1、深层网络中的前向传播

• 一个训练样本 x  前向传播
• 第一层需要计算 𝑧 [1] = 𝑤[1]𝑥 + 𝑏 [1]，𝑎 [1] = 𝑔 [1] (𝑧 [1] )（𝑥可以看做 𝑎 [0] ）
  第二层需要计算𝑧 [2] = 𝑤[2]𝑎 [1] + 𝑏 [2]，𝑎 [2] = 𝑔 [2] (𝑧 [2] )
  以此类推，
  第四层为 𝑧 [4] = 𝑤 [4] 𝑎 [3] + 𝑏 [4] ，𝑎 [4] = 𝑔 [4] (𝑧 [4] ) 前向传播可以归纳为多次迭代𝑧 [𝑙] = 𝑤[𝑙]𝑎 [𝑙−1] + 𝑏 [𝑙] ， 𝑎 [𝑙] = 𝑔 [𝑙] (𝑧 [𝑙] )

  

  • 向量化实现过程可以写成：𝑍 [𝑙] = 𝑊[𝑙]𝑎 [𝑙−1] + 𝑏 [𝑙]，𝐴 [𝑙] = 𝑔[𝑙] (𝑍[𝑙] ) (𝐴 [0] = 𝑋)这里只能用一个显式 for 循环，𝑙从1到𝐿，然后一层接着一层去计算核对矩阵中的维数

  2、核对矩阵中的维数

  • 检查矩阵的维度方法：
    𝑤的维度是（下一层的维数，前一层的维数），即𝑤[𝑙] : ( 𝑛 [𝑙] , 𝑛 [𝑙−1] ) ； 𝑏的维度是（下一层的维数，1），即 : 𝑏 [𝑙] : (𝑛 [𝑙] , 1)； 𝑧 [𝑙] ,𝑎 [𝑙] : (𝑛 [𝑙] , 1); 𝑑𝑤[𝑙]和𝑤[𝑙]维度相同，𝑑𝑏[𝑙] 和 𝑏 [𝑙] 维度相同，且 𝑤 和 𝑏 向量化维度不变，但 𝑧 , 𝑎 以及𝑥的维 度会向量化后发生变化。

    

  向量化后：

  𝑍 [𝑙] 可以看成由每一个单独的𝑍 [𝑙]叠加而得到，𝑍 [𝑙] = (𝑧 [𝑙][1] ，𝑧 [𝑙][2]， 𝑧 [𝑙][3] ， … ， 𝑧 [𝑙][𝑚] ) ， 𝑚为训练集大小，所以𝑍 [𝑙]的维度不再是(𝑛 [𝑙] , 1)，而是(𝑛 [𝑙] , 𝑚)。 𝐴 [𝑙]： (𝑛 [𝑙] , 𝑚) ， 𝐴 [0] = 𝑋 = (𝑛 [𝑙] , 𝑚)

  

  3、使用前向、后向传播函数搭建深层神经网络

  •  建一个深度神经网络
  • 在第 𝑙 层你有参数𝑊[𝑙]和𝑏 [𝑙]，正向传播里有输入的激活函数，输入是前一层𝑎 [𝑙−1]，输是𝑎 [𝑙]， 我们之前讲过𝑧 [𝑙] = 𝑊[𝑙]𝑎 [𝑙−1] + 𝑏 [𝑙] , 𝑎 [𝑙] = 𝑔 [𝑙] (𝑧 [𝑙] ) ，那么这就是你如何从入𝑎
    [𝑙−1]走到输出的𝑎 [𝑙] 。之后你就可以把𝑧 [𝑙]的值缓存起来，我在这里也会把这包括在缓存中，因为缓存的 𝑧 [𝑖] 对以后的正向反向传播的步骤非常有用
  • 然后是反向步骤或者说反向传播步骤，同样也是第𝑙层的计算，你会需要实现一个函数输入为𝑑𝑎 [𝑙] ，输出 𝑑𝑎 [𝑙−1]的函数。一个小细节需要注意，输入在这里其实是𝑑𝑎 [𝑙]以及所缓存的𝑧 [𝑙]值，之前计算好的𝑧 [𝑙]值，除了输出 𝑑𝑎 [𝑙−1] 的值以外，也需要输出你需要的梯度

    𝑑𝑊[𝑙]和 𝑑𝑏 [𝑙]，这是为了实现梯度下降学习

  

  • 把输入特征𝑎 [0]，放入第一层并计算第一层的激活函数，用𝑎 [1]表示，你需要𝑊[1]和𝑏 [1]
    来计算，之后也缓存 𝑧 [𝑙]值。之后喂到第二层，第二层里，需要用到𝑊[2]和𝑏 [2]，你会需要计算第二层的激活函数𝑎 [2]。后面几层以此类推，直到最后你算出了𝑎 [𝐿]，第𝐿层的最终输出值 𝑦^。在这些过程里我们缓存了所有的𝑧值，这就是正向传播的步骤

    

  • 把 𝑑𝑎 [𝐿]的值放在这里，然后这个方块会给我们𝑑𝑎[𝐿−1]的值，以此类推，直到我们得 𝑑𝑎 [2] 和𝑑𝑎[1]，你还可以计算多一个输出值，就是𝑑𝑎[0] ，但这其实是你的输入特征的导数，并不重要，起码对于训练监督学习的权重不算重要，你可以止步于此。反向传播步骤中也会输出𝑑𝑊[𝑙] 和 𝑑𝑏 [𝑙] ，这会输出 𝑑𝑊 [3] 和 𝑑𝑏 [3] 等等
  • 神经网络的一步训练包含了，从 𝑎 [0]开始，也就是 𝑥 然后经过一系列正向传播计算得到 𝑦^，之后再用输出值计算这个（第二行最后方块），再实现反向传播。现在你就有所有的导数项了，𝑊也会在每一层被更新为 𝑊 = 𝑊 − 𝛼𝑑𝑊， 𝑏也一样，𝑏 = 𝑏 − 𝛼𝑑𝑏，反向传播就都计算完毕，我们有所有的导数值，那么这是神经网络一个梯度下降循环
  • 其中 反向传播中总是在循环进行da = dL/da，然后使用dz = dl/da*da/dz 求 dz（在 da/dz的求导中会使用到激活函数求导），最后使用 z 对 参数 w 和 b 求导进行梯度下降

  4、参数和超参数

  • 深度神经网络起很好的效果，还需要规划好参数以及超参数
  • 参数：神经网络中的参数是指权重和偏置，它们是神经网络中可训练的部分，需要通过训练来学习得到。在神经网络的每一层中，都有一组权重和一个偏置。权重用于将输入信号进行线性变换，偏置用于调整变换后的数据分布，使其更符合任务要求。通过不断调整这些参数的值，神经网络可以逐渐逼近最优解。
  • 超参数：超参数是指神经网络中的一些非训练参数，需要手动指定并根据经验或者调参等方法进行优化。比如神经网络中的学习率、正则化系数、网络层数、隐藏层神经元数量等都是超参数。超参数的选择可以直接影响神经网络的性能和泛化能力。
  • 比如算法中的 learning rate 𝑎（学习率）、 iterations(梯度下降法循环的数量)、 𝐿（隐藏

    层数目）、 𝑛 [𝑙] （隐藏层单元数目）、 choice of activation function（激活函数的选择）都需要你来设置，这些数字实际上控制了最后的参数𝑊和𝑏 的值，所以它们被称作超参数
  • 参数的作用：神经网络中的参数是模型的核心部分，它们的优化可以让神经网络更好地拟合数据，从而提高模型的准确率。
  • 超参数的作用：超参数的选择可以影响模型的训练效率、泛化能力、网络的容量和复杂度等方面，使得模型更加适合特定的任务。