本篇目录
前言
一、校验码
1.校验码
2.码距
3.检错与纠错
二、奇偶校验码
三、海明码
1.海明校验码的原理
2.校验位的计算方法
四、CRC码（循环冗余校验）
总结
前言
跟着王道的考研复习指导，学习了三种校验码，做一个小结。
一、校验码
1.校验码
信息传输过程可能出现一些错误，于是发送端与接收端就会约定一种规则，发送端根据这种规则以及要发送的有效信息，来计算得出几位校验码。发送端在发送时，通过在有效信息位外再附加这些校验码，使接收端能够通过这些校验码得知接收的数据是否有误，甚至能判断错误的数据位置。这就是校验码的作用。
2.码距
一种信息编码，它的编码方式决定了任意两个码字之间的最小距离，即码距。如果一种编码，它的合法码字之间的距离是1，这意味着假如有一个合法码字在传输过程中有一位出错了，它会变成另外一个合法码字。由于变化的结果仍然是合法的码字，接收端就无法判断接收的码字是否是正确的。比如发送端与接收端约定使用三位来表示数字0-7，这样的编码的码距就是1，即便传输过程中有一位出错，接收端也无法得知传输有错，因为接收到的仍然是合法的码字。但是假如发送端与接收端约定，使用001、010、100来表示数字1 、2、4，（这种编码的码距为3）那么接收端如果收到了011这样的结果，就知道这是一个不合法的码字，接收端就能知道其中一定出错了。
要计算两个合法码字之间的码距，就将这两个合法码字进行异或运算，看得到的结果中有几个1，码距就是几。或者也可以理解为比较这两个合法码字，看有几位翻转了，码距就是几。
3.检错与纠错
如果一种编码的码距为1，那么就无法进行校验。因此想要有校验能力，一种编码的码距至少要是2。码距越大，检错、纠错（指出出错的位置）能力越强。L-1=D+C，且D≥C，L即最小码距，D即检错能力，C即纠错能力。
二、奇偶校验码
奇偶校验码是在有效信息位前边加上一位校验码，码距为2，可以检测一位错误（或奇数位错误），不能确定出错的位置。
奇校验码：整个校验码（校验位和有效信息位）中“1”的个数为奇数；
偶校验码：整个校验码（校验位和有效信息位）中“1”的个数为偶数；
收发端约定采用的是奇校验还是偶校验，然后接收端对接收的数据进行校验。比如，1011是奇校验码，0011是偶校验码。
三、海明码
海明码的实质还是奇偶校验码，只不过它利用多重奇偶校验，就不仅可以检错，还能指出一位错误的位置。因为海明码能纠错1位，那么至少就能检错1位，因此码距至少为3 。
1.海明校验码的原理
如果给整个校验码设置角标，从1开始，从最后侧开始，那么海明码的校验位设置在角标为2^n （n从0开始，到哪儿结束这取决于有效信息的长度）的位置上，其它位置就是有效信息位。也就是说，校验位是穿插在有效信息位中的。每个有效信息位的角标，总是可以表示成某些校验位的角标之和，比如角标6就可以表示成（2+4），角标7可以表示成（1+2+4），这是使用海明校验码的基础。由此可以知道，有效信息位数n 与校验位的位数k 存在这样的关系：整个校验码的长度(n+k) ≤ 2^k-1 即k个校验位能表示的最大角标。
2.校验位的计算方法
1.根据上述公式，依据有效信息的长度，确定校验位的个数。比如4位有效信息需要3位校验位。
2.用符号表示出整个校验码。
角标 7 6 5 4 3 2 1
值 D4 D3 D2 P3 D1 P2 P1
校验位 - - -3.列表法表示出每个有效信息位的角标由哪几位校验位的角标组成
| P1（角标1） | P2（角标2） | P3（角标4） | ||
| H1 | 角标3 | 1 | 2 | |
| H2 | 角标5 | 1 | 4 | |
| H3 | 角标6 | 2 | 4 | |
| H4 | 角标7 | 1 | 2 | 4 |
4.计算每一个校验位的值，计算方法就是将表中对应的有效信息位的值进行异或。比如上表中P1校验位的值 = H1⊕H2⊕H4。 这样校验码就完成了。例如，1010对应的海明码为1010010 。
5.接收端根据收到的有效信息位，以同样的方法计算出每一个校验位，如果与收到的校验位一致，那么收到的信息正确。若不一致，则可以根据不一致的校验位来确定是哪一位出错了。
四、CRC码（循环冗余校验）
CRC码利用的是除法。
任何一个二进制编码可以用一个系数仅为1或0的多项式来表示，多项式的最高次用R表示，那么这个二进制编码就有R+1位。收发端约定一个多项式作为规则。如果让这个二进制编码作为除数，然后用有效信息作为被除数，去做除法，那么余数一定可以用R位二进制表示（最多有R位）。由此，就让有效信息位先左移R位，即在有效信息位的右边先填补R个零（作为校验位） 。然后以左移之后的有效信息作为被除数，与多项式对应的二进制编码作为除数，进行除法运算，最终能够得到一个R位的余数。这个余数就是校验位。这样，整个校验码就应该能够被除数所整除了。发出端就将这个校验码发出。
接收端只要检查一下，校验码是否能够被约定的多项式所对应的二进制编码（也就是除数）所整除，就可以了。如果能，那接收的信息正确。如果不能，那么可以根据余数来判断发生错误的位置。
做除法运算时，从被除数的最左边的R位开始，每一次异或运算后，就向后取一位，每次都是R位参与运算。运算时，若被除数最高位为1，则商为1；若被除数最高位为0，则商为0 。直到被除数的位数用完，算出R位余数。
总结
本文总结了三种常见的校验码（奇偶校验码、海明码、循环冗余校验（CRC）码）。
