4、Support Vector Machine (SVM)

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4.1、理论部分

4.1.1、更优的决策边界

后者更优，决策边界距离数据点越远，越优。

1）距离计算

通过数学计算，表达这个距离最远。

$$distance(x,b,w)=|\frac{w^T}{||w||}(x-x^{\prime })|=\frac{1}{||w||}|w^{T}x+b|\text{\hspace{1em}(1)}$$

上述公式的推导过程如下：

(w,b)确定一个超平面 wZ+b =0，（Z表示平面上的点）

超平面上有两点x‘，x‘’，则满足：

$$w^T{x}^{\prime }=-b，w^T{x}^{\prime }’=-b$$

由于：

$$w\perp hyperplane$$

则：

$$w^T(x^{\prime }-x^{\prime \prime })=0$$

点到超平面的距离， 即图中dist(x,h) ：

$$distance=project(x-x^{\prime })to\perp hyperplane$$

进一步整理：

$$distance(x,b,w)=|\frac{w^T}{||w||}(x-x^{\prime })|=\frac{1}{||w||}|w^{T}x+b|$$

2）数据标签定义

• 数据集：$$(X_1,y_1)(X_2,y_2)(X_3,y_3)...(X_n,y_n)$$

• y的说明：当X为正例时，y =1 , X为负例时，y = -1

• 决策方程： $$y(x)=w^T\Theta (x)+b$$,

  其中Θ(x) 指的是数据X进行了变换。

  $$y(X_i)>0<-->y_i=+1$$

  $$y(X_i)<0<-->y_i=-1$$

  因此，得到这样一个条件：

  $$y_i\cdot y(x_i)>0$$

3）优化目标

①找到这样一条线（w,b）|超平面|决策边界，使得离该线最近的点最远。

再简洁一些，优化决策边界，目标就是找参数w，b。

②对 distance(x,b,w)公式进一步简化，去掉绝对值：

$$distance(x,b,w)=|\frac{w^T}{||w||}(x-x^{\prime })|=\frac{1}{||w||}|w^{T}x+b|$$

由于$$y_i\cdot y(x_i)>0,y(x)=w^T\Theta (x)+b$$，故distance 简化为：

$$distance(x,b,w)=\frac{y_{i}y(X_i)}{||w||}\text{\hspace{1em}(2)}$$

相比较原式多出一个yi，但是yi取值为 ±1，无影响。

4）目标函数

①放缩变换：对于决策方程 $$y(x)=w^T\Theta (x)+b$$，通过缩放使得|y|≥1,

即：

$$y_i(w^T\Theta (x)+b)\ge 1$$

②优化目标函数【最小距中找最远的】：

a r g m a x w , b { 1 ∣ ∣ w ∣ ∣ m i n [ y i ⋅ ( w T Θ ( x ) + b ) ] } (3) argmax_{w,b} \{\frac{1}{||w||}min[yi·(w^TΘ(x) +b)]\} \tag{3} argmaxw,b​{∣∣w∣∣1​min[yi⋅(wTΘ(x)+b)]}(3)

argmax ：什么时候取最大

第①步的目的很明确 $$min[yi\cdot (w^T\Theta (x)+b)]=1$$

在保证 $$y_i(w^T\Theta (x)+b)\ge 1$$条件下，目标函数为：

$$distance(w,b)=argma{x}_{w,b}\frac{1}{||w||}\text{\hspace{1em}(4)}$$

5）目标函数求解

在4）目标函数中，

约束条件：$$y_i(w^T\Theta (x)+b)\ge 1$$，

目标函数：$$distance(w,b)=ma{x}_{w,b}\frac{1}{||w||}$$

常规做法：

①将求解极大值问题转换成极小值问题

$$distance(w,b)=mi{n}_{w,b}\frac{1}{2}||w|{|}^2\text{\hspace{1em}(5)}$$

（4）->（5），尽管不是等价变换过来的，但都是在求解 w,b 目的上是一致的。

这个系数是随意的，1/2 1/3 都可以。

②带约束的优化问题，拉格朗日乘数法

构造拉格朗日函数，求对w,b偏导为0的解，舍去不合理的解。

带入w,b， wX+b =0 即为最优决策边界。

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6）为什么叫支持向量机？

目标函数求解的详细过程中，可以发现w求解过程只受边缘向量(αi≠0)影响，其他向量对w求解毫无约束作用，这些边缘向量就是支持向量|支撑这个面的向量。

拉格朗日乘数法对w求偏导中，$$w=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i\Theta (x_n)$$

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7）软间隔（soft-margin）

提出软间隔是因为上文的SVM是建立在

$$y_{i}y(x_i)\ge 0$$

这一条件下，也就是在分类完全正确的前提下去寻找最优决策边界的。这会导致SVM过于严格，在噪音点的影响下，决策边界比较差。显然虚线的更符合预期，现实是那条实线。

所以为了降低噪音点的影响，SVM要降低严格程度，引入松弛因子ξ_i。

$$y_{i}y(x_i)\ge 1-{\xi }_i$$

Tip：手打柯西可以打出ξ 。

新的目标函数：

$$min\frac{1}{2}||w|{|}^2+C\sum _{i=1}^n{\xi }_i\text{\hspace{1em}(6)}$$

C是需要人为指定的参数。

当limit C 很大：ξ 很小，分类严格

limit C很小：ξ 可以很大，分类容忍更大的错误 ，更好地防止过拟合。

指定C多大算大？

交叉验证选择合适的C。

4.1.2、解决低维不可分问题

数据本身难分类怎么办？

低维数据 通过函数【数据映射】到高维。

$$X_i->\Theta (X_i)$$

高维数据的数据源是什么？

来自原来低维数据的组合。

计算多维数据，由于复杂度，实际应用的可行性？

高维数据求内积，维度越高，速度越慢，SVM借鉴了高维计算结果，却是在低维以较小的计算量实现的。

高维数据内积结果 = 原低维数据内积平方。

在低维空间使用核函数实现上述”巧合“。

高斯核函数

K ( X , Y ) = exp ⁡ { − ∣ ∣ X − Y ∣ ∣ 2 2 σ 2 } K(X,Y) =\exp\{-\frac{||X-Y||^2}{2σ^2}\} K(X,Y)=exp{−2σ2∣∣X−Y∣∣2​}

借助高斯核函数SVM具有优秀的非线性决策边界，因此，深度学习前，SVM成为了最热门模型。

4.2、sklearn 实现

#训练模型
from sklearn import svm
#线性Kermel & 较大的C
model = svm.SVC(kernel='linear',C=1E10).fit(X_train,y_train)
res =model.score(X_train,y_train)
print(f"训练数据上的准确率为：{res}")
res= model.score(X_test,y_test)
print(f"测试数据上的准确率为：{res}")

4.2.1、SVM 分类（SVC）

class sklearn.svm.SVC(C = 1.0,			   #错误样本的惩罚参数
                      kernel='rbf', 	   #核函数，linear线性、poly多项式、rbf高斯、sigmoid、precomputed自定义
                      defree=3,		       #多项式核函数的阶数
                      gama='auto',	       #当kernel = rbf || poly || sigmoid， 默认为 1/n_features
                      coef0=0.0,	       #kernel 函数常数项
                      shrinking=True,
                      probability=False,   #是否估计概率，会增加计算时间
                      tol=0.001	,          #误差项达到指定时停止训练，默认为0.001
                      cache_size=200,
                      class_weight=None,
                      verbose-False,
                      max_iter=-1,
                      decision_function_shape="ovr",
                      random_state=None
                      			
)

以鸢尾花分类为例，

from sklearn.svm import SVC
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split

#读数据
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
y = iris.target

#鸢尾花属于三分类问题，这里想做SVM二分类，提取出两种花束。
setsoa_or_versicolor = (y==0)|(y==1)
X = X[setsoa_or_versicolor]#X中没有y，但一一对应，y[True]-->X[True],相应的X也就被保留下来了。
y = y[setsoa_or_versicolor]

#标准化
std = StandardScaler()
X_std = std.fit_transform(X)
#拆分训练集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X_std,y,test_size=0.3,random_state=50)

#SVM建模
clf = SVC()
clf.fit(X_train,y_train)

#模型效果
print(clf.score(X_test,y_test))

执行完 train_test_split() 后target 维数改变了，说明前面的返回序列顺序敲的不对，前两项都是X，后两项都是y。

4.2.2、SVM回归（SVR）

如果不进行标准化，效果会特别差。【下文例子中，标准化前：0.20455436946828742，标准化后：0.6413349923546707】

class sklearn.svm.SVR(C = 1.0,			   #错误样本的惩罚参数
                      kernel='rbf', 	   #核函数，linear线性、poly多项式、rbf高斯、sigmoid、precomputed自定义
                      defree=3,		       #多项式核函数的阶数
                      gama='auto',	       #当kernel = rbf || poly || sigmoid， 默认为 1/n_features
                      coef0=0.0,	       #kernel 函数常数项
                      shrinking=True,
                      probability=False,   #是否估计概率，会增加计算时间
                      tol=0.001	,          #误差项达到指定时停止训练，默认为0.001
                      cache_size=200,
                      class_weight=None,
                      verbose-False,
                      max_iter=-1,
                      decision_function_shape="ovr",
                      random_state=None

)

以波士顿房价预测为例，

from sklearn.svm import SVR
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split

#读数据
boston = datasets.load_boston()
X = boston.data
y = boston.target

#标准化
std = StandardScaler()
X_std = std.fit_transform(X)
#拆分训练集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X_std,y,test_size=0.3,random_state=30)

#SVM建模
svr = SVR()
svr.fit(X_train,y_train)

#模型效果
print(svr.score(X_test,y_test))

4.2.3、网格调参

在参数排列组合中找到最好的参数。

1）续上文鸢尾花的案例，

from sklearn.model_selection import GridSearchCV

#定义 参数组合
params = {
    'kernel':('linear','rbf','poly'),
    'C':[0.01,0.1,0.5,1,2,10,100]
}

#用网格搜索方式拟合模型
model = GridSearchCV(clf,param_grid=params,cv=10)#Cross Validation,简称CV
model.fit(X_std,y)

#查看结果
print('最好的参数组合： ',model.best_params_)
print('最好的score： ',model.best_score_)

最好的参数组合： {‘C’: 0.01, ‘kernel’: ‘linear’}
最好的score： 1.0

2）续上文波士顿房价预测案例，

from sklearn.model_selection import GridSearchCV

#定义 参数组合
params = {
    'kernel':('linear','rbf','poly'),
    'C':[0.01,0.1,0.5,1,2,10,100]
}

#用网格搜索方式拟合模型
model = GridSearchCV(svr,param_grid=params,cv=10)#Cross Validation,简称CV
model.fit(X_std,y)

#查看结果
print('最好的参数组合： ',model.best_params_)
print('最好的score： ',model.best_score_)

最好的参数组合： {‘C’: 10, ‘kernel’: ‘rbf’}
最好的score： 0.5241088776988833

使用

svr = SVR(C=10,kernel='rbf')

再一次预测结果为 0.8277187266841405

综上，SVM参数、标准化对模型效果影响很大：

未标准化：0.20455436946828742

标准化后：0.6413349923546707

网格调参后：0.8277187266841405

为什么最好的score： 0.5241088776988833是一个目前遇到的并不算最高的成绩，不因该是最高的成绩吗？

1. 网格搜索的参数优化结果可能并不是全局最优的。网格搜索是一种穷举搜索的方法，它可以找到在当前参数范围内的最优解，但是这个最优解可能不是全局最优的，尤其是在参数空间比较大的情况下。因此实际上的搜索还可以缩范围，更加细分
2. 十折交叉验证的随机性可能会导致结果的不稳定性。取平均值作为最终结果。

4.3、案例

(待补充)
我心中的TOP1编程语言：python ，为啥？因为我目前最需要它。