〖动态规划60题〗泰波纳契数列模型

news2024/12/23 13:40:19

文章目录

  • 1.第N个泰波那契数（简单）
    • 解题流程
      • 1. 状态表示
      • 2. 状态转移方程
      • 3. 初始化dp表
      • 4. 填表顺序
      • 5. 返回值
    • 代码编写
  • 2.三步问题
    • 解题流程
      • 1. 状态表示
      • 2. 状态转移方程
      • 3. 初始化dp表
      • 4. 填表顺序
      • 5. 返回值
    • 代码编写
  • 3.使用最小花费爬楼梯
    • 解题流程
    • 1. 状态表示
      • 2. 状态转移方程
      • 3. 初始化dp表
      • 4. 填表顺序
      • 5. 返回值
    • 代码编写
  • 4.解码方法（中等）
    • 解题流程
      • 1. 状态表示
      • 2. 状态转移方程
      • 3. 初始化dp表
      • 4. 填表顺序
      • 5. 返回值
    • 代码编写

1.第N个泰波那契数（简单）

  • 题目链接：第N个泰波那契数

  • 题目描述：

泰波那契序列 Tn 定义如下：
T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2
给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

解题流程

1. 状态表示

在解任何一道动态规划题目时，我们都需要先给出一张dp表，用来存储某种状态。

  • dp[i]：在本题目中，dp[i]表示的含义是第i个泰波纳契数的值；

2. 状态转移方程

所谓状态转移方程就是，用已经存在的状态来推出将要发生的状态。

在本题中，状态转移方程为——

  • dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]；

3. 初始化dp表

从状态转移方程中，我们发现当 i < 3 时，方程是失效的，因为会出现 dp 表的下标为负数的情况。所以，也就是说，当 i = 0，i = 1，i = 2时，不能依靠状态转移方程推出 dp[i] 的值，则需要我们手动进行初始化，即：

  • dp[0] = 0，dp[1] = 1，dp[2] = 1；

4. 填表顺序

填表顺序即，填 dp 表的顺序。

  • 本题中，我们发现要想推导出当前位置的值，首先要知道前面 3 个 dp 值，所以，填表顺序为从左往右。

5. 返回值

  • dp[i] 的含义本来就是第 i 个泰波纳契数的值，所以返回值为dp[n]；

代码编写

C++

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) {
        // 特殊情况处理
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1 || n == 2) return 1;
        
        // 创建dp表
        vector<int> dp(n+1);

        // 初始化
        dp[0] = 0; dp[1] = 1; dp[2] = 1;

        // 填表
        for(int i = 3; i <= n; i++)
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3];

        // 返回
        return dp[n];
    }
};

JAVA

class Solution
{
	public int tribonacci(int n)
	{
		// 1. 创建 dp 表
		// 2. 初始化
		// 3. 填表
		// 4. 返回结果
		// 处理边界情况
		if(n == 0) return 0;
		if(n == 1 || n == 2) return 1;
		int[] dp = new int[n + 1];
		dp[0] = 0;
		dp[1] = dp[2] = 1;
		for(int i = 3; i <= n; i++)
			dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3];
		return dp[n];
	}
}

2.三步问题

  • 题目链接：三步问题

  • 题目描述：

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。

解题流程

1. 状态表示

  • dp[i]：到达第 i 个台阶有多少种方法；

2. 状态转移方程

题目中这个小孩的一次最多能跨三个台阶，也就是说当我们要计算到达 i 位置时有多少种方式，可以转化为3种情况：

  • ① 先到达 i-1 位置，然后跨一阶到达 i;
  • ② 先到达 i-2 位置，然后一次性跨两阶到达 i；
  • ③ 先到达 i-3 位置，然后一次性跨三阶到达 i

也就是说，我们可以先到达 i-1 或 i-2 或 i-3 位置，再走一步就可以到达i位置。所以到达 i 位置有多少种方法其实就是——到达前 i 的三个位置的方法数的和。

所以可以得出状态转移方程为：

  • dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]；

3. 初始化dp表

从状态转移方程中，我们发现当 i < 3 时，方程是失效的，因为会出现 dp 表的下标为负数的情况。所以，也就是说，当 i = 0，i = 1，i = 2 时，不能依靠状态转移方程推出 dp[i] 的值，则需要我们手动进行初始化，即：

  • dp[1] = 1，dp[2] = 2，dp[3] = 4（i=0时无意义）；

4. 填表顺序

  • 本题中，我们发现要想推导出当前位置的值，首先要知道前面 3 个 dp 值，所以，填表顺序为从左往右。

5. 返回值

  • dp[i] 的含义为到达第 i 个台阶有多少种方法，所以返回值为dp[n]；

代码编写

C++

class Solution {

const int MOD = 1e9 + 7; // 用来取模

public:
    int waysToStep(int n) {
        if(n == 1) return 1;
        if(n == 2) return 2;
        if(n == 3) return 4;

        // 创建dp表
        vector<int> dp(n+1);

        // 初始化
        dp[1] = 1; dp[2] = 2; dp[3] = 4;

        // 填表
        for(int i = 4; i <= n; i++)
            dp[i] = ((dp[i-1] + dp[i-2]) % MOD + dp[i-3]) % MOD;
        
        // 返回
        return dp[n];
    }
};

JAVA

class Solution
{
	public int waysToStep(int n)
	{
		// 1. 创建 dp 表
		// 2. 初始化
		// 3. 填表
		// 4. 返回值
		int MOD = (int)1e9 + 7;
		// 处理⼀下边界情况
		if(n == 1 || n == 2) return n;
		if(n == 3) return 4;
		int[] dp = new int[n + 1];
		dp[1] = 1; dp[2] = 2; dp[3] = 4;
		for(int i = 4; i <= n; i++)
			dp[i] = ((dp[i - 1] + dp[i - 2]) % MOD + dp[i - 3]) % MOD;
		return dp[n];
	}
}

3.使用最小花费爬楼梯

  • 题目链接：使用最小花费爬楼梯

  • 题目描述：

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

解题流程

1. 状态表示

  • dp[i]：到达第 i 个台阶的最小花费；

2. 状态转移方程

由题可知，到达第 i 个台阶，有两种方式：

  • ① 从 i-1 的位置到达 i，花费为 dp[i-1] + cost[i-1]；
  • ② 从 i-2 的位置到达 i，花费为 dp[i-2] + cost[i-2]；

解释：要想计算 i-1 到达 i 的最小花费，首先要保证到达 i-1 时，所用的花费为最小花费，最小花费为 dp[i-1] 。其次，要想从 i-1 位置到达 i，还得加上 i-1 台阶需要交付的费用，即 cost[i-1]。i-2 同理。

所以，到达i有两种方式，我们选择两种方式中，花费最小的那个，所以需要比较，即 min(方式1，方式2）。所以我们可以得出状态转移方程为：

  • dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2])；

3. 初始化dp表

题目上说，你可以从0或1位置开始爬，所以意味着到达0和1位置是免费的，即：

  • dp[0] = 0; dp[1] = 0；

4. 填表顺序

  • 本题中，我们发现要想推导出当前位置的值，首先要知道前面2个dp值，所以，填表顺序为从左往右。

5. 返回值

  • 有状态表示可知，应返回dp[n]的值；

代码编写

C++

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        int n = cost.size();

        // 创建一个dp表
        vector<int> dp(n+1);

        // 初始化
        dp[0] = 0; dp[1] = 0;

        // 填表
        for(int i = 2; i <= n; i++)
            dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2]);

        // 返回
        return dp[n];
    }
};

JAVA

class Solution
{
	public int minCostClimbingStairs(int[] cost)
	{
		// 1. 创建 dp 表
		// 2. 初始化
		// 3. 填表
		// 4. 返回值
		int n = cost.length;
		int[] dp = new int[n + 1];
		for(int i = 2; i <= n; i++)
			dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
		return dp[n];
	}
}

4.解码方法（中等）

  • 题目链接：解码方法

  • 题目描述：

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了 编码 ：
‘A’ -> “1”
‘B’ -> “2”
…
‘Z’ -> “26”
要 解码 已编码的消息，所有数字必须基于上述映射的方法，反向映射回字母（可能有多种方法）。例如，“11106” 可以映射为：
“AAJF” ，将消息分组为 (1 1 10 6)
“KJF” ，将消息分组为 (11 10 6)
注意，消息不能分组为 (1 11 06) ，因为 “06” 不能映射为 “F” ，这是由于 “6” 和 “06” 在映射中并不等价。
给你一个只含数字的 非空 字符串 s ，请计算并返回 解码 方法的 总数 。

解题流程

1. 状态表示

  • dp[i]：在字符串区间[0,i]上共有dp[i]种解码方法；

2. 状态转移方程

对于i位置有多少种解码方法，可从两方面来看：

  • ① i 位置可以单独解码成功；
  • ② i 位置与 i-1 位置组合成一个字母解码成功；

对上面两种情况单独进行分析，每种情况又可以分为两种情况：

对于单独解码的情况

  • Ⅰ. 解码成功：如果 s[i] 不等于零，即可解码成功 （因为 0 没有对应的编码）。此时 dp[i] 就等于 dp[i-1] ，因为 i 可以单独解码，不会影响总的方法，例如 [9] [9,6] ，加入了 6 之后并不会影响编码结果；
  • Ⅱ. 解码失败：如果 s[i] 等于 0 ，解码失败，dp[i] = 0；因为一个字符串中，当你以某种方法进行解码，留下了最后一个数字是个 0，解码失败了，证明你的方法是错的。例如下面这个字符串就会解码失败。
    在这里插入图片描述

对于组合解码的情况

  • Ⅰ. 解码成功：如果 i 位置与 i-1 位置组合起来是 [10,26] 的数字，即解码成功，此时 dp[i] = dp[i-2]，原因同上；
  • Ⅱ. 解码失败：如果两位组合是 ”06“、”09“ 这样的数字，即为解码失败，若大于 26，也为失败，此时 dp[i]=0。

综上所述，我们可以得到状态转移方程为：

  • 当 s[i] 上的数在[1, 9] 区间上时： dp[i] += dp[i - 1]；
  • 当 s[i - 1] 与 s[i] 上的数结合后，在 [10, 26] 之间的时候： dp[i] +=dp[i - 2] ;

3. 初始化dp表

方法一 直接初始化

与之前的情况相同，由于需要用到 dp[i-1]，dp[i-2] 的值，所以i需大于等于 2，dp[0],dp[1] 的值需要手动赋值。

  • 如果 s[0] 等单独解码成功，则 dp[0] = 1，否则dp[0] = 0；
  • 如果 s[1] 能单独解码成功，则 dp[1] += dp[0];
  • 如果 s[1] 与 s[0] 组合解码成功，则 dp[1] += 1;

方法二 辅助位初始化
可以在最前⾯加上⼀个辅助结点，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

  • 辅助结点里面的值要保证后续填表是正确的；
  • 下标的映射关系；

4. 填表顺序

  • 本题中，我们发现要想推导出当前位置的值，首先要知道前面2个 dp 值，所以，填表顺序为从左往右。

5. 返回值

  • 方法一：应该返回dp[n - 1]的值，表⽰在 [0, n - 1] 区间上的编码方法。
  • 方法二：由于多增加了一个辅助位，所以返回值要后移一位；

代码编写

C++ 方法一

class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) {
        int n = s.size();

        // 创建一个dp表
        vector<int> dp(n);

        // 初始化
        dp[0] = s[0] != '0';

        // 处理边界情况
        if (n == 1) return dp[0];

        if (s[1] <= '9' && s[1] >= '1') dp[1] += dp[0];

        int t = (s[0] - '0') * 10 + (s[1] - '0');
        if (t <= 26 && t >= 10) dp[1] += 1;

        // 填表
        for (int i = 2; i < n; i++)
        {
            if (s[i] == '0') dp[i] = 0;

            if (s[i] <= '9' && s[i] >= '1') dp[i] += dp[i - 1];

            int t = (s[i - 1] - '0') * 10 + (s[i] - '0');
            if (t <= 26 && t >= 10) dp[i] += dp[i - 2];
        }

        // 返回
        return dp[n - 1];
    }
};

C++ 方法二

class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) {
        int n = s.size();

        // 创建一个dp表
        vector<int> dp(n+1);

        // 初始化
        dp[0] = 1; // 辅助位
        dp[1] = s[0] != '0';

        // 填表
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            if(s[i] <= '9' && s[i] >= '1') dp[i] += dp[i-1];

            int t = (s[i-1] - '0')* 10 + (s[i] - '0');
            if(t <= 26 && t >= 10) dp[i] += dp[i-2];
        }

        // 返回
        return dp[n-1];
    }
};

JAVA

class Solution
{
	public int numDecodings(String ss)
	{
		// 1. 创建 dp 表
		// 2. 初始化
		// 3. 填表
		// 4. 返回值
		int n = ss.length();
		char[] s = ss.toCharArray();
		int[] dp = new int[n + 1];
		dp[0] = 1; // 保证后续填表是正确的
		if(s[1 - 1] != '0') dp[1] = 1;
		for(int i = 2; i <= n; i++)
		{
			// 先处理第⼀种情况
			if(s[i - 1] != '0') dp[i] += dp[i - 1];
			// 处理第⼆种情况
			int tt = (s[i - 2] - '0') * 10 + s[i - 1] - '0';
			if(tt >= 10 && tt <= 26) dp[i] += dp[i - 2];
		}
		return dp[n];
	}
}

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