e}_{k},\underline{e}_{l})$

--------- $=\displaystyle \sum_{k=1,l}^{n}(\underline{v},\underline{e}_{k})(\underline{v},\underline{e}_{l})\delta_{kl}$

--------- $=\displaystyle \sum_{k=1,l}^{n}(\underline{v},\underline{e}_{k})(\underline{v},\underline{e}_{l})1$ (仅当k = 𝓁 时这项才存在)

--------- $=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(\underline{v},\underline{e}_{k})^{2}$ 。

推导完毕。确保您理解此推导中的每一步。并且还要确保您理解为什么这个结果适用于任何正交基础，而不仅仅是自然基。

1.7.1.6 存在一个隐藏困难：复向量的内积问题(There’s a catch: Complex vectors)

总是存在一个隐藏困难。当向量是复数的时候，适用于实数向量的内积定义必须做出修改以适应复数向量的定义。我们想到，我们用来 ℂ 表示复数集，并用 $\mathbb{C}^{n}$ 来表示来自ℂ的元素组成的n元组构成的 n 维向量空间。复数的内积在现在出现主要是作为下一节内容的动机，但当我们在第 7 章中介绍离散Fourier变换时，我们将使用它，这一点再次变得非常强烈。

此处是焦点。花一分钟来解释。又回来二维的情况，假如 $\underline{u} =\{ u_1,u_2\}$ , $\underline{v} =\{ v_1,v_2\}$ ,其中， $u_1,u_2,v_1,v_2$ 是复数。首先，一个向量的范数是

$||u||=(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})^{1/2}$ 。

这些是复数 $u_1$ 和 $u_2$ 的大小，不是表示绝对值。很好。下一步，就像我们对实数那样，扩展 Pythagoras定理的向量格式：

$||\underline{u}+\underline{v}||^{2} = ||\underline{u}||^{2}+||\underline{v}||^{2}$ ,

$|u_1+v_1|^{2}+|u_2+v_2|^{2}=|u_{1}|^{2}+|u_{2}|^{2}+|v_{1}|^{2}+|v_{2}|^{2}$ ,

$|u_{1}|^{2}+2Re\{u_{1}\overline{v_{1}}\}+|v_{1}|^{2}+|u_{2}|^{2}+2Re\{u_{2}\overline{v_{2}}\}+|v_{2}|^{2}$

$=|u_{1}|^{2}+|u_{2}|^{2}+|v_{1}|^{2}+|v_{2}|^{2}$ ,

$2Re\{u_{1}\overline{v_{1}}+u_{2}\overline{v_{2}}\}=0$ 。

(如果你不知道实部进来时左边发生了什么，请参阅附录 B，关于复数部分。) 因此，如果我们想为复向量定义正交性，为什么不定义内积为

$(\underline{u},\underline{v})=Re\{u_{1}\overline{v_{1}}+u_{2}\overline{v_{2}}\}$

并称这应当为0 呢？注意，若 $\underline{v}=\underline{u}$ ，则我们确实从这个定义恢复了这个范数，

$Re\{u_{1}\overline{v_{1}}+u_{2}\overline{v_{2}}\}=Re\{|u_1|^{2}+|u_2|^{2}\}=|u_1|^{2}+|u_2|^{2}$ 。

我们也有对称性，

$(\underline{u},\underline{v})=Re\{u_{1}\overline{v_{1}}+u_{2}\overline{v_{2}}\}=Re\{v_{1}\overline{u_{1}}+v_{2}\overline{u_{2}}\}=(\underline{v},\underline{u})$ ,

并且检查可加性也通过。问题在于同质性(homogeneity)。若 α 是复数，则根据这个(试探性的(tentative))定义，

$(\alpha \underline{u},\underline{v})=Re\{\alpha u_{1}\overline{v_{1}}+ \alpha u_{2}\overline{v_{2}}\}\neq \alpha Re\{v_{1}\overline{u_{1}}+v_{2}\overline{u_{2}}\}=\alpha(\underline{v},\underline{u})$

$(\underline{u},\alpha\underline{v})$ 也是类似的问题。

同质性太难以放弃。一方面，如果没有同质性，你就无法有效地将一个向量投影到另一个向量上，因为没有同质性，你就无法缩放投影。为了保持同质性——实际上，为了几乎保持同质性——长辈们决定，两个复向量(n 维)的内积应该是

$(\underline{u} , \underline{v}) = u_{1}\overline{v_{1}}+u_{2}\overline{v_{2}} + ... + u_{n}\overline{v_{n}}$ 。

根据这个定义，两个复向量的内积是一个复数。然而，如果 $(\underline{u} , \underline{v}) = 0$ ,我们仍然声称向量 $\underline{u}$ 和 $\underline{v}$ 是正交的，并且,对于范数，仍然具有表达式

$(\underline{u},\underline{u})== u_{1}^{2}+u_{2}^{2} + ... + u_{n}^{2}=||\underline{u}||^{2}$ 。

但采用这个定义会产生一些后果。下面是代数属性的列表，显示了与实数情况的相似之处和不同之处。和以前一样，我将这些留给您来验证。

(1) 正定性(positive definiteness)

$(\underline{v},\underline{v})>0$ 且当且仅当 $\overline{v}=0$ 时 $(\underline{v},\underline{v})=0$ 。

(2) 共轭对称性(conjugate symmetry)(也称为Hermite对称性)(注：以法国数学家Charles Hermite的名字命名。在其他数学主题中，他研究了二次形式，其中内积就是一个例子。他也是一系列同名多项式之父，这些多项式在Fourier变换的性质中发挥着重要作用。留到以后的问题部分。)

$(\underline{v},\underline{w})=\overline{(\underline{w},\underline{v})}$ 。

(3) 同质性(homogeneity)

对于任意标量α ， $(\alpha\underline{v},\underline{w})=\alpha (\underline{v},\underline{w})$ 。

对于任意向量α，这次，根据共轭对称性，我们有 $(\underline{v},\alpha \underline{w})=\overline{\alpha} (\underline{v},\underline{w})$ 。

(4) 可加性(additivity)

$(\underline{v}+\underline{w},\underline{u})=(\underline{v},\underline{u})+(\underline{w},\underline{u})$ 。

在对称性中，顺序很重要。在同质性中，最重要的是第一个或第二个位置(slot)。

$\underline{v}$ 在单位向量 $\underline{w}$ 上的投影是 $(\underline{v},\underline{w})\underline{w}$ (即便你不能画出复向量的示意图)。若α 是一个复数，则 $a\underline{v}$ 在 $\underline{w}$ 上的投影是 $(\alpha\underline{v},\underline{w})\underline{w}=\alpha(\underline{v},\underline{w})\underline{w}$ ，因为内积在第一个位置上是同质的。投影缩放，尽管(albeit)允许按复数缩放(您无法绘制)。

从现在开始，默认的假设是我们使用复向量的内积。实数向量 $\underline{e}_{1},\underline{e}_{2},...,\underline{e}_{n}$ 是 $\mathbb{C}^{n}$ 的一个正交基(因为我们允许复数缩放)，并且 $\mathbb{C}^{n}$ 中的任意向量 $\underline{v}$ 都可以根据这组正交基写成

$\underline{v}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(\underline{v},e_k)e_k$ 。(译注： $(\underline{v},e_k)$ 是向量 $\underline{v}$ 在单位向量 $e_k$ 上的投影，它只是一个标题，即在单位向量上分解的大小，再乘以单位向量 $e_k$ 是为了加上向量的方向。)

1.7.2 回到Fourier级数(Back to Fourier series)

让我引入一些记法和基本术语，并指出重要的结论，以便您明白要点。然后我将解释这些思想的来源以及它们如何组合在一起。

再次明确，我们将使用周期为 1 的周期函数。我们可以考虑已经为所有实数定义了这样一个函数，并且对于所有 t 满足恒等式 f (t + 1) = f (t)，或者我们可以认为 f(t) 最初仅在 0 到 1 的区间上定义，然后扩展为周期性的函数，并通过重复该图像使在所有 ℝ 上有定义。无论哪种情况，一旦我们知道了 [0, 1] 上或任何长度为 1 的区间上的函数需要了解什么，我们就知道了一切。以下讨论中的所有操作都发生在区间 [0, 1] 上。

1.7.2.1 平方可积函数及其范数(Square integrable functions and their norm)

当 f (t) 是一个定义在闭区间 [0, 1] 上的函数时，它的能量(energy)定义为积分

$\int_{0}^{1}|f(t)|^{2}dt$ 。

这种能量的定义也出现在其他物理背景中。我们不必谈论时间的函数。(在某些领域，平方的积分用幂来表示。) 因此，

$\int_{0}^{1}|f(t)|^{2}dt<\infty$

指的是信号具有有限能量(finite energy)，这是一个期望或施加的合理约束条件。你也可以说，这个信号是平方可积的(square integrable)。任何连续信号，或者甚至具有有限个跳跃点的逐段连续信号，都是平方可积的。这个覆盖范围很广。

我一直根据 f (t) 的大小的平方 $|f(t)|^{2}$ 的积分来定义能量表达式，而不是仅仅写成 $[f(t)]^{2}$ ,因为我们希望考虑的这个定义适用于复数值函数。对于实数函数，积分 $|f(t)|^{2}$ 或 $[f(t)]^{2}$ 都一样。

在我们继续进行学习之前还有一点要交待清楚。尽管我们的目的是使用有限能量条件来处理周期函数，并且尽管您认为周期函数是为所有时间定义的，但您可以明白为什么我们必须将注意力限制在一个周期(任何周期)上。(非零)周期函数从-∞到+∞的平方积分是无限的，例如，

$\int_{-\infty}^{\infty}[sin(2\pi t)]^{2}dt$ 。

主要是出于数学上的原因，采用一个函数 f (t) 的平方积分的平方根并使用

$||f||=\{\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2}dt\}^{1/2}$

来定义f (t)的范数(长度),这是最优的选择。根据定义，我们有

||α f || = |α|||f || ,

而如果我们不求平方根，则该常数将得出二次方。如果我们确实定义了长度，那么将 f (t) 缩放到αf (t)应该将按|α|缩放f (t)的长度。如果我们在定义 f 时不取平方根，则长度不会缩放到一次方。(与几何向量及其范数相同。)

我们还可以证明(尽管证明不是那么明显(参见第 1.9 节))三角不等式成立：

|| f + g ||≤ || f || + || g || 。

如果您认为根据积分来表述更明显，请用积分写出来：

$\{\int_{0}^{1}|f(t)+g(t)|^{2}dt\}^{1/2}\leq \int_{0}^{1}|f(t)|^{2}dt\}^{1/2}+\int_{0}^{1}|g(t)|^{2}dt\}^{1/2}$ 。

我们可以借助于

$||f-g||=\{\int_{0}^{1}|f(t)-g(t)|^{2}dt\}^{1/2}$

来度量两个函数之间的距离。

则，当且仅当 f = g 时， || f - g || = 0 。

1.7.2.2 这是一个检验(This is a test)

我们直接进入一些定义——抱歉！ ——但你的目的是与几何向量建立联系。向量的长度是其分量平方和的平方根。由积分(作为和的极限)定义的范数是对向量连续性的模拟(analog)。距离的定义同样类似于向量之间的距离。当我们引入相应的内积时，我们将更加类似于几何向量。

我们令 $L^{2}[0,1]]$ 为闭区间[0，1]上复数值函数 f (t) 的集合，并且

$\int_{0}^{1}|f(t)|^{2}dt<\infty$ 。

这个“L”表示Henri Lebesgue[hénri，ləbε:g]，他是法国数学家，他引入了积分的新的定义，该定义是我们将要讨论的结论的分析方面的基础。他的成果大约发生在 20 世纪之交。然后，我们刚刚引入的长度 || f || 称为函数的平方范数(square norm) 或 $L^{2}$ 范数。当我们想将其与可能(并将)出现的其他范数区分开来时，我们写成 $||f||_{2}$ 。

任何几何向量都有有限的长度，因此在几何背景中我们不需要将有限范数作为单独的假设。但并非 [0, 1] 上的每个函数都是平方可积的(找一些例子！)，我们确实需要假设信号的平方可积才能完成任何事情。换句话说，如果它不是平方可积的，我们就不感兴趣。幸运的是，如上所述，有很多函数值得关注。

1.7.2.3 L2 ([0,1])上的内积(The inner product on L2 ([0,1]))

通过了识别 $L^{2}$ ([0, 1])中函数长度与几何向量长度之间类比的检验后，您将可以非常轻松地在 $L^{2}$ ([0, 1]) 上将两个函数 f 和 g 的(复数！)内积定义为

$(f,g) = \int_{0}^{1}f(t)\overline{g(t)}dt$ 。

次序很重要，因为，

$(g,f) = \int_{0}^{1}g(t)\overline{f(t)}dt= \int_{0}^{1}\overline{\overline{g(t)}f(t)}=\overline{\int_{0}^{1}\overline{g(t)}f(t)}=\overline{(g,f) }$ 。

这与我们观察到的几何向量内积的Hermite对称性相同。注意

$( f ,f ) = ||f||^{2}$ 。

内积的其它代数属性也成立。为了读者的方便我也列在下面。

(1) 正定性(正值确定性)(positive definiteness)

( f , f ) ≥ 0 且当且仅当 f = 0 时 ( f , f ) = 0。

(2) 同质性(homogeneity)

对于任意复数α ，(αf, g) = α(f , g)， $( f, \alpha g) = \overline{\alpha}(f, g)$ (第二个位置中的α取复数共轭 )。

(3) 可加性(additivity)

( f , g + h ) = ( f , g ) + ( f , h ) 。

对于那些数学很好的人来说，有必要证明如果 f (t) 和 g (t) 是平方可积的，那么 $f (t) (\overline{g (t)})$

是可积的，这样内积才有意义,我将把这个要点留到第 1.9 节。

有了内积这个工具，正义性只不过是一种定义方式。即，对于 $L^{2}([0, 1])$ 上的复数值函数 f (t)和g (t)，如果

$(f,g) = \int_{0}^{1}f(t)\overline{g(t)}dt = 0$ ,

则f (t)和g (t)是正交的。对于这个定义，我们取哪一个次序并不重要，可以取 ( f , g )或(g , f )。

若 f (t)和g (t)是正交的，则 Pythagoras定理对其成立，

$(||f+g||)^{2} = ||f||^{2} + ||g||^{2}$ 。

这是根据复杂内积经常使用的恒等式推导出出来的：

$(||f+g||)^{2} = ||f||^{2} +2Re(f,g)+ ||g||^{2}$ 。

反过来，对此的验证是使用内积的代数性质的练习，值得一试：

$(||f+g||)^{2}=(f + g, f + g) = (f , f + g) + (g, f + g)$

------------------ $=(f , f ) +( f , g) + (g, f ) + (g, g)$

------------------ $= ||f||^{2} +2Re(f,g)+ ||g||^{2}$ 。

类似的恒等式还有

$(||f-g||)^{2} = ||f||^{2} -2Re(f,g)+ ||g||^{2}$ 。

1.7.3 复指数是正交的，还有更多！(The complex exponentials are orthonormal, and more!)

考虑到几何视角，我们现在可以重新构建在求解Fourier系数时所做的基本计算：

$\bullet$ 复指数函数 $e^{2\pi int}$ (n = 0 , ±1，±2，...)是正交函数。

让我们再来看看其计算。写成

$e_{n}(t) = e^{2\pi int}$ 。

两个复指数函数 $e_{n}(t)$ 和 $e_{m}(t)$ 之间的内积，当 n ≠ m 时，是

$(e_{n}(t),e_{m}(t))=\int_{0}^{1}e^{2\pi int}\overline{e^{2\pi imt}}=\int_{0}^{1}e^{2\pi int}e^{-2\pi imt}=\int_{0}^{1}e^{2\pi i(n-m)t}$

--------------------- $= \frac{1}{2\pi i(n-m)}e^{2\pi i(n-m)t)}]_{0}^{1}$

--------------------- $= \frac{1}{2\pi i(n-m)}[e^{2\pi i(n-m)}-e^{0}]$

--------------------- $= \frac{1}{2\pi i(n-m)}[1-1]$

--------------------- $=0$ 。

它们是正交的。当 n = m 时，

$||e_{n}||^{2}=(e_{n},e_{n})=\int_{0}^{1}e^{2\pi int}\overline{e^{2\pi int}}dt=\int_{0}^{1}e^{2\pi int}e^{-2\pi int}dt$

--------- $=\int_{0}^{1}e^{2\pi i(n-n)t}dt=\int_{0}^{1}1dt$ 。

因此，函数 $e_{n}(t)$ 是正交的。

$(e_{n},e_{m})=\delta_{nm} = \left\{\begin{matrix} 1(n=m),\\ 0(n \neq m) \end{matrix}\right.$ 。

1.7.3.1 放松自己(Go easy on yourself )

让我减轻你可能认为你必须承担的负担。仅仅因为我们有充分的理由使用几何术语，并不意味着您应该能够可视化复指数函数的正交性。这是一个类比；这不是一个身份证明。同样，对于任何其他正交函数族(如正弦和余弦或Legendre多项式等；请参阅后面的问题)也是如此。所以，不要躺在床上盯着天花板，想象图像，试图想象正交性的图像。千万不要。

1.7.3.2 Fourier系数是投影(The Fourier coefficients are projections )

函数f (t)在 $e_{n}(t)$ 的“方向上”的分量是多少？通过类比Euclid的情况，它由以下内积

$(f,e_{n})=\int_{0}^{1}f(t)\overline{e_{n}}dt=\int_{0}^{1}f(t)e^{-2\pi int}dt$ (译注：= $\widehat{f}(n)$ )

给出。确切地说，是由第 n 项Fourier系数 $\widehat{f}(n)$ 给出。因此，写成Fourier级数

$f(t)=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\widehat{f}(n)e^{2\pi int}$

与f (t)根据正交基和相关内积的分解完全相同：

$f=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}(f,e_{n})e_{n}$ 。

1.7.3.3 复指数函数是一个正交基(The complex exponentials are an orthonormal basis )

我们还没有完成的事是证明复指数函数是基并且是正交的。他们是正交基！这个结论是我们刚刚开发的代数/几何/分析方法的顶峰(culmination)。

$\bullet$ 如果 f (t) 在 $L^{2}[0,1]$ 中，则

$f=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}(f,e_{n})e_{n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\widehat{f}(n)e^{2\pi int}$ 。

为此，我们需要证明

$\displaystyle\lim_{N->\infty}||f- \sum_{n=-N}^{N}(f,e_{n})e_{n}||=0$ 。

写成，

$f=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}(f,e_{n})e_{n}$ ,

如上，意味着等号是根据极限来解释。这又是收敛性问题，但要重新设计。更多内容请参见第 1.8.3 节。

1.7.3.4 Bessel不等式(Bessel inequality)

这是复数指数正交性和内积属性的一个很好的(数学)应用。使用我们已阐述过的知识点，您可以证明

$\displaystyle ||f-\sum_{n=-N}^{N}(f,e_{n})e_{n}||^{2}=||f||^{2}-\sum_{n=-N}^{N}||\widehat{f}(n)||^{2}$ 。

因为，作为范数， $\displaystyle ||f-\sum_{n=-N}^{N}(f,e_{n})e_{n}||^{2}\geq 0$ ,反过来意味着

$\displaystyle \sum_{n=-N}^{N}||\widehat{f}(n)||^{2} \leq ||f||^{2}$ 。

这称为 Bessel 不等式(注：这就是Friedrich Bessel，他的名字也与一系列特殊函数相关。你会在一些问题中见到这些函数)。你会得到一个不等式，因为在左边，你没有将 f 的所有分量包含在总和中，所以你不会得到 f 的整个 $L^{2}$ 范数。然而，更进一步来说，Bessel不等式对于所有 N 都成立，无论有多大，因此我们可以放心地让 N ⟶ ∞ 并得出结论：

$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}||\widehat{f}(n)||^{2} \leq ||f||^{2}<\infty$ 。

即， $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}||\widehat{f}(n)||^{2}$ 是收敛的。作为一个结论，我们表述为，

当 n ⟶±∞ 时， $|\widehat{f}(n)|^{2} \longrightarrow 0$ ，因此，也有 n ⟶∞ 时， $\widehat{f}(n) \longrightarrow 0$ 。

在这里，我们引用了古老微积分时代的收敛级数的一般结果；如果级数收敛，则通项必定趋于零(注：特别地， $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi int}$ 蜂鸣声的例子，对于 t 的任意值都不收敛，因为 $|e^{2\pi int}|=1$ ) 。

但仅仅从Fourier系数趋于0，并不能反推Fourier级数收敛。请回顾那些同样美好的旧微积分时代的例子：1/n ⟶ 0 但 $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}(1/n)$ 发散。此外，涉及复数指数的Fourier级数是振荡项的总和(如果将其分为实部和虚部，则为余弦和正弦)，因此收敛更加棘手。

复数指数是 $L^{2}[0,1]$ 的标准正交基这一事实意味着，事实上，Bessel不等式中的等式成立：

$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}||\widehat{f}(n)||^{2} = ||f||^{2}<\infty$

这是Rayleigh恒等式，它有自己的一部分。

1.7.3.5 Rayleigh恒等式(Rayleigh identity)

作为这些思想的更进一步的应用，让我们来推导Rayleigh恒等式，

$\int_{0}^{1}|f(t)|^{2}dt=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}||\widehat{f}(n)||^{2}$ 。
在物理上，Rayleigh恒等式指的是，我们可以通过将各个谐波的能量相加来计算信号的能量，因为其大小 $|\widehat{f}(n)|^{2}$ 是第 n 次谐波贡献的能量。这是一个相当令人满意的情况，也是一个非常有用的结果。您将在问题中看到它的使用示例。

我们确实有来自正谐波 $e^{2\pi int}$ 和负谐波 $e^{-2\pi int}$ 的相同贡献，因为 $|\widehat{f}(-n)|=|\widehat{f}(n)|$ (注意，这儿表示绝对值)。在Fourier级数的复数指数形式

$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{2\pi int}$ ( $c_n=\widehat{f}(n)$ )

和正弦余弦形式

$f (t) = \frac{a_{0}}{2} +\displaystyle \sum_{n=1}^{N}[a_{n}cos(2\pi int)+b_{n}sin(2\pi int)]$

之间转变时，我们有 $|c_{n}|=\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}$ ，因此， $\widehat{f}(-n)$ 和 $\widehat{f}(n)$ 一起贡献了总能量 $\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}$ 。

Rayleigh恒等式的推导轻而易举！欣然接受收敛，这是一种代数计算。事实上，我们在几何向量的背景下给出了实数内积的论证，为了强调起见，我们在当前的背景中进行论证。

将 f (t) 扩展为 Fourier级数：

$f=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\widehat{f}(n)e^{2\pi int}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(f,e_{n})e_{n}(t)$ 。

则，

$\int_{0}^{1}|f(t)|^{2}dt=||f||^{2}=(f,f)$

------------------ $=(\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}(f,e_{n})e_{n}(t),\sum_{n=-\infty}^{\infty}(f,e_{n})e_{n}(t))$

------------------ $=(\displaystyle \sum_{n,m}^{}(f,e_{n})\overline{(f,e_{m})}(e_{n},e_{m})$

----------------- $= \displaystyle \sum_{n,m=-\infty}^{\infty}(f,e_{n})\overline{(f,e_{m}}\delta_{nm}$

----------------- $=\displaystyle \sum_{n,m=-\infty}^{\infty}(f,e_{n})\overline{(f,e_{n})}$

----------------- $=\displaystyle \sum_{n,m=-\infty}^{\infty}|(f,e_{n})|^{2}$

----------------- $=\displaystyle \sum_{n,m=-\infty}^{\infty}|\widehat{f}(n)|^{2}$ 。

这个推导用到

(1) 复数内积的代数属性，

(2) $e_{n}(t)=e^{2\pi int}$ 关于这个内积是正交的事实，

(3) 处理求和的专业知识。

直到你可以推导出每一行才去睡觉(注：如果你早些时候推导了Bessel不等式，你可能会打瞌睡)。

将Rayleigh恒等式写为

$|\widehat{f}(n)|^{2} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}|(f,e_{n})|^{2}$

再次强调 $L^2$ 几何与向量几何之间的相似之处：如何求向量的平方长度？通过将其分量相对于正交基的平方幅值相加。这正是Rayleigh恒等式表明的。这是我们之前看到的Bessel不等式的完整形式。

1.7.3.6 有限Fourier级数的最佳 L2 近似(Best L2 -approximation by finite Fourier series)

还有另一种将Fourier系数投影到复指数 $e_{n}(t)=e^{2\pi int}$ 上的方法。它表示N次有限Fourier级数为函数提供了 $L^{2}[0,1]$ 中该阶数的最佳(三角)近似。更确切地说：

$\bullet$ 如果 f (t) 是 $L^{2}$ 中的函数，且 $\alpha_1,\alpha_2 ,...,\alpha_n$ 是任意复数。则

$\displaystyle ||f-\sum_{n=-N}^{N}(f,e_{n})e_{n}||\leq ||f-\sum_{n=-N}^{N}\alpha_{n} e_{n}||$ 。

此外，对于每一个 n ， $\alpha_{n}=(f,e_{n})$ 时，等号成立。

在相等的情况下，正是最后一个表述，以不同于我们最初直接求解Fourier系数的方式得出Fourier系数。表述这个结论的另一种方式是，f 在由 $e_n(n = -N,...,N )$ 所覆盖的 $L^{2}[0,1]$ 的子空间上的正交投影是

$f (t) = \displaystyle \sum_{n=-N}^{N}\widehat{f}(n)e^{2\pi int}$ 。

这将Fourier系数识别为优化问题的解，并且工程师喜欢优化问题。数学家也喜欢优化问题，尽管有时出于不同的原因。他们喜欢这个结论，因为它是证明复数指数是 $L^{2}[0,1]$ 的一个正交基的关键一步。我们将在1.8.3节讨论这个问题。

现在来证明它，请保持耐心。写成

$\displaystyle ||f-\sum_{n=-N}^{N}\alpha_{n} e_{n}||^{2}=||f-\sum_{n=-N}^{N}(f,e_{n})e^{n}+\sum_{n=-N}^{N}(f,e_{n})e^{n}-\sum_{n=-N}^{N}\alpha_{n} e_{n}||^{2}$

$=||[f-\sum_{n=-N}^{N}(f,e_{n})e_{n}]+\sum_{n,m=-N}^{N}[(f,e_{n})-\alpha_{n})e_{n}]||^{2}$

我们对所有范数进行平方，因为我们想利用内积的属性来扩展最后一行。使用我们在几页前导出的恒等式(注：Pythagoras定理的恒等性和复数内积的正交性)，最后一行成为：

$||[f-\sum_{n=-N}^{N}(f,e_{n})e_{n}]+\sum_{n,m=-N}^{N}[(f,e_{n})-\alpha_{n})e_{n}]||^{2}$

$=\displaystyle ||f-\sum_{n=-N}^{N}(f,e_{n})e_{n}||^{2}+$

$\displaystyle 2Re\{(f-\sum_{n=-N}^{N}(f,e_{n})e_{n},\sum_{n=-N}^{N}[(f,e_{n})-\alpha_{m})e_{m}])\}+$

$\displaystyle ||\sum_{n=-N}^{N}[(f,e_{n})-\alpha_{n}]e_{n}||^{2}$ 。

这看起来很复杂，但中间项只是以下形式的多项式的总和

$(f-\sum_{n=-N}^{N}(f,e_{n})e_{n},e_{m})=(f,e_{m})-\sum_{n=-N}^{N}(f,e_{n})e_{n}(e_{n},e_{m})$

----------------------------------------- $=(f,e_{m})-(f,e_m)$ ,

----------------------------------------- $=0$

因此，整个项都消没了，最后的项是

$\displaystyle ||\sum_{n=-N}^{N}[(f,e_{n})-\alpha_{n}]e_{n}||^{2}=\displaystyle \sum_{n=-N}^{N}|(f,e_{n})-\alpha_{n}|^{2}$ 。

剩下的部分是

$\displaystyle ||f-\sum_{n=-N}^{N}\alpha_{n} e_{n}||^{2}=||f-\sum_{n=-N}^{N}(f,e_{n}) e_{n}||^{2}+\sum_{n=-N}^{N}|(f,e_{n})-\alpha_{n}|^{2}$ 。

这完整地证明了结论，因为右边是两个正项之和，因此

$\displaystyle ||f-\sum_{n=-N}^{N}\alpha_{n} e_{n}||^{2} \geq ||f-\sum_{n=-N}^{N}(f,e_{n})e_{n}||^{2}$ 。

并且，当且仅当

$\sum_{n=-N}^{N}|(f,e_{n})-\alpha_{n}|^{2}=0$

时等式成立。而后者成立的条件是，当且仅当对于所有的 n，都有 $(f,e_{n})=\alpha_{n}$ 。

这个论证可能看起来是劳动密集型的(labor intensive)，但它都是基于内积属性的所有代数。想象一下尝试用积分写出所有内容。

1.7.3.7 如果周期不是1又会是什么情况(What if the period isn’t 1)

回顾一下，当周期是 T 而不是 1 的时候，我们如何修改Fourier级数。我们被导向展开式

$f (t) = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{2\pi int/T}$ ，

其中，

$c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{-2\pi int/T}f(t)dt$ 。

我们刚刚完成的整个设置可以轻松修改以囊括这种情况。我们的整个工作建立在闭区间[0, T ]上的平方可积函数的空间 $L^{2}[0,1]$ 上。这个(复数)内积是

$(f,g)=\int_{0}^{T}f(t)\overline{g(t)}dt$ 。

使用 T 周期的复指数，又会发生什么？若 n ≠ m ，则，与之前的很多运算一样，

$(e^{2\pi int/T},e^{2\pi imt/T})=\int_{0}^{T}e^{2\pi int/T}\overline{e^{2\pi imt/T}}=\int_{0}^{T}e^{2\pi int/T}e^{-2\pi imt/T}$

----------------------------- $=\int_{0}^{T}e^{2\pi i(n-m)t/T}$

---------------------------- $=\frac{1}{2\pi i(n-m)/T}e^{2\pi i(n-m)t/T}]_{0}^{T}$

---------------------------- $=\frac{1}{2\pi i(n-m)/T}(e^{2\pi i(n-m)}-e^{0})$

---------------------------- $=\frac{1}{2\pi i(n-m)/T}(1-1)=0$ 。

而当 n = m 时，

$(e^{2\pi int/T},e^{2\pi int/T})=\int_{0}^{T}e^{2\pi int/T}\overline{e^{2\pi int/T}}=\int_{0}^{T}e^{2\pi int/T}e^{-2\pi int/T}dt$

---------------------------- $=\int_{0}^{T}1dt=T$ 。

啊哈，结果不是1 ,而是 T 。具有周期 T 的复数指数是正交的(orthogonal)，但不是标准正交的(orthonormal)。为了使后一个属性成立(即：标准正交)，我们将复数指数缩放为

$e_{n}(t)=\frac{1}{\sqrt{T}}e^{2\pi int/T}$ ,

然后，

$(e_{n},e_{m})=\left\{\begin{matrix} 1(n=m),\\ 0(n \neq m) \end{matrix}\right.$ 。

这就是因子 $\frac{1}{\sqrt{T}}$ 的由来，即本章前面提及的因了。f 与 $e_{n}$ 的内积是

$(f,e_{n})=\frac{1}{\sqrt{T}}\int_{0}^{T}f(t)e^{2\pi int/T}dt$ ，

则

$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}(f,e_{n})e_{n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\frac{1}{\sqrt{T}}\int_{0}^{T}f(t)e^{2\pi int/T}dt)\frac{1}{\sqrt{T}}e^{2\pi int/T}$