左神算法 重要技巧：递归的加速技巧（斐波那契数列套路）以及推广

news2024/10/6 6:43:25

目录

【案例1】【十分重要 ： 斐波那契递归套路，只要像斐波那契这种严格递归都可以进行类似的优化】

【有严格的递归项后，通过线性代数的知识进行优化】

【代码实现】

【技巧推广】

 【实例1 使用这个技巧】

【题目描述】

【思路解析】

【代码实现】

 

 【实例2】

【题目描述】

【思路解析】

【代码实现】 代码没有考虑死亡，考虑了也很简单，你们可以尝试自己写一下，不会可以私信博主。

【实例3】

【题目描述】  【此题给出一个很好的思路】

 【思路解析】

【代码实现】

 【实例4】

【题目描述】

【思路解析】

【代码实现】

【案例1】【十分重要 ： 斐波那契递归套路，只要像斐波那契这种严格递归都可以进行类似的优化】

 斐波那契数列递归的加速技巧。除了初始项，后序的每一项都有严格都有严格的递归项的所有问题，都可以进行递归优化

【有严格的递归项后，通过线性代数的知识进行优化】

 求解后得到 | F(n) F(n-1) | = | F(2) F(1) | * \begin{bmatrix}11 & \\ 10 & \end{bmatrix}  ^ (n-2)

假如矩阵\begin{bmatrix}11 & \\ 10 & \end{bmatrix}  ^ (n-2)求出的值为 \begin{bmatrix} ab & \\ cd & \end{bmatrix},则F(N) = a + c

然后现在如果要优化时间，就需要找到一种方法使得这样的矩阵的某次方算得更快。

先考虑10 ^ 75, 可以将 75 转为二进制 1001011， 然后 t = 10 ^ 1，每次t = t*t；如果上面的数字，在二进制中出现了就相乘。

 矩阵也可以按照这种策略得到。

【代码实现】

/**
 * @ProjectName: study3
 * @FileName: Ex1
 * @author:HWJ
 * @Data: 2023/7/13 8:35
 */
public class Ex1 {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(fibonacci(5));

    }

    // 斐波那契数列求解
    public static int fibonacci(int n){
        if (n < 1){
            return 0;
        }
        if (n == 1 || n == 2){
            return 1;
        }
        int[][] base = {{1, 1}, {1, 0}};
        int[][] res = matrixPower(base, n -2);
        return res[0][0] + res[1][0];
    }

    // 矩阵的幂函数
    public static int[][] matrixPower(int[][] base, int n){
        int[][] t = base;
        // 先构建一个单位矩阵
        int[][] res = new int[base.length][base.length];
        for (int i = 0; i < res.length; i++) {
            res[i][i] = 1;
        }
        for (; n != 0 ; n >>= 1) {
            if ((n & 1) == 1){
                res = matrixMultiply(res, t);
            }
            t = matrixMultiply(t, t);
        }
        return res;
    }

    // 只要 a 和 b的矩阵规模是常数矩阵，时间复杂度就是O（1）
    public static int[][] matrixMultiply(int[][] a, int[][] b){
        int[][] res = new int[a.length][a.length];
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            for (int j = 0; j < a.length; j++) {
                for (int k = 0; k < a.length; k++) {
                    res[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

【技巧推广】

 【实例1 使用这个技巧】

【题目描述】

一个农场，第一年有一个母牛，后每年一个母牛可以生一头母牛，新生的母牛三年后便就有了生育能力，假设牛不会死亡。问第N年有多少头牛。

【思路解析】

列出前几年的牛的数列 1 2 3 4 6 9 13 .....， 则f当N>3时 ， F(N) = F(N-1) + F(N-3)

所以

然后进行矩阵乘法的加速。

【代码实现】

 

/**
 * @ProjectName: study3
 * @FileName: Ex2
 * @author:HWJ
 * @Data: 2023/7/13 9:53
 */
public class Ex2 {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(cowProm(7));

    }

    // 斐波那契数列求解
    public static int cowProm(int n){
        if (n < 1){
            return 0;
        }
        if (n <= 3){
            return n;
        }

        int[][] base = {{1, 1, 0}, {0, 0, 1}, {1, 0, 0}};
        int[][] res = matrixPower(base, n - 3);
        return res[0][0] * 3 + 2 * res[1][0] + res[2][0];
    }

    // 矩阵的幂函数
    public static int[][] matrixPower(int[][] base, int n){
        int[][] t = base;
        // 先构建一个单位矩阵
        int[][] res = new int[base.length][base.length];
        for (int i = 0; i < res.length; i++) {
            res[i][i] = 1;
        }
        for (; n != 0 ; n >>= 1) {
            if ((n & 1) == 1){
                res = matrixMultiply(res, t);
            }
            t = matrixMultiply(t, t);
        }
        return res;
    }

    // 只要 a 和 b的矩阵规模是常数矩阵，时间复杂度就是O（1）
    public static int[][] matrixMultiply(int[][] a, int[][] b){
        int[][] res = new int[a.length][a.length];
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            for (int j = 0; j < a.length; j++) {
                for (int k = 0; k < a.length; k++) {
                    res[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

 【实例2】

【题目描述】

有一只母兔，每年生两只母兔，兔子两年之后就有了生育能力，开始生育，问第N年后有几只兔子。 （如果五年后死亡）,如果考虑死亡，然后算上死亡的兔子数亮，可以列出一个严格的递归式，然后再看是几阶矩阵，然后带入求解即可。

【思路解析】

列出前几年的兔子数量   1 3  5  11 21 43 ....  N>= 3 时 F(N) = F(N-1) + 2 * F(N-2)   - F（N-5) 。

 矩阵乘法加速思路相同。

【代码实现】 代码没有考虑死亡，考虑了也很简单，你们可以尝试自己写一下，不会可以私信博主。

/**
 * @ProjectName: study3
 * @FileName: Ex2
 * @author:HWJ
 * @Data: 2023/7/13 9:53
 */
public class Ex3 {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(doeProm(6));

    }

    // 斐波那契数列求解
    public static int doeProm(int n){
        if (n < 1){
            return 0;
        }
        if (n == 1){
            return 1;
        }
        if(n==2){
            return 3;
        }

        int[][] base = {{1,1},{2,0}};
        int[][] res = matrixPower(base, n - 2);
        return res[0][0] * 3 + res[1][0];
    }

    // 矩阵的幂函数
    public static int[][] matrixPower(int[][] base, int n){
        int[][] t = base;
        // 先构建一个单位矩阵
        int[][] res = new int[base.length][base.length];
        for (int i = 0; i < res.length; i++) {
            res[i][i] = 1;
        }
        for (; n != 0 ; n >>= 1) {
            if ((n & 1) == 1){
                res = matrixMultiply(res, t);
            }
            t = matrixMultiply(t, t);
        }
        return res;
    }

    // 只要 a 和 b的矩阵规模是常数矩阵，时间复杂度就是O（1）
    public static int[][] matrixMultiply(int[][] a, int[][] b){
        int[][] res = new int[a.length][a.length];
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            for (int j = 0; j < a.length; j++) {
                for (int k = 0; k < a.length; k++) {
                    res[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

【实例3】

【题目描述】  【此题给出一个很好的思路】

 【思路解析】

这是原理分析

先写出前几个数据，也容易看出规律。

如果没有找出规律，也可以使用暴力尝试，但时间复杂度极高。

【代码实现】

/**
 * @ProjectName: study3
 * @FileName: Ex4
 * @author:HWJ
 * @Data: 2023/7/13 8:35
 */
public class Ex4 {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(fibonacci(6));

    }

    // 斐波那契数列求解
    public static int fibonacci(int n){
        if (n < 1){
            return 0;
        }
        if (n == 1){
            return 1;
        }
        if(n == 2){
            return 2;
        }
        int[][] base = {{1, 1}, {1, 0}};
        int[][] res = matrixPower(base, n -2);
        return res[0][0] * 2+ res[1][0];
    }

    // 矩阵的幂函数
    public static int[][] matrixPower(int[][] base, int n){
        int[][] t = base;
        // 先构建一个单位矩阵
        int[][] res = new int[base.length][base.length];
        for (int i = 0; i < res.length; i++) {
            res[i][i] = 1;
        }
        for (; n != 0 ; n >>= 1) {
            if ((n & 1) == 1){
                res = matrixMultiply(res, t);
            }
            t = matrixMultiply(t, t);
        }
        return res;
    }

    // 只要 a 和 b的矩阵规模是常数矩阵，时间复杂度就是O（1）
    public static int[][] matrixMultiply(int[][] a, int[][] b){
        int[][] res = new int[a.length][a.length];
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            for (int j = 0; j < a.length; j++) {
                for (int k = 0; k < a.length; k++) {
                    res[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

 【实例4】

【题目描述】

【思路解析】

如果n=6， 就是我有 1 2 3  4 5 6，这几个木棍，要使任意三根都不能组成三角形，即任意两根不能大于第三根，等于的情况，就是去掉最少的情况。所以又可以总结为斐波那契数列问题。里面去掉所有木棍后，剩下的木棍长度可以组成一个斐波那契数列。

【代码实现】

/**
 * @ProjectName: study3
 * @FileName: Ex5
 * @author:HWJ
 * @Data: 2023/7/13 11:48
 */
public class Ex5 {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(getMin(18));
    }

    public static int getMin(int n){
        int i = 0;
        while (fibonacci(i) <= n){
            i++;
        }
        return n - (i - 1);
    }

    // 斐波那契数列求解
    public static int fibonacci(int n){
        if (n < 1){
            return 0;
        }
        if (n == 1){
            return 1;
        }
        if(n == 2){
            return 2;
        }
        int[][] base = {{1, 1}, {1, 0}};
        int[][] res = matrixPower(base, n -2);
        return res[0][0] * 2+ res[1][0];
    }

    // 矩阵的幂函数
    public static int[][] matrixPower(int[][] base, int n){
        int[][] t = base;
        // 先构建一个单位矩阵
        int[][] res = new int[base.length][base.length];
        for (int i = 0; i < res.length; i++) {
            res[i][i] = 1;
        }
        for (; n != 0 ; n >>= 1) {
            if ((n & 1) == 1){
                res = matrixMultiply(res, t);
            }
            t = matrixMultiply(t, t);
        }
        return res;
    }

    // 只要 a 和 b的矩阵规模是常数矩阵，时间复杂度就是O（1）
    public static int[][] matrixMultiply(int[][] a, int[][] b){
        int[][] res = new int[a.length][a.length];
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            for (int j = 0; j < a.length; j++) {
                for (int k = 0; k < a.length; k++) {
                    res[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

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