第一章函数极限连续
- 第一节函数
- 第二节极限
- - 一、极限的概念与性质
  - - （1）数列的极限
    - - 例1
        例2
    - （2）函数的极限
    - （3）极限的性质（保号性重点有界性）
    - - 例12
        例13
        例14
    - （4）`函数极限与数列极限的关系（海因定理）`
    - - 例15
  - 二、无穷小量与无穷大量
  - - （1）无穷小的概念
    - （2）无穷小的性质
    - - 无穷个无穷小的和不是无穷小-证明
      - `无穷个无穷小量的乘积不是无穷小-证明（没看懂）`
      - 无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小-证明
    - （3）无穷小的比较
    - - 常用的等价替换（***）
      - 例23
      - 极限值与无穷小之间的关系（极限脱号）
      - 例25
    - （4）无穷大量
    - - 无穷大量的概念
      - 无穷大量的性质
      - 常用的一些无穷大量的比较（抓大头）
      - 无穷大量与无界变量的关系
      - 例30
    - 无穷大量与无穷小量的关系
  - 三、极限的计算
  - - （1）利用四则运算法则求极限
    - - 常用的结论（***）
      - 未定式的分类以及做法（***）
      - **例33 （93 数三）注意负无穷**
    - （2）利用两个重要极限求极限
    - （3）利用等价无穷小替换求极限
    - - 不可用洛必达（需要连续）
        例40.1
        例42（无穷个无穷小的和不一定为零）
        例43（拉氏定理的应用）
        例46（极限拆分，拆出的极限存在才可拆）
        例50
        例52（去极限号）
    - （4）利用洛必达法则求极限
    - - 例53（凑等价无穷小）
        例55（数列函数极限转换，替换n和x的目的是让解题简单）
        例56（泰勒）
        例64（抓大头，>>注意趋于无穷）
        例65（包含抽象函数本身）
    - （5）利用夹逼准则求极限（后面几个方法一般用来求数列极限）
    - - 例66
        例68（结论，需要记住）
        例69（上题的运用，需要数形结合，找出各个区间最大的）
        例70
        例71
    - （6）利用单调有界数列极限准则求极限
    - - 证明有界性和单调性的方法
      - 例72（***）
        例73 （不等式放缩，不知道前几项的大小关系，故不能用函数求）
        例74 （很妙）
    - （7）利用无穷小的性质求极限
    - - 例75
    - （8）利用函数的连续性求极限
    - （9）利用泰勒公式求极限
    - 常见的泰勒公式
    - - 例78（展开到跟分母一样就行，超过也是等价无穷小）
        例79 （很妙，凑等价，与分母同阶）
        例80（法二需要注意函数连续性的）
    - （10）求极限的其他方法
- 第三节函数的连续性
- - （1）函数的连续性
  - - - 例1（补充定义，函数连续）
        例4（无穷小*有界量）
        例6 （补充定义，三角函数的代换的妙用）
  - （2）连续函数的运算和初等函数的连续性
  - - 1. 连续函数的运算
    - 2. 初等函数的连续性
    - - 例7（结论）
        例8（只有洛必达时才需要n化成x）
        例10（初等函数秒杀）
        例11
        例14（绝对值）
        例17
  - （3）间断点及其分类
  - - 1. 间断点的定义
    - 2. 间断点的分类
    - - 例20
        例21
        例22
        例23
        例25
    - 补充：天生的间断点
  - （4）闭区间上连续函数的性质（重要）
  - - 零点定理
    - - 例28（注意一定要说连续，这是基础）
        例31 （公式证明函数连续就该想到：最值介值有界零点）
    - 介值定理的推广（用介值和最值推理）
    - - 例34 （积分中值定理的一般形式的证明）

第一章函数极限连续

第一节函数

判断有界要用函数的绝对值，并且这里的不等式解法需要注意

在这里插入图片描述

需要注意这里的论证方式

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第二节极限

一、极限的概念与性质

（1）数列的极限

在这里插入图片描述

奇数子列要收敛于a，偶数子列也需要收敛于a（以2n为例子，若为3n，则余1、余2、余0的子列都要收敛于a）
拓展出去就是，所有的子列都收敛于a，才能说这个数列收敛于a

在这里插入图片描述

例1

在这里插入图片描述

例2

在这里插入图片描述

（2）函数的极限

自变量趋于无穷大时函数的极限

自变量趋于有限值函数的极限

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需要注意的有左极限以及右极限

需要分左右极限的状况

（3）极限的性质（保号性重点有界性）

在这里插入图片描述
有界性
数列

数列若收敛则一定有界，反之不成立
有界是有上界或者有下界，上界下界可以相同，这种情况就是收敛

函数

函数极限存在即说明函数在去心邻域有界（局部有界）
反之不成立
局部有界不代表在那个点的函数极限存在

保号性
数列

如果数列趋于无穷时的极限值大于零或者小于零，则存在一个很大的n，使得 $x_n$ 的值大于零或者小于零
如果一个数列存在一个很大的n，使得 $x_n$ 的值大于等于零或者小于等于零，则数列极限也大于等于零或者小于等于零
最主要的原因是，取值可能取不到0，但是极限可以到0

函数

道理同数列

如果极限值大于则去心邻域也大于
如果函数大于或者大于等于，则极限值大于等于

例12

在这里插入图片描述

例13

在这里插入图片描述

大于什么系数大于零小于一；小于什么系数大于一

在这里插入图片描述

例14

局部有界连续判定
在这里插入图片描述

（4）`函数极限与数列极限的关系（海因定理）`

在这里插入图片描述

例15

在这里插入图片描述

二、无穷小量与无穷大量

（1）无穷小的概念

在这里插入图片描述

（2）无穷小的性质

在这里插入图片描述

无穷个无穷小的和不是无穷小-证明

在这里插入图片描述

`无穷个无穷小量的乘积不是无穷小-证明（没看懂）`

在这里插入图片描述

无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小-证明

在这里插入图片描述

（3）无穷小的比较

在这里插入图片描述

常用的等价替换（***）

【高等数学】等价无穷小代换
在这里插入图片描述

例23

在这里插入图片描述

极限值与无穷小之间的关系（极限脱号）

在这里插入图片描述

例25

在这里插入图片描述

（4）无穷大量

无穷大量的概念

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无穷大量的性质

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常用的一些无穷大量的比较（抓大头）

在这里插入图片描述

无穷大量与无界变量的关系

在这里插入图片描述

例30

经典无界不为无穷
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无穷大量与无穷小量的关系

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三、极限的计算

（1）利用四则运算法则求极限

在这里插入图片描述

常用的结论（***）

在这里插入图片描述
重要结论：

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未定式的分类以及做法（***）

0/0的未定式采用

洛必达
等价替换
泰勒
拉氏
导数定义

无穷加减无穷的

遇到分式，通分
遇到根式，有理化
实在不行，倒带化
倒带化本质，提最高次

无穷比无穷

洛必达
抓大头
提最高次
同除最高次

1的无穷次方

利用第二重要极限
幂指转换

例33 （93 数三）注意负无穷

在这里插入图片描述

（2）利用两个重要极限求极限

在这里插入图片描述

（3）利用等价无穷小替换求极限

乘法随便换，加减要注意（不能抵消）
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不可用洛必达（需要连续）

但是这题是数列，不连续
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使用海因定理就可以洛必达了

在这里插入图片描述

例40.1

在这里插入图片描述

例42（无穷个无穷小的和不一定为零）

在这里插入图片描述
这个经典错误，是因为忽略了无穷个n的次方的和，直接抓大头，但是这边是无穷个，所以需要特别注意。

例43（拉氏定理的应用）

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例46（极限拆分，拆出的极限存在才可拆）

1. 只要拆的存在，剩下的不存在，也能拆
2. 整体存在，拆出的两个一定都存在
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例50

在这里插入图片描述

例52（去极限号）

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（4）利用洛必达法则求极限

在这里插入图片描述

注意用前化简

例53（凑等价无穷小）

在这里插入图片描述

例55（数列函数极限转换，替换n和x的目的是让解题简单）

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妙解

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例56（泰勒）

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例64（抓大头，>>注意趋于无穷）

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例65（包含抽象函数本身）

法一
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法二
这么凑的原因没有体现
下面说明一下
因为如果把右边的式子与左边的关联起来，就需要上下同乘x，并且分子加上，然后就能把零去掉，得到答案（类似法三，法二法三其实类似的）

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法三

法四
这里需要注意脱极限号时需要考虑的去心邻域
思路：
让f（x）不再抽象，直接化为具体，再写出需要求出的式子，然后得出答案
属于无脑做法

（5）利用夹逼准则求极限（后面几个方法一般用来求数列极限）

注意不存在为无穷也可以，主要是两边的极限值相等

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例66

在这里插入图片描述

例68（结论，需要记住）

在这里插入图片描述

例69（上题的运用，需要数形结合，找出各个区间最大的）

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例70

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法二
非未定式直接得出答案

例71

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（6）利用单调有界数列极限准则求极限

在这里插入图片描述

证明有界性和单调性的方法

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这边第三种证明单调性的方式，只有导数大于0能证明，递小于0不能证明单调性
并且需要知道x1和x2的大小关系

例72（***）

先有界后单调
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在这里插入图片描述
这里知道前几项的大小关系，所以可以直接用函数的导数求单调，下边例题73就不行，因为不知道大小关系

例73 （不等式放缩，不知道前几项的大小关系，故不能用函数求）

在这里插入图片描述

例74 （很妙）

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（7）利用无穷小的性质求极限

例75

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（8）利用函数的连续性求极限

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3是一个定式

（9）利用泰勒公式求极限

皮亚诺&拉格朗日
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皮亚诺一般用来求极限，拉格朗日的泰勒公式一般用来证明

常见的泰勒公式

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例78（展开到跟分母一样就行，超过也是等价无穷小）

在这里插入图片描述

例79 （很妙，凑等价，与分母同阶）

在这里插入图片描述

例80（法二需要注意函数连续性的）

二阶可导不能说明二阶导连续只能说明一阶导连续，原函数连续

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（10）求极限的其他方法

在这里插入图片描述

第三节函数的连续性

（1）函数的连续性

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左端点右连续，右端点左连续，则（）变为【】

例1（补充定义，函数连续）

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有理化洛必达等价

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例4（无穷小*有界量）

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趋于0的大于0次方等于无穷小，趋于0的小于等于0次方，不等于无穷小

例6 （补充定义，三角函数的代换的妙用）

开区间的补充
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（2）连续函数的运算和初等函数的连续性

1. 连续函数的运算

有限次的四则运算或者复合运算之后还是连续
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单调函数必为反函数，反函数不一定是单调函数

2. 初等函数的连续性

初等函数是基本初等函数经过有限次四则或者复合的函数

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例7（结论）

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例8（只有洛必达时才需要n化成x）

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例10（初等函数秒杀）

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例11

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例14（绝对值）

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中括号的部分可以考虑已经是连续，只需要考虑中括号没有包含的部分

例17

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（3）间断点及其分类

1. 间断点的定义

在这里插入图片描述

2. 间断点的分类

在这里插入图片描述

例20

在这里插入图片描述

例21

在这里插入图片描述

例22

在这里插入图片描述

例23

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例25

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反例法（取恒等常数）

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补充：天生的间断点

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（4）闭区间上连续函数的性质（重要）

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对于开区间以及闭区间，如果取值是闭区间则取值范围也是闭区间

零点定理

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例28（注意一定要说连续，这是基础）

在这里插入图片描述
端点等号的情况得单独说

例31 （公式证明函数连续就该想到：最值介值有界零点）

在这里插入图片描述

介值定理就是连续并且取值范围内，则存在点等于

例33类似
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介值定理的推广（用介值和最值推理）

在这里插入图片描述
端点等号的情况得单独说

例34 （积分中值定理的一般形式的证明）

积分中值定理还有加强形式，由拉格朗日证明
此一般形式由介值和最值定理证明
在这里插入图片描述

高数-第一章-函数-极限 连续

目录

第一章 函数 极限 连续

第一节 函数

第二节 极限

一、极限的概念与性质

（1）数列的极限

例1

例2

（2）函数的极限

（3）极限的性质（保号性重点 有界性）

例12

例13

例14

（4）函数极限与数列极限的关系（海因定理）

例15

二、无穷小量与无穷大量

（1）无穷小的概念

（2）无穷小的性质

无穷个无穷小的和不是无穷小-证明

无穷个无穷小量的乘积不是无穷小-证明（没看懂）

无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小-证明

（3）无穷小的比较

常用的等价替换（***）

例23

极限值与无穷小之间的关系（极限脱号）

例25

（4）无穷大量

无穷大量的概念

无穷大量的性质

常用的一些无穷大量的比较（抓大头）

无穷大量与无界变量的关系

例30

无穷大量与无穷小量的关系

三、极限的计算

（1）利用四则运算法则求极限

常用的结论（***）

未定式的分类以及做法（***）

例33 （93 数三）注意负无穷

（2）利用两个重要极限求极限

（3）利用等价无穷小替换求极限

不可用洛必达（需要连续）

例40.1

例42（无穷个无穷小的和不一定为零）

例43（拉氏定理的应用）

例46（极限拆分，拆出的极限存在才可拆）

例50

例52（去极限号）

（4）利用洛必达法则求极限

例53（凑等价无穷小）

例55（数列函数极限转换，替换n和x的目的是让解题简单）

例56（泰勒）

例64（抓大头，>>注意趋于无穷）

例65（包含抽象函数本身）

（5）利用夹逼准则求极限（后面几个方法一般用来求数列极限）

例66

例68（结论，需要记住）

例69（上题的运用，需要数形结合，找出各个区间最大的）

例70

例71

（6）利用单调有界数列极限准则求极限

证明有界性和单调性的方法

例72（***）

例73 （不等式放缩，不知道前几项的大小关系，故不能用函数求）

例74 （很妙）

（7）利用无穷小的性质求极限

例75

（8）利用函数的连续性求极限

（9）利用泰勒公式求极限

常见的泰勒公式

例78（展开到跟分母一样就行，超过也是等价无穷小）

例79 （很妙，凑等价，与分母同阶）

例80（法二需要注意函数连续性的）

（10）求极限的其他方法

第三节 函数的连续性

（1）函数的连续性

例1（补充定义，函数连续）

例4（无穷小*有界量）

例6 （补充定义，三角函数的代换的妙用）

（2）连续函数的运算和初等函数的连续性

高数-第一章-函数-极限连续

第一章函数极限连续

第一节函数

第二节极限

（3）极限的性质（保号性重点有界性）

（4）`函数极限与数列极限的关系（海因定理）`

`无穷个无穷小量的乘积不是无穷小-证明（没看懂）`

第三节函数的连续性

例31 （公式证明函数连续就该想到：最值介值有界零点）