1.简介

1.动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是: 将大问题划分为小问题进行解决,从而一步步获取最优解的处理算法;

2.动态规划算法与分治算法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解;

3.与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的.(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上,进行进一步的求解);

4.动态规划可以通过填表的方式来逐步推进,得到最优解;

2.应用场景-背包问题

有一个背包,容量为4磅,现有如下物品:

要求:

①.达到的目标为装入的背包的总价值最大,并且重量不超出背包的容量;

②.装入的物品不能重复;

2.1.思路分析

1.背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品,如何选择物品放入背包使物品的价值最大.其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是:每种物品都有无限件可用);

2.这里的问题属于01背包,即每个物品最多放一个.而无限背包可以转化为01背包;

3.算法的主要思想,利用动态规划来解决.每次遍历到的第i个物品,根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中.即对于给定的n个物品,设 v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量,C为背包的容量.再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值.则我们有下面的结果:

①.v[i][0]=v[0][j]=0: 表示填入表第一行和第一列是0,没有物品的时候背包不管背包的容量是多大,其价值都是0;如果背包的容量为0磅,商品放不进去,其价值也是0;

②.当w[i] > j时: ``v[i][j]=v[i-1][j]` : 表示当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时,就直接使用上一个单元格的装入策略;

③.当w[i] <= j时: v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i]+v[i-1][j-w[i]]}; 当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,装入的方式如下:

• v[i-1][j]: 表示上一个单元格的装入的最大值;

• v[i]: 表示当前商品的价值;

• v[i-1][j-w[i]]: 表示装入商品到剩余空间的最大值;

2.2.代码实现

public class KnapsackProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int[] w = {1, 4, 3}; //物品的重量
        int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值
        int m = 4; //背包的容量
        int n = val.length; //物品的个数

        //创建二维数组,表示在前i个物品中能装入容量为j的背包中的最大价值
        int[][] v = new int[n + 1][m + 1];

        //为了记录商品的存放情况,定义二维数组
        int[][] path = new int[n + 1][m + 1];

        //初始化第一行和第一列
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            v[i][0] = 0; //将第一列设置为0
        }

        for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
            v[0][i] = 0; //将第一行设置为0
        }

        //根据之前分析的公式来动态规划处理
        for (int i = 1; i < v.length; i++) { //跳过第一行,行表示商品信息
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) { //跳过第一列,列表示背包容量
                //注意:由于程序中i是从1开始,表示第二个商品,所以这里要处理下,将w[i]改成w[i-1]
                if (w[i - 1] > j) {
                    v[i][j] = v[i - 1][j];
                } else {
                    //注意:由于程序中i是从1开始,表示第二个商品,所以原来的公式需要修改
                    //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i-1] + v[i - 1][j - w[i-1]]);
                    if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
                        v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                        //将当前(最优)的商品存放情况存入到path
                        path[i][j] = 1;
                    } else {
                        v[i][j] = v[i - 1][j];
                    }
                }
            }
        }

        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            for (int j = 0; j < v[0].length; j++) {
                System.out.print(v[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }

        int i = path.length - 1; //行的最大下标
        int j = path[0].length - 1; //列的最大下标
        while (i > 0 && j > 0) {
            if (path[i][j] == 1) {
                System.out.printf("第%d个商品放入背包\n", i);
                j -= w[i - 1];

            }

            i--;
        }
    }
}

结果: