线性DP———最长公共子序列问题（LCS）

news2025/1/21 22:05:14

LCS问题

求两序列具有相同元素的最长子序列，我们可以用到动态规划的方法来解决问题

我们用 $f[i][j]$ 来表示序列 $a[1-i]$ 与序列 $b[1-j]$ 能组成的LCS的长度， $f[i][j]$ 的状态转移方程如下：

$f[i,j]=\left\{\begin{matrix}0, &i=0|j=0 \\ f[i-1,j-1]+1,&i,j>0,x_i=y_j \\ max\{f[i,j-1],f[i-1,j]\},&i,j>0,x_i \neq y_j \end{matrix}\right.$

使用两层for循环就可以解决此问题，时间复杂度为 $O(n*m)$ ,可以处理n<7000左右的数据

例题：最长公共子序列(LCS) 问题 11426

题目描述

给出1-n的两个排列P1和P2，求它们的最长公共子序列。

输入描述

第一行是一个数n；（n是5~1000之间的整数）
接下来两行，每行为n个数，为自然数1-n的一个排列（1-n的排列每行的数据都是1-n之间的数，但顺序可能不同，比如1-5的排列可以是：1 2 3 4 5，也可以是2 5 4 3 1）。

输出描述

一个整数，即最长公共子序列的长度。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
int a[1001],b[1001];
int f[1001][1001];

int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>b[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(a[i]==b[j])
				f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
			else
				f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
	}
	cout<<f[n][n];
}

而此题有一变式，即 $5\leqslant n\leqslant 10^5$ ，很明显 $O(n*m)$ 的时间复杂度已经解决不了这个问题了，有一种 $O(nlogn)$ 的做法是通过map将 $a[i]$ 映射为高度，然后求b序列的最长单调递增队列，将LCS转换为LIS问题，当然这种方法只适用于 $a\subseteq b$ 时。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
int a[1000001],b[1000001];
int f[1000001];
map<int,int> mp;
int len;

int main() {
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		cin>>a[i],mp[a[i]]=i;//将a[i]映射为高度
	for(int i=1; i<=n; i++)
		cin>>b[i];
	for(int i=1; i<=n; i++) { //找最长单调递增序列
		if(mp[b[i]]>f[len])
			f[++len]=mp[b[i]];
		else {
			int loc=lower_bound(f,f+len,mp[b[i]])-f;
			if(loc)
				f[loc]=mp[b[i]];
		}
	}
	cout<<len;
}

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