1. 复变函数的导数与微分

1.1. 复变函数可导、可微、解析与奇点的定义

定义：设复变函数 $w=f(z)$ 在包含 $z_0$ 的邻域内有定义，若 $z$ 按照任意方式趋近于 $z_0$ ，比值
$$\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$
的极限均存在，且为有限值，则称复变函数 $w=f(z)$ 在点 $z_0$ 处可导。该比值的极限称作$w=f(z)$ 在点 $z_0$ 处的导数，记作 $f^{\prime }(z_0)$ 或 ${\frac{dw}{dz}|}_{z=z_0}$，即
$$f^{\prime }(z_0)=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{\Delta w}{\Delta z}=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$$
或
$$\Delta w=f^{\prime }(z_0)\Delta z+o(|\Delta z|)(\Delta z\to 0)$$
称 $f^{\prime }(z_0)\Delta z$ 为 $w$ 在 $z_0$ 处的微分，记作 $df(z_0)$。此时也称 $w$ 在 $z_0$ 处可微。

定义：若复变函数 $w=f(z)$ 在$z_0$及其领域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析；若$w$在区域D内每点均解析，称 $w$在区域D内解析，或称$w$ 是区域D内的解析函数 / 全纯函数 / 正则函数；称函数在闭区域$\bar{D}$内解析是指函数在包含$\bar{D}$的某个更大的区域内解析。

Remark: 根据定义:
$$\{\begin{array}{rl}& 点解析\Rightarrow 点可导\\ & \\ & 区域解析\iff 区域可导\end{array}$$

定义：若 $f(z)$ 在点 $z_0$ 处不解析，但在 $z_0$ 的任意一邻域内总存在 $f(z)$ 的解析点，则称 $z_0$ 为函数 $f(z)$ 的奇点。

1.2. 复变函数可微的充要条件

定理：(可微的充要条件) 设复变函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域D内有定义，且在D内一点 $z=x+iy$ 可微的充要条件是：二元函数$u(x,y)、v(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处的可微，且满足Cauchy-Riemann方程：
$$\{\begin{array}{r}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{array}$$

证明：（必要性）由于 $f(z)$ 在点 $z_0=x_0+i{y}_0$ 处可微，则：
$$\Delta w=f(z_0+\Delta z)-f(z_0)=\Delta u+i\Delta v=f^{\prime }(z)(\Delta x+i\Delta y)+o(|\Delta z|)$$
对比实部与虚部可得：
$$\{\begin{array}{r}\Delta u=u(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-u(x_0,y_0)=Re(f^{\prime })\Delta x-Im(f^{\prime })\Delta y+o(|\Delta z|)\\ \\ \Delta v=v(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-v(x_0,y_0)=Re(f^{\prime })\Delta y+Im(f^{\prime })\Delta x+o(|\Delta z|)\end{array}$$
故可知复变函数的实部与虚部可微，且满足：
$$\{\begin{array}{r}Re(f^{\prime })=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \\ Im(f^{\prime })=-\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}\end{array}$$

（充分性）设$u(x,y)、v(x,y)$可微，则$u(x,y)、v(x,y)$的偏导数存在，且有：
$$\{\begin{array}{r}\Delta u=u_x\Delta x+u_y\Delta y+o(|\Delta z|)\\ \\ \Delta v=v_x\Delta x+v_y\Delta y+o(|\Delta z|)\end{array}$$
又$u(x,y)、v(x,y)$的偏导数满足 C-R 方程，那么
$$\begin{array}{rl}\Delta w=\Delta u+i\Delta v& =(u_x+i{v}_x)\Delta x+(u_y+i{v}_y)\Delta y+o(|\Delta z|)\\ & \\ & =(u_x-i{u}_y)\Delta x+(u_y+i{u}_x)\Delta y+o(|\Delta z|)\\ & \\ & =(u_x-i{u}_y)(\Delta x+i\Delta y)+o(|\Delta z|)\end{array}$$
故
$$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{\Delta w}{\Delta z}=u_x-i{u}_y$$
证毕.

Remark:
1）上述定理必要性的证明过程给出了一点处复变函数导数的求法：
$$f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$$
2）关于复变函数可微与实/虚部二元函数可微的关系可见下图：



3）复变函数在一点可微，则它在该点处必定连续，因为此时实/虚部函数可微（连续）。

1.3. 关于复变函数可微性判定的其它形式

定理： 若采用指数形式表示复数，即
$$w=f(z)=f(r{e}^{i\theta })=u(r,\theta )+iv(r,\theta )$$
此时,
$$w=f(z)可微\iff u(r,\theta ),v(r,\theta )可微，且满足\{\begin{array}{r}r{u}_r=v_{\theta }\\ \\ r{v}_r=-v_{\theta }\end{array}$$

证明: 由于
$$\{\begin{array}{r}x=rcos\theta \\ \\ y=rsin\theta \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& u_r=u_{x}cos\theta +u_{y}sin\theta \\ & \\ & u_{\theta }=-u_{x}rsin\theta +u_{y}rcos\theta \\ & \\ & v_r=v_{x}cos\theta +v_{y}sin\theta \\ & \\ & v_{\theta }=-v_{x}rsin\theta +v_{y}rcos\theta \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& u_x=u_{r}cos\theta -\frac{1}{r}{u}_{\theta }sin\theta \\ & \\ & u_y=u_{r}sin\theta +\frac{1}{r}{u}_{\theta }cos\theta \\ & \\ & v_x=v_{r}cos\theta -\frac{1}{r}{v}_{\theta }sin\theta \\ & \\ & v_y=v_{r}sin\theta +\frac{1}{r}{v}_{\theta }cos\theta \end{array}$$
进一步根据直角坐标系下的Cauchy-Riemann方程可求解得到：
$$r{u}_r=v_{\theta },r{v}_r=-v_{\theta }$$
证毕.

复函数$w=f(z)$也可视为实变元$x,y$的函数，若它可微，则有：
$$\begin{array}{rl}df& =(u_x+i{v}_x)(dx+idy)\\ & \\ & =(u_x+i{v}_x)dx+(-v_x+i{u}_x)dy\\ & \\ & =(u_x+i{v}_x)dx+(u_y+i{v}_y)dy\\ & \\ & =f_{x}dx+f_{y}dy\end{array}$$
考虑一个特殊的可微的复变函数 $w(z)=z=x+iy$，此时有：
$$dz=dx+idy\Rightarrow \overline{dz}=dx-idy$$
故有
$$dx=\frac{dz+\overline{dz}}{2},dy=\frac{dz-\overline{dz}}{2i}=\frac{-idz+i\overline{dz}}{2}$$
进一步可得：
$$\begin{array}{rl}df& =f_{x}dx+f_{y}dy\\ & \\ & =\frac{1}{2}(f_x-i{f}_y)dz+\frac{1}{2}(f_x+i{f}_y)\overline{dz}\\ & \\ & \triangleq \frac{\partial f}{\partial z}dz+\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\overline{dz}\end{array}$$
上式形式上定义了微分算子:
$$\{\begin{array}{r}\frac{\partial }{\partial z}\triangleq \frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y})\\ \\ \frac{\partial }{\partial \bar{z}}\triangleq \frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y})\end{array}$$
显然它们满足线性性质与Leibniz法则，即
$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial (a_1{w}_1+a_2{w}_2)}{\partial z}=\frac{1}{2}\left[\frac{\partial (a_1{w}_1+a_2{w}_2)}{\partial x}-i\frac{\partial (a_1{w}_1+a_2{w}_2)}{\partial y}\right]=\frac{a_1}{2}(\frac{\partial w_1}{\partial x}-i\frac{\partial w_1}{\partial y})+\frac{a_2}{2}(\frac{\partial w_2}{\partial x}-i\frac{\partial w_2}{\partial y})=a_1\frac{\partial w_1}{\partial z}+a_2\frac{\partial w_2}{\partial z}\\ & \\ & \frac{\partial (a_1{w}_1+a_2{w}_2)}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left[\frac{\partial (a_1{w}_1+a_2{w}_2)}{\partial x}+i\frac{\partial (a_1{w}_1+a_2{w}_2)}{\partial y}\right]=\frac{a_1}{2}(\frac{\partial w_1}{\partial x}+i\frac{\partial w_1}{\partial y})+\frac{a_2}{2}(\frac{\partial w_2}{\partial x}+i\frac{\partial w_2}{\partial y})=a_1\frac{\partial w_1}{\partial \bar{z}}+a_2\frac{\partial w_2}{\partial \bar{z}}\\ & \\ & \frac{\partial (w_1{w}_2)}{\partial z}=\frac{1}{2}\left[\frac{\partial (w_1{w}_2)}{\partial x}-i\frac{\partial (w_1{w}_2)}{\partial y}\right]=\frac{1}{2}\left[\left(w_1\frac{\partial w_2}{\partial x}+\frac{\partial w_1}{\partial x}{w}_2\right)-i\left(w_1\frac{\partial w_2}{\partial x}+\frac{\partial w_1}{\partial x}{w}_2\right)\right]=\frac{\partial w_1}{\partial z}{w}_2+w_1\frac{\partial w_2}{\partial z}\\ & \\ & \frac{\partial (w_1{w}_2)}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left[\frac{\partial (w_1{w}_2)}{\partial x}+i\frac{\partial (w_1{w}_2)}{\partial y}\right]=\frac{1}{2}\left[\left(w_1\frac{\partial w_2}{\partial x}+\frac{\partial w_1}{\partial x}{w}_2\right)+i\left(w_1\frac{\partial w_2}{\partial x}+\frac{\partial w_1}{\partial x}{w}_2\right)\right]=\frac{\partial w_1}{\partial \bar{z}}{w}_2+w_1\frac{\partial w_2}{\partial \bar{z}}\end{array}$$
且有：
$$\frac{\partial z}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial z}{\partial x}-i\frac{\partial z}{\partial y})=1,\frac{\partial z}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial z}{\partial x}+i\frac{\partial z}{\partial y})=0$$
需要指出的是：上述微分算子是在函数可微的背景下引入的，但形式上我们同样可以将其扩展地作用于不可微函数进行运算，如$w(z)=\bar{z}$
$$\frac{\partial \bar{z}}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial \bar{z}}{\partial x}-i\frac{\partial \bar{z}}{\partial y})=0,\frac{\partial \bar{z}}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial \bar{z}}{\partial x}+i\frac{\partial \bar{z}}{\partial y})=1$$
不过此时，我们便有必要对函数可导的条件进行重新讨论，即在上述微分算子可作用任意函数的前提下重新考虑可微条件。

定理：设$u(x,y)$与$v(x,y)$在$(x,y)$有一阶连续偏导数，则$f(z)=u+iv$在该点可微的充要条件为：
$$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$$
证明：只需要验证Cauchy-Riemann方程是否得到满足即可。由定义
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}& =\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})\\ & \\ & =\frac{1}{2}\left[(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x})+i(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y})\right]\\ & \\ & =\frac{1}{2}\left[(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y})+i(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})\right]=0\end{array}$$
则
$$u_x=v_y,u_y=-v_x$$
证毕.

Remark: 上述定理表明：若$w=f(z)$为解析函数，则它必须与$\bar{z}$无关。

1.4. 相关结论

定理 ：若复变函数$w=f(z)$在区域D内解析，且满足如下条件之一，则该函数在区域D内为常函数：

1）$f^{\prime }(z)=0$；

2）$Re(f)$ 或 $Im(f)$为常数；

3）$|f|$ 为常数。

此外，若函数在区域D内存在零点，则它恒为零。

证明：1）由已知：
$$f^{\prime }(z)=u_x+i{v}_x=v_y-i{u}_y=0$$
则
$$u_x=u_y=v_x=v_y=0$$
故 $u$、$v$ 都是常二元函数，即 $f(z)=const$。

2）若 $Im(f)=v=0$，则
$$v_x=v_y=0\Rightarrow u_y=u_x=0$$
故 $f(z)=const$，其实部为常数时可同理得证。

3）$$|f|=u^2+v^2=const\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& u{u}_x+v{v}_x=0=u{v}_y+v{v}_x\\ & \\ & u{u}_y+v{v}_y=0=-u{v}_x+v{v}_y\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& (u^2+v^2)v_y=0\\ & \\ & (u^2+v^2)v_x=0\end{array}$$
若 $u^2+v^2=0$ ，则 $u=0,v=0\Rightarrow f(z)=0$；

若 $u^2+v^2\ne 0$ ，则$v_x=v_y=0\Rightarrow v(x,y)=const$，故其虚部为常数，进一步可知函数本身也为常数。

另外，由函数的连续性可知如函数在区域D内存在零点，则它恒为零。（证毕）

定理 ：若复变函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域D内解析，且 $f^{\prime }(z)\ne 0(z\in D)$，则$$u(x,y)=c_1,v(x,y)=c_2$$是 $D$ 内的两组正交曲线族。

证明：由于 $f^{\prime }(z)\ne 0(z\in D)$ ，故 $u_x=v_y$,$v_x=-u_y$ 并不全为零。

1）若某处二者均不为零，曲线 $u(x,y)=c_1$ 的斜率为：$$du=u_{x}dx+u_{y}dy=0\Rightarrow k_1=\frac{dy}{dx}=-\frac{u_x}{u_y}$$
曲线 $v(x,y)=c_2$ 的斜率为：$$dv=v_{x}dx+v_{y}dy=0\Rightarrow k_2=\frac{dy}{dx}=-\frac{v_x}{v_y}=\frac{u_y}{u_x}$$
故，$$k_1{k}_2=-1$$
说明，二者在该处正交。

2）若 $u_x=v_y=0,v_x=-u_y\ne 0$ 或 $u_x=v_y\ne 0,v_x=-u_y=0$，此时过二者交点的切线一条水平一条竖直，仍正交。（证毕）

1.5. 解析函数的构造

若已知实部（或虚部）函数 $u(x,y)$ 则可根据 Cauthy-Riemann 方程得到相应的虚部（或实部）函数 $v(x,y)$ ，其中将包含一个待定常数，从而构造出区域 D 中的解析函数 $u(x,y)+iv(x,y)$。

方法一：偏积分法

根据 Cauthy-Riemann 方程：
$$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\Rightarrow v=-\int \frac{\partial u}{\partial y}dx+C(y)(\ast )$$
其中，$C(y)$ 为 $y$ 的待定函数。又
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\partial }{\partial y}\left(\int \frac{\partial u}{\partial y}dx\right)+\frac{dC(y)}{dy}$$
上式给出了关于 $C(y)$ 的常微分方程，求解出 $C(y)$ 后回代至 $(\ast )$ 便可得到 $v$ （含有一个待定常数）。

方法二：曲线积分法

由Cauthy-Riemann 方程：
$$v(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}dv+v(x_0,y_0)=\left[{\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}{v}_{x}dx+v_{y}dy\right]+v(x_0,y_0)=\left[{\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}-u_{y}dx+u_{x}dy\right]+v(x_0,y_0)$$
其中，$v(x_0,y_0)$ 为待定常数。由 Cauthy-Riemann 方程可推知： $-u_{yy}=u_{xx}$。那么，当区域 $D$ 为单连通区域，上述第二类曲线积分与路径无关，可选择特殊路径进行求解。如区域 $D$ 为非单连通区域，则上述积分可能确定一个多值函数。

2. 解析函数与调和函数

2.1. 调和函数与共轭调和函数

定义：若 $n$ 元函数 $\phi$ 在区域 $D\subset \mathbb{R}$ 内有二阶连续偏导数，且满足 Laplace 方程:
$$\Delta \phi ={\nabla }^2\phi =\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_2^2}+\cdots +\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_n^2}=0$$
则称 $\phi$ 为区域 $D$ 内的调和函数（Harmonic function）。

定义：设二元函数 $u(x,y)$ 及 $v(x,y)$ 在区域 $D$ 内调和，且满足 Cauthy-Riemann 方程：
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$
则称 $v$ 为 $u$ 在区域 $D$ 内的共轭调和函数。

2.2. 解析函数与调和函数的关系

定理：复变函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内解析的充要条件为在区域 $D$ 内 $v(x,y)$ 为 $u(x,y)$ 的共轭调和函数。

证明：（$\Leftarrow$）若在区域 $D$ 内 $v(x,y)$ 为 $u(x,y)$ 的共轭调和函数，则在区域 $D$ 内 $v(x,y)$ 和 $u(x,y)$ 可微且二者满足 Cauthy-Riemann 方程，故复变函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 解析。

($\Rightarrow$) 若 $f(z)$ 在区域D内解析，则 $v(x,y)$ 和 $u(x,y)$ 满足 Cauthy-Riemann 方程：
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$
需要进一步说明 $u(x,y)$ 及 $v(x,y)$ 在区域 $D$ 内调和。由于 $f(z)$解析时，$v(x,y)$ 和 $u(x,y)$有任意阶连续偏导数。对 Cauthy-Riemann 方程两侧分别求导得到：
$$\{\begin{array}{l}{u}_{xx}=v_{xy},u_{yy}=-v_{xy}\Rightarrow u_{xx}+u_{yy}=\Delta u=0\\ \\ u_{xy}=v_{yy},u_{xy}=-v_{xx}\Rightarrow v_{xx}+v_{yy}=\Delta v=0\end{array}$$
故 $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数。


推论：任意一个二元调和函数的任意阶偏导数均为调和函数。 这是因为对任意一个调和函数可作为解析函数的实部，而虚部可根据 Cauthy-Riemann 方程构造，又因为解析函数的任意阶导数均为解析函数，根据上述定理可得推论成立。