机器学习之K-Means（k均值）算法

1 K-Means介绍

K-Means算法又称K均值算法，属于聚类（clustering）算法的一种，是应用最广泛的聚类算法之一。所谓聚类，即根据相似性原则，将具有较高相似度的数据对象划分至同一类簇，将具有较高相异度的数据对象划分至不同类簇。聚类与分类最大的区别在于，聚类过程为无监督过程，即待处理数据对象没有任何先验知识，而分类过程为有监督过程，即存在有先验知识的训练数据集。

K-Means是无监督学习的杰出代表之一。

1.1 K-means 的著名解释：牧师—村民模型

（1）有四个牧师去郊区布道，一开始牧师们随意选了几个布道点，并且把这几个布道点的情况公告给了郊区所有的村民，于是每个村民到离自己家最近的布道点去听课。

（2）听课之后，大家觉得距离太远了，于是每个牧师统计了一下自己的课上所有的村民的地址，搬到了所有地址的中心地带，并且在海报上更新了自己的布道点的位置。

（3）牧师每一次移动不可能离所有人都更近，有的人发现A牧师移动以后自己还不如去B牧师处听课更近，于是每个村民又去了离自己最近的布道点……

（4）就这样，牧师每个礼拜更新自己的位置，村民根据自己的情况选择布道点，最终稳定了下来。

1.2 K-Means的原理

对于给定的样本集，按照样本之间的距离大小，将样本集划分为K个簇。让簇内的点尽量紧密的连在一起，而让簇间的距离尽量的大。给定样本集D，k-means算法针对聚类所得簇划分C最小化平方误差。

这条公式在一定程度上刻画了簇内样本围绕簇均值向量的紧密程度，E值越小则簇内样本相似度越高。k-means算法通常采用欧氏距离来计算数据对象间的距离。

1.3 K-Means的计算步骤

K-Means聚类算法步骤实质是EM算法（最大期望算法（Expectation-Maximization algorithm, EM）)的模型优化过程，具体步骤如下：

（1）随机选择k个样本作为初始簇类的均值向量；

（2）将每个样本数据集划分离它距离最近的簇；

（3）根据每个样本所属的簇，更新簇类的均值向量；

（4）重复（2）（3）步，当达到设置的迭代次数或簇类的均值向量不再改变时，模型构建完成，输出聚类算法结果。

K-Means最核心的部分就是先固定中心点，调整每个样本所属的类别来减少损失值；再固定每个样本的类别，调整中心点继续减小损失值。两个过程交替循环，损失值单调递减直到最（极）小值，中心点和样本划分的类别同时收敛。

K-means 的本质是基于欧式距离的数据划分算法，均值和方差大的维度将对数据的聚类产生决定性影响。所以未做归一化处理和统一单位的数据是无法直接参与运算和比较的。常见的数据预处理方式有：数据归一化，数据标准化。

此外，离群点或者噪声数据会对均值产生较大的影响，导致中心偏移，因此我们还需要对数据进行异常点检测。

1.4 K-Means的K值选择

K 值的选取对 K-means 影响很大，这也是 K-means 最大的缺点，常见的选取 K 值的方法有：手肘法、Gap statistic 方法。

（1）手肘法

- 核心指标：SSE(sum of the squared errors，误差平方和)

- 核心思想

随着聚类数k的增大，样本划分会更加精细，每个簇的聚合程度会逐渐提高，那么误差平方和SSE自然会逐渐变小。
当k小于真实聚类数时，由于k的增大会大幅增加每个簇的聚合程度，故SSE的下降幅度会很大，而当k到达真实聚类数时，再增加k所得到的聚合程度回报会迅速变小，所以SSE的下降幅度会骤减，然后随着k值的继续增大而趋于平缓，也就是说SSE和k的关系图是一个手肘的形状，而这个肘部对应的k值就是数据的真实聚类数

显然，肘部对于的k值为3(曲率最高)，故对于这个数据集的聚类而言，最佳聚类数应该选3。

（2）轮廓系数

手肘法的缺点在于需要人工看不够自动化，所以我们又有了 Gap statistic 方法，此方法出自斯坦福大学的论文：“estimating the number of clusters in a dataset via the gap statistic”

其中Dk为损失函数，这里E(logDk)指的是logDk的期望。这个数值通常通过蒙特卡洛模拟产生，我们在样本里所在的区域中按照均匀分布随机产生和原始样本数一样多的随机样本，并对这个随机样本做 K-Means，从而得到一个Dk。如此往复多次，通常 20 次，我们可以得到 20 个logDk。对这 20 个数值求平均值，就得到了E(logDk)的近似值。最终可以计算 Gap Statisitc。而 Gap statistic 取得最大值所对应的 K 就是最佳的 K。

由图可见，当 K=5时，Gap(K) 取值最大，所以最佳的簇数是 K=5。

开源项目参考：代码

2 K-Means的优缺点

K-Means的优点：

简单而高效：K均值聚类是一种简单而直观的聚类算法，易于理解和实现。它的计算效率通常较高，特别适用于大规模数据集。
可扩展性：K均值聚类可以处理大规模数据集，并且在处理大型数据时具有较好的可扩展性。
相对较快的收敛：K均值聚类通常会在有限的迭代次数内收敛，因此在实践中运行时间较短。
对于具有明显分离簇的数据集，K均值聚类通常能够产生较好的聚类结果。

K-Means的缺点：

对初始聚类中心的敏感性：K均值聚类对初始聚类中心的选择非常敏感。不同的初始中心可能导致不同的聚类结果，因此需要进行多次运行以选择最佳结果。
对数据分布的假设：K均值聚类假设每个簇的形状是球状的，并且簇的大小相似。对于非球状、大小差异较大或者存在重叠的簇，K均值聚类的效果可能不佳。
不适用于处理噪声和异常值：K均值聚类对噪声和异常值敏感，这些数据点可能会显著影响聚类结果。
需要预先指定簇的数量：K均值聚类需要事先确定簇的数量K。在实际应用中，选择适当的K值可能是一项挑战，且错误选择K值可能导致不合理的聚类结果。

K均值聚类是一种简单而高效的聚类算法，适用于处理大规模数据集。然而，它对初始聚类中心的选择敏感，并且对数据分布的假设要求较高。在使用K均值聚类时，需要谨慎处理噪声和异常值，并且需要合理选择簇的数量K。

3 K-Means应用场景

K-Means聚类算法在各个领域都有广泛的应用，主要的应用场景如下：

客户分群：K均值聚类可以用于根据客户的特征将他们分成不同的群体。这有助于企业了解其客户群体，进行个性化营销和精准定位。
市场细分：K均值聚类可以根据市场调研数据将消费者细分为不同的市场细分群体。这有助于企业理解市场需求，制定更精确的市场策略。
图像分割：K均值聚类可以应用于图像处理中的分割任务。通过将图像像素分配到不同的簇中，可以将图像分割为具有相似特征的区域，有助于对象识别、图像分析等应用。
文本聚类：K均值聚类可以用于将文本文档分成不同的主题类别。这对于文本分类、信息检索和文本挖掘等任务非常有用。
推荐系统：K均值聚类可以用于用户行为数据的聚类分析，从而为推荐系统提供个性化的推荐。通过将用户分为不同的群组，可以向每个群组提供特定的推荐内容。

K均值聚类可应用于各种需要对数据进行分组或聚类的任务。根据具体问题和数据特征，可以灵活应用K均值聚类算法。

4 基于pytorch实现watermelon数据聚类

4.1 数据集

density,ratio
0.697,0.460
0.774,0.376
0.634,0.264
0.608,0.318
0.556,0.215
0.403,0.237
0.481,0.149
0.437,0.211
0.666,0.091
0.243,0.267
0.245,0.057
0.343,0.099
0.639,0.161
0.657,0.198
0.360,0.370
0.593,0.042
0.719,0.103
0.359,0.188
0.339,0.241
0.282,0.257
0.748,0.232
0.714,0.346
0.483,0.312
0.478,0.437
0.525,0.369
0.751,0.489
0.532,0.472
0.473,0.376
0.725,0.445
0.446,0.459

保存为watermelon.csv

4.2 完整代码

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import random


dataset = pd.read_csv('watermelon.csv', delimiter=",")
data = dataset.values

print(dataset)

def distance(x1, x2):  # 计算距离
    return sum((x1-x2)**2)


def Kmeans(D,K,maxIter):
    m, n = np.shape(D)
    if K >= m:
        return D
    initSet = set()
    curK = K
    while(curK>0):  # 随机选取k个样本
        randomInt = random.randint(0, m-1)
        if randomInt not in initSet:
            curK -= 1
            initSet.add(randomInt)
    U = D[list(initSet), :]  # 均值向量,即质心
    C = np.zeros(m)
    curIter = maxIter  # 最大的迭代次数
    while curIter > 0:
        curIter -= 1
        # 计算样本到各均值向量的距离
        for i in range(m):
            p = 0
            minDistance = distance(D[i], U[0])
            for j in range(1, K):
                if distance(D[i], U[j]) < minDistance:
                    p = j
                    minDistance = distance(D[i], U[j])
            C[i] = p
        newU = np.zeros((K, n))
        cnt = np.zeros(K)

        for i in range(m):
            newU[int(C[i])] += D[i]
            cnt[int(C[i])] += 1
        changed = 0
        # 判断质心是否发生变化，如果发生变化则继续迭代，否则结束
        for i in range(K):
            newU[i] /= cnt[i]
            for j in range(n):
                if U[i, j] != newU[i, j]:
                    changed = 1
                    U[i, j] = newU[i, j]
        if changed == 0:
            return U, C, maxIter-curIter
    return U, C, maxIter-curIter

U, C, iter = Kmeans(data,3,20)

f1 = plt.figure(1)
plt.title('watermelon')
plt.xlabel('density')
plt.ylabel('ratio')
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], marker='o', color='g', s=50)
plt.scatter(U[:, 0], U[:, 1], marker='o', color='r', s=100)
m, n = np.shape(data)
for i in range(m):
    plt.plot([data[i, 0], U[int(C[i]), 0]], [data[i, 1], U[int(C[i]), 1]], "c--", linewidth=0.3)
plt.show()