一、动态规划

动态规划的英文是Dynamic Programming，简称DP，如果某一个问题可以由很多重叠的子问题组成，那么这个问题可以使用动态规划解决。思想是动态规划中的每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点与贪心算法不一样，没有状态推导，贪心是局部最优，而且局部最优可以构成全局最优。

二、动态规划五部曲

此部分学习了代码随想录的动态规划。

1.确定DP数组的含义

2.确定递推公式

3.确定初始值

4.确定遍历顺序

5.举例推导DP数组，打印程序中DP数组日志

接下来举例子，按照这五部曲来解题。

三、例子

例1，力扣70题–爬楼梯
在这里插入图片描述
分析题目为什么可以用动态规划的方法呢？假设F(n)代表了由F(n)种方法可以到达n个台阶的楼顶，而题目说了每次爬1个或者2个台阶，所以F(n)应该可以由F(n-1) + F(n-2)得到，即是将原问题拆分成了很多子问题，而且改状态是由上一个状态得到的。满足动态规划的思想。
现在用动态规划五部曲的步骤分析一下这道题目：
（1）确定DP数组的含义，dp[i]代表了有dp[i]种方法可以到达i个台阶的楼顶。
（2）确定递推关系，dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]，因为一次只能上1个台阶或者2个台阶。
（3）确定初始值，dp[1] = 1,dp[2] = 2
（4）确定遍历顺序，应该是从前往后遍历
（5）推导DP数组，从程序中打印DP数组日志
写出来的代码如下

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        dp = [1,2]
        sum_ = 0
        if n <=2:
            return n
        else:
            for i in range(3,n+1):
                sum_ = dp[0] + dp[1]
                dp[0] = dp[1]
                dp[1] = sum_
            return dp[1]

这样实现的时间复杂度是O(n),空间复杂度是O(1)，做了优化。

例2，力扣53
在这里插入图片描述

这个题为什么可以用到动态规划的思想呢？
如果把遍历方式定义为以i结尾的连续数组，遍历的结果就是如下：
[-2],[-2,1],[-2,1,-3],[-2,1,-3,4],[-2,1,-3,4,-1],[-2,1,-3,4,-1,2],[-2,1,-3,4,-1,2,1],[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5],[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]。
进而把原问题分解为如下子问题：求每一个遍历序列的最大值，这样后一个问题就可以有前一个问题递推得到，dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i],nums[i])。

按照动态规划五部曲来分析该问题
（1）确定DP数组的含义，dp[i]代表了遍历到第i个序列的最大和。
（2）确定递推关系，dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i],nums[i])。
（3）确定初始值，dp[0] = nums[0]
（4）确定遍历顺序，从i=1开始遍历，从小到大遍历
（5）推导DP数组，从程序中打印DP数组日志

代码如下：

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        ##第一步：dp数组的含义,dp[i]表示以nums[i]结尾的最大和的连续子数组
        ##第二步：状态转移方程，dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i],nums[i])
        ##第三步：初始化，dp[0] = nums[0]
        ##第四步：遍历顺序，从左往右

        dp = []
        dp.append(nums[0])
        for i in range(1,len(nums)):
            dp.append(max(dp[i-1] + nums[i],nums[i]))
        return max(dp)