题记：
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
示例 1：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶
- 2 阶
示例 2：
输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
提示：
- 1 <= n <= 45
题目来源：
作者：LeetCode
链接：https://leetcode.cn/leetbook/read/top-interview-questions-easy/xn854d/
来源：力扣（LeetCode）
解题方法：
一：递归写法
这题我们可以参照之前分析的青蛙跳台阶问题，其实原理是完全一样的
我们来分析一下：
- 当n等于1的时候，只需要跳一次即可，只有一种跳法，记f(1)=1
- 当n等于2的时候，可以先跳一级再跳一级，或者直接跳二级，共有2种跳法，记f(2)=2
- 当n等于3的时候，他可以从一级台阶上跳两步上来，也可以从二级台阶上跳一步上来，所以总共有f(3)=f(2)+f(1)；
同理当等于n的时候，总共有f(n)=f(n-1)+f(n-2)(这里n>2)种跳法。
所以如果我们求上到n阶有多少种，代码很简单，直接递归就行
public static int climbStairs(int n) {
if (n <= 1)
return 1;
if (n < 3)
return n;
return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
}
转换为PHP代码为：
function climbStairs($n) {
if($n <= 1)
return 1;
if($n < 3)
return 2;
return $this->climbStairs($n - 1) + $this->climbStairs($n - 2);
}
这种当n比较大的时候会超时，所以不推荐，但如果还想使用递归我们可以改为尾递归的方式，我们来看下代码
public static int climbStairs(int n) {
return Fibonacci(n, 1, 1);
}
public static int Fibonacci(int n, int a, int b) {
if (n <= 1)
return b;
return Fibonacci(n - 1, b, a + b);
}
转换为PHP 代码为：
function climbStairs($n) {
$this->Fibonacci($n, 1, 1);
}
function Fibonacci($n, $a, $b){
if($n <= 1)
return $b;
return $this->Fibonacci($n - 1, $b, $a + $b);
}
二：非递归
但递归由于重复计算，导致效率很差，我们来看一下，有很多重复的计算，相同的颜色表示计算多次
所以我们要把它改为非递归的
public int climbStairs(int n) {
if (n <= 1)
return 1;
int[] dp = new int[n + 1];
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
转换为PHP代码为：
function climbStairs($n) {
if($n <= 1)
return 1;
$dp = [];
$dp[1] = 1;
$dp[2] = 2;
for($i = 3; $i <= $n; $i++){
$dp[$i] = $dp[$i - 1] + $dp[$i - 2];
}
return $dp[$n];
}
三：非递归优化
我们看到上面的数组当前值是依赖他前面两个值的（前两个除外），我们只需要用两个临时变量即可，不需要申请一个数组
public int climbStairs(int n) {
if (n <= 2)
return n;
int first = 1, second = 2, sum = 0;
while (n-- > 2) {
sum = first + second;
first = second;
second = sum;
}
return sum;
}
转换为PHP代码为：
function climbStairs($n) {
if($n <= 2)
return $n;
$first = 1;
$second = 2;
$sum = 0;
while($n-- > 2){
$sum = $first + $second;
$first = $second;
$second = $sum;
}
return $sum;
}
四：公式计算
还可以参照公众号的这篇文章356，青蛙跳台阶相关问题，我们可以找到他的递推公式是
这个公式其实就是斐波那契公式，1,1,2,3,5,8,13……，
但我们这道题的前几项是1,2,3,5,8……明显比那公式少了一项，所以这里计算第n项的指数应该是n+1
public static int climbStairs(int n) {
double sqrt = Math.sqrt(5);
return (int) ((Math.pow((1 + sqrt) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt) / 2, n + 1)) / sqrt);
}
转换为PHP代码为：
function climbStairs($n) {
$sqrt = sqrt(5);
return (pow((1 + $sqrt) / 2,$n + 1) - pow((1 - $sqrt) / 2,$n + 1)) / $sqrt;
}
方法来源：
作者：数据结构和算法
链接：https://leetcode.cn/leetbook/read/top-interview-questions-easy/xn854d/?discussion=DW6hWu
来源：力扣（LeetCode）
