一、多层感知机

1. 隐藏层

1.1 线性模型可能会出错

1. 线性意味着单调假设： 特征的增大导致模型输出的增大（权重为正）， 或者导致模型输出的减小（权重为负）。
2. 数据通过一种表示，这种表示会考虑到特征之间的相关交互作用。

1.2 在网络中加入隐藏层

1. 在网络中加入一个或多个隐藏层来克服线性模型的限制， 使其能处理更普遍的函数关系类型。
2. 将许多全连接层堆叠在一起， 每一层都输出到上面的层，直到生成最后的输出。 前L-1层看作表示，把最后一层看作线性预测器。这种架构通常称为多层感知机（multilayer perceptron），通常缩写为MLP。
3. 这个多层感知机有4个输入，3个输出，其隐藏层包含5个隐藏单元。输入层不涉及任何计算，因此使用此网络产生输出只需要实现隐藏层和输出层的计算。 因此，这个多层感知机中的层数为2。

1.3 从线性到非线性

1. 对于h个隐藏单元的单隐藏层多层感知机， 用H表示隐藏层的输出， 称为隐藏表示。
2. W(1)为隐藏层权重，W(2)为输出层权重，b(1)为隐藏层偏置，b(2)为输出层偏置。
   
3. 此时模型依然是仿射函数，需要在仿射变换之后对每个隐藏单元应用非线性的激活函数，之后多层感知机不会退化成线性模型。

1.4 通用近似定理

1. 多层感知机可以通过隐藏神经元，捕捉到输入之间复杂的相互作用， 这些神经元依赖于每个输入的值，可以很容易地设计隐藏节点来执行任意计算。
2. 可以使用更深的网络来逼近许多函数。

2. 激活函数

1. 激活函数通过计算加权和并加上偏置来确定神经元是否应该被激活， 它们将输入信号转换为输出的可微运算。
2. 大多数激活函数都是非线性的，如ReLU函数，sigmoid函数和tanh函数。

2.1 ReLU函数

1. ReLU函数是修正线性单元，提供了一种非常简单的非线性变换，它实现简单，同时在各种预测任务中表现良好。
2. ReLU函数通过将相应的活性值设为0，仅保留正元素并丢弃所有负元素。

• detach()：返回一个新的tensor,并且这个tensor是从当前的计算图中分离出来的。但是返回的tensor和原来的tensor是共享内存空间的。
• figsize：Matplotlib库中的一个函数,用于设置图形的尺寸大小。
  figsize(width, height) ：其中，width和height分别表示图像的宽度和高度，单位为英寸(inch)。
• requires_grad =True：输出张量需要梯度。

%matplotlib inline
import torch
from d2l import torch as d2l

# 生成一个从-8.0到7.9的列表，以0.1为跳跃点
# 需要梯度
x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, requires_grad=True)

# 通过relu函数激活
y = torch.relu(x)
d2l.plot(x.detach(), y.detach(), 'x', 'relu(x)', figsize=(5, 2.5))

ReLU函数的导数

• torch.ones_like()：返回一个与输入张量input形状相同的张量，所有元素都设置为1。
• retain_graph=True:第一次计算完梯度后，计算图会被保留下来，再次计算梯度时，就可以重复使用这个计算图，从而避免重复构建计算图，提高计算效率。

y.backward(torch.ones_like(x), retain_graph=True)
d2l.plot(x.detach(), x.grad, 'x', 'grad of relu', figsize=(5, 2.5))

3. 当输入为负时，ReLU函数的导数为0，而当输入为正时，ReLU函数的导数为1（输入值精确等于0时，ReLU函数不可导，但输入不会为0，一般用左边值替代）。

2.2 sigmoid函数

1. sigmoid函数将输入变换为区间(0, 1)上的输出，也叫挤压函数，它是一个平滑的、可微的阈值单元近似。。

2. sigmoid在隐藏层中已经较少使用， 它在大部分时候被更简单、更容易训练的ReLU所取代。

y = torch.sigmoid(x)
d2l.plot(x.detach(), y.detach(), 'x', 'sigmoid(x)', figsize=(5, 2.5))

sigmoid函数的导数

# 清除以前的梯度
x.grad.data.zero_()
y.backward(torch.ones_like(x),retain_graph=True)
d2l.plot(x.detach(), x.grad, 'x', 'grad of sigmoid', figsize=(5, 2.5))

3.当输入为0时，sigmoid函数的导数达到最大值0.25； 而输入在任一方向上越远离0点时，导数越接近0。

2.3 tanh函数

1. tanh(双曲正切)函数也能将其输入压缩转换到区间(-1, 1)上。

y = torch.tanh(x)
d2l.plot(x.detach(), y.detach(), 'x', 'tanh(x)', figsize=(5, 2.5))

tanh函数的导数

# 清除以前的梯度
x.grad.data.zero_()
y.backward(torch.ones_like(x),retain_graph=True)
d2l.plot(x.detach(), x.grad, 'x', 'grad of tanh', figsize=(5, 2.5))

2. 当输入接近0时，tanh函数的导数接近最大值1。 输入在任一方向上越远离0点，导数越接近0。

3. 小结

1. 多层感知机在输出层和输入层之间增加一个或多个全连接隐藏层，并通过激活函数转换隐藏层的输出。
2. 常用的激活函数包括ReLU函数、sigmoid函数和tanh函数。

二、多层感知机的从零开始实现

使用Fashion-MNIST图像分类数据集 。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

2.1 初始化模型参数

1. Fashion-MNIST中的每个图像由28×28=784个灰度像素值组成， 所有图像共分为10个类别。
2. 将每个图像视为具有784个输入特征 和10个类的简单分类数据集。
3. 实现一个具有单隐藏层的多层感知机， 它包含256个隐藏单元。

• torch.zeros()函数：返回一个形状为为size,类型为torch.dtype，里面的每一个值都是0的tensor。
• torch.randn：用来生成随机数字的tensor，这些随机数字满足标准正态（0~1）。

num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256

# 定义参数w1，w2，b1，b2
# w1，w2为满足标准正态分布的随机数字，b1，b2为0
W1 = nn.Parameter(torch.randn(
    num_inputs, num_hiddens, requires_grad=True) * 0.01)
b1 = nn.Parameter(torch.zeros(num_hiddens, requires_grad=True))

W2 = nn.Parameter(torch.randn(
    num_hiddens, num_outputs, requires_grad=True) * 0.01)
b2 = nn.Parameter(torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True))

params = [W1, b1, W2, b2]

2.2 激活函数

自己实现ReLU激活函数。

def relu(X):
    a = torch.zeros_like(X)
    return torch.max(X, a)

2.3 模型

使用reshape将每个二维图像转换为一个长度为num_inputs的向量。

def net(X):
    X = X.reshape((-1, num_inputs))
    H = relu(X@W1 + b1)  # 这里“@”代表矩阵乘法
    return (H@W2 + b2)

2.4 损失函数

1. 直接使用高级API中的内置函数来计算softmax和交叉熵损失。

• reduction = none：表示直接返回n分样本的loss。

loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')

2.5 训练

直接调用d2l包的train_ch3函数，详细见之前的线性回归。

# 迭代轮数为10，学习率为0.1
num_epochs, lr = 10, 0.1
updater = torch.optim.SGD(params, lr=lr)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater)

在测试数据集上进行预测

d2l.predict_ch3(net, test_iter)

三、多层感知机的简洁实现

1. 通过高级API更简洁地实现多层感知机。

# 导入d2l包
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

2. 添加2个全连接层， 第一层是隐藏层，它包含256个隐藏单元，并使用了ReLU激活函数，第二层是输出层。

• nn.Sequential()：一个序列容器，用于搭建神经网络的模块被按照被传入构造器的顺序添加到nn.Sequential()容器中。把多个模块封装成一个模块。
• nn.Flatten()：将连续的维度范围展平为张量。 经常在nn.Sequential()中出现，一般写在某个神经网络模型之后，用于对神经网络模型的输出进行处理，得到tensor类型的数据。
• nn.Linear()：定义一个神经网络的线性层：
  torch.nn.Linear(in_features, # 输入的神经元个数
  out_features, # 输出神经元个数
  bias=True # 是否包含偏置
  )

• torch.nn.init.normal_(tensor, mean=0.0, std=1.0)：tensor为一个n维torch.Tensor，mean为正态分布的平均值，std为正态分布的标准差。
• init_weights：初始化网络的权重。它还将神经网络的权重设置为非零值，这对神经网络来说是有帮助的，因为神经网络往往会陷入局部最小值，所以给它们许多不同的起始值是个好主意。
• apply(fn)：该方法会将fn递归的应用于模块的每一个子模块（.children()的结果）及其自身。

net = nn.Sequential(nn.Flatten(), # 展平为张量
					
					# 定义784输入神经单元，256个输出神经单元的线性层
                    nn.Linear(784, 256), 
                    
					# ReLU激活函数
                    nn.ReLU(),

					# 定义256输入神经单元，10个输出神经单元的线性层
                    nn.Linear(256, 10))

# 初始化网络权重
def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01) #初始化权重：标准差为0.01

# 每层都循环一下，最后对整个Sequential也进行操作，递归调用
net.apply(init_weights);

# 批量大小：256，学习率：10，迭代轮数：10
batch_size, lr, num_epochs = 256, 0.1, 10

# 交叉熵损失函数
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')

# 内部优化器
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)

train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)