这一端文章没有写详细的证明。意思是说n维空间下的k个向量围成的多面体的体积，都可以用公式(3)进行计算。详细证明过程参考：行列式的一种推广 - 知乎 

这里简述下过程：

 

首先要把这n个m维向量进行格拉姆斯密特正交化，得到正交后的Umn.为什么会想到这个，因为对于坐标个数和实际空间维度不同的情况下，我们可以利用标架，想办法找到和坐标个数相同的维度，进而回到我们熟悉的n=m的情况下进行讨论。正交化后，我们知道转置和它的本身的乘积会得到n维的单位矩阵。(m>n)

这里熟悉线性代数的人肯定知道，UUT的乘积，表示V空间的投影矩阵，它的意思是把一个向量投影到U的列空间中，得到的值就是这个列空间下的坐标。这不就是我们想要的桥梁吗？继续看，我们把原本的向量用u来做线性组合，就会得到一组系数c.

 

 用c组成矩阵Cn，这也是一个n阶方阵，重点来了A=UC, C=UTA

那么格拉姆矩阵就是

 

这个结论就出来了。格拉姆矩阵是矩阵C行列式的平方，而矩阵C的列，就是原本空间在斯密特正交化后的空间下的坐标的体积。斯密特正交化和原本的体积是一样的，因为：

 

外微分的部分：

 

 这里很重要，首先x1,x2是Rn中的坐标，其实就是有这么多个未知数，求导相当于全微分，而后面的切向量则是我们之前的dx1,dx2....dxn.其实就是全微分公式。

核心来了，因为dx1=这个向量的坐标本身。这是微分下特有的性质，那么外微分就变成了：

 

 后面不正是这几个向量围成的多面体的体积吗？这似乎给了我们外微分和多元微积分建立了联系。

然后通过微分形式的坐标标记法：

可以推导出：

 

 

 

换成我们熟悉的微元：

 

 

这个公式仔细看，其实就是我们的求导啊。

接下来看一个很重要的例子：

这其实就是对于dx1dx2，要进行换元成dt1....dtm。因为个数不相同，是属于高难度的微分换元。

 

 首先，我们要在U里面找到两个向量，因为V中也只有两个向量，我们的维数肯定要一样，不然就不是同胚了。这里似乎和我们之前的做法都不太一样。我们之前往往是直接把雅克比矩阵写出来：

dxdy=det|J|dudv. 这里回到的是最原始的概念，U->V的映射是phi，那么他们切空间的映射就是phi的导数。其实这里用到了对偶空间的概念，对于线性映射作用在向量和它作用在坐标上，矩阵是转置的关系。这里我们要区分清楚。