数据结构–二叉树的存储结构

二叉树的顺序存储

#define MaxSize 100
struct TreeNode
{
    ElemType value;
    bool isEmpty;
};
TreeNode tree[MaxSize];

初始化

void init()
{
    for (int i = 0; i < MaxSize; i++)
        tree[i].isEmpty = true;
}

几个重要常考的基本操作:

• i的左孩子: $2i$
• i的右孩子: $2i+1$
• i的父节点: $\lfloor i/2\rfloor$
• i所在的层次: $\lceil {\log }_2(n+1)\rceil \text{或}\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$

若$完全二叉树$中共有n个结点，则

• 判断i是否有左孩子? $2\mathrm{i}\le \mathrm{n}?$
• 判断i是否有右孩子? $2\mathrm{i}+1\le \mathrm{n}?$
• 判断i是否是叶子/分支结点? $\mathrm{i}>\lfloor n/2\rfloor ?$

$如果不是完全二叉树，依然按层序将各节点顺序存储,无法从结点编号反映出结点间的逻辑关系$

二叉树的顺序存储中，$一定要把二叉树的结点编号与完全二叉树对应起来$

最坏情况:
高度为h且只有h个结点的单支树（所有结点只有右孩子），也至少需要 $2^h-1$ 个存储单元

结论:
二叉树的顺序存储结构，只适合存储完全二叉树

二叉树的链式存储

typedef struct BiTNode
{
    ElemType data; //数据域
    struct BiTNode *lchild, *rchild; //左、右孩子指针
}BiTNode, *BiTree;

n 个结点的$二叉链表$共有$n+1个空链域$

$可以用于构造线索二叉树$

typedef struct BiTNode
{
    ElemType data; //数据域
    struct BiTNode *lchild, *rchild; //左、右孩子指针
}BiTNode, *BiTree;


int main()
{
    BiTree root = NULL; //定义一颗空树

    // 插入根结点
    root = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
    root->data = {1};
    root->lchild = NULL, root->rchild = NULL;

    // 插入新结点
    BiTNode* p = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
    p->data = {2};
    p->lchild = NULL, p->rchild = NULL;
    root->lchild = p; //作为根节点的左孩子

    return 0;
}

如果想要快速找到结点 p 的父结点，我们可以再建立一个指向父结点的指针。

typedef struct BiTNode
{
    ElemType data; //数据域
    struct BiTNode *lchild, *rchild; //左、右孩子指针
    struct BiTnode *parent; //父节点指针
}BiTNode, *BiTree;

知识点回顾与重要考点

二叉树的顺序存储中，$一定要把二叉树的结点编号与完全二叉树对应起来$

• i的左孩子: $2i$
• i的右孩子: $2i+1$
• i的父节点: $\lfloor i/2\rfloor$
• i所在的层次: $\lceil {\log }_2(n+1)\rceil \text{或}\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$

最坏情况:
高度为h且只有h个结点的单支树（所有结点只有右孩子），也至少需要 $2^h-1$ 个存储单元

结论:
二叉树的顺序存储结构，只适合存储完全二叉树

typedef struct BiTNode
{
    ElemType data; //数据域
    struct BiTNode *lchild, *rchild; //左、右孩子指针
}BiTNode, *BiTree;

n 个结点的$二叉链表$共有$n+1个空链域$