一、傅里叶变换的MATLAB求解

MATLAB的symbolic Math Toolbox 提供了直接求解傅里叶变换及逆变换的函数fourier()及ifourier()两者的调用格式如下。
Fourier 变换的调用格式F=fourier(f): 默认返回是关于w的函数。在这里插入图片描述

F=fourier(f，v):它返回函数F是关于符号对象v的函数
傅里叶的逆变换 f=ifourier(F):
案例1：

在这里插入图片描述

syms t w
Fw=fourier(exp(-2*abs(t)))

运行结果：

Fw =
 
4/(w^2 + 4)

案例二：在这里插入图片描述

>> syms t w
>> ft=ifourier(1/(1+w^2),t)

运行结果：

ft =
 
(pi*exp(-t)*heaviside(t) + pi*heaviside(-t)*exp(t))/(2*pi)

二、连续时间信号的频谱图

用MATLAB符号算法求傅里叶变换有一定局限，当信号不能用解析式表达时，会提示出错，这时用MATLAB的数值计算也可以求连续信号的傅里叶变换，计算原理是在这里插入图片描述
当足够小时，近似计算可满足要求。若信号是时限的，或当时间大于某个给定值时，信号已衰减的很厉害，可以近似地看成时限信号时，n的取值就是有限的，设为N，有
时间信号取样间隔应小于奈奎斯特取样时间间隔，若不是带限信号可根据计算精度要求确定一个频率 W0为信号的带宽。

案例一：在这里插入图片描述

syms t;
ft=sym(4*cos(2*pi*6*t)*(heaviside(t+1/4)-heaviside(t-1/4))')
Fw=simplify(fourier(ft))
subplot(121)
ezplot(ft,[-0.5 0.5]),grid on
subplot(122)
ezplot(abs(Fw),[-24*pi 24*pi]),grid on

运行结果：
在这里插入图片描述
案例二：运行如下命令，计算0~2pi频率范围内以间隔0.5取样的系统频率响应的样值

a=[1 2 1];
b=[0 1];
h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi)

运行结果：


h =

  Columns 1 through 4

   1.0000             0.4800 - 0.6400i        0 - 0.5000i  -0.1183 - 0.2840i

  Columns 5 through 8

  -0.1200 - 0.1600i  -0.0999 - 0.0951i  -0.0800 - 0.0600i  -0.0641 - 0.0399i

  Columns 9 through 12

  -0.0519 - 0.0277i  -0.0426 - 0.0199i  -0.0355 - 0.0148i  -0.0300 - 0.0113i

  Column 13

  -0.0256 - 0.0088i

案例二：求信号f(t)=u(t+1)-u(t-1) 的傅里叶变换

R=0.02;t=-2:R:2;
f=heaviside(t+1)-heaviside(t-1);
W1=2*pi*5;
N=500;k=0:N;W=k*W1/N;
F=f*exp(-j*t'*W)*R;
F=real(F);
W=[-fliplr(F),F(2:501)];
F=[fliplr(F),F(2:501)];
subplot(2,1,1);plot(t,f);
xlabel('t');ylabel('f(t)');
title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)');
subplot(2,1,2);plot(W,F);
xlabel('w');ylabel('F(w)');

运行结果：
在这里插入图片描述

三、MATLAB分析LTI系统的频率特性

当系统的频率响应H（jw）是jw的有理多项式时，有
在这里插入图片描述
h：频率响应
w：角频率，0~π
freqs函数可直接计算系统的频率响应的数值解。其调用格式如下

H=freqs(b,a,w)

其中，a和b分别是H(jw)的分母和分子多项式的系数向量，w为形如w1:p:w2的向量，定义系统频率响应的频率范围，w1为频率起始值，w2为频率终止值,p为频率取样间隔。H返回w所定义的频率点上，系统频率响应的样值。

案例一：
在这里插入图片描述

  
  w=0:0.025:5;
  b=[1];a=[1,2,2,1];
  H=freqs(b,a,w);
  subplot(2,1,1);
  plot(w,abs(H));grid;
  xlabel('\omegq(rad/s)');
  ylabel('|H(j|omega)|');
  title('H（jw）的频幅特性');
  subplot(2,1,2);
  plot(w,angle(H));grid;
  xlabel('\omega(rad/s)');
  ylabel('pui(|omega)');
  title('H（jw）的相频特性');

运行结果：
在这里插入图片描述
案例二：


  w=0:0.025:5;
  b=[1];a=[4/50,2/5,1];
  H=freqs(b,a,w);
  subplot(2,1,1);
  plot(w,abs(H));grid;
  xlabel('\omegq(rad/s)');
  ylabel('|H(j|omega)|');
  title('H（jw）的频幅特性');
  subplot(2,1,2);
  plot(w,angle(H));grid;
  xlabel('\omega(rad/s)');
  ylabel('pui(|omega)');
  title('H（jw）的相频特性');