边读边存

边读边存，可以有效降低时间复杂度

#include<iostream>
using namespace std;
int dp[1005][1005] = { 0 };
//dp[i][j]表示前面的路径(包括dp[i][j]点本身)能取得的最大值

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);
//由于题目数据量较大，上面两行代码可以加速35%左右
	int r, j = 0, cnt = 2, MAX = -1;
	cin >> r;
	cin >> dp[1][1];
//下面的内层循环比较特殊，因为树每往下一层，元素都递增一个
//所以用cnt来记录每层元素的个数
	for (int i = 2; i <= r; ++i)
	{
		while (++j <= cnt)
		{
			cin >> dp[i][j];
			dp[i][j] += max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]);
//由于是二叉树，因此每个节点只需判断它前面两个结点的值哪个最大即可
//因为是从dp[1][1]开始存入数据，所以i-1和j-1均不会越界
		}
		++cnt;
		j = 0;
	}
	//遍历最后一行判断谁是最大值
	for (int i = 1; i <= r; ++i)
	{
		MAX = max(MAX, dp[r][i]);
	}
	cout << MAX;
	return 0;
}

优化成一维数组——倒序没用了？

在上一篇文章（【洛谷】采药(01背包问题)）将二维数组优化成一维数组的过程中，内层循环我们是采用倒序的方式计算dp[ i ][ j ]，这是因为如果正序存储dp[ i ][ j ]，就会覆盖掉dp[ i-1 ][ j ]，这样就无法通过状态方程计算dp[ i ][ j ]。在这道题中同样要避免覆盖掉dp[ i-1 ][ j ]，不过为了保证时间复杂度，必须保留边读边存的做法。

接下来尝试一下倒序的方式在这题中是否适用（这么问了肯定不适用，正确答案请移步最后）

int r, j = 3, cnt = 2, MAX = -1;
	cin >> r;
	cin >> dp[1];
	for (int i = 2; i <= r; ++i)
	{
		while (--j >= 1)
		{
			cin >> dp[j];
			dp[j] += max(dp[j], dp[j - 1]);
		}
		++cnt;
		j = cnt;
	}

首先要注意一点，我们是逆序输入，也就是说如果原来输入 3，10，9，那么在数组的里存放的顺序应该是9，10，3（假设单纯的存进去，不进行运算）

那么输入的树应该是镜像的，比如

3 8

8 1 0

2 7 4 4

会变成：

8 3

0 1 8

4 4 7 2

这两棵树在这道题中其实没有区别，因此不影响。

然后我们输入下面这组数据

4
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4

当输入到

时，树的结构如下：

接着输入8之后，以下两种情况，你觉得是哪一种？

是下面的那种。看代码中下面这部分

在cin>>dp[1]的时候，已经把dp[1]覆盖成8了，因此公式变成了8+=max(8,0)，这样一来答案就错了。不过到这一步，怎么改错也很明显了，既然不想被覆盖，那就引入一个变量来保存一下原本的dp[ j ]就行了嘛。

#include<iostream>
using namespace std;
int dp[1005] = { 0 };

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);
	int r, j = 3, cnt = 2, MAX = -1, x = 0;
	cin >> r;
	cin >> dp[1];
	for (int i = 2; i <= r; ++i)
	{
		while (--j >= 1)
		{
			cin >> x;
			x += max(dp[j], dp[j - 1]);
			dp[j] = x;
		}
		++cnt;
		j = cnt + 1;
	}
	for (int i = 1; i <= r; ++i)
	{
		MAX = max(MAX, dp[i]);
	}
	cout << MAX;
	return 0;
}

于是空间成功从4MB多降到了800KB

当然，还可以从下往上计算，最后的结果保存在dp[1][1]，这样减少了最后遍历整个数组的过程，但是输入的时候没法实现边读边存，最终时间复杂度没有差别。这里引用一下原题下方大神linlin1024的题解