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对于给定的一段输入文本$w_1{w}_2\cdots w_n$，双向语言模型从前向（从左到右）和后向（从右到左）两个方向同时建立语言模型。这样做的好处在于，对于文本中任一时刻的词$w_t$，可以同时获得其分别基于左侧上下文信息和右侧上下文信息的表示。具体地，模型首先对每个词单独编码。这一过程是上下文无关的，主要利用了词内部的字符序列信息。基于编码后的词表示序列，模型使用两个不同方向的多层长短时记忆网络（LSTM）分别计算每一时刻词的前向、后向隐含层表示，也就是上下文相关的词向量表示。利用该表示，模型预测每一时刻的目标词。对于前向语言模型，$t$时刻的目标词是$w_{t+1}$，对于后向语言模型，目标词是$w_{t-1}$。

输入表示层

ELMo模型采用基于字符组合的神经网络表示输入文本中的每个词，目的是减小未登录词（Out-Of-Vocabulary，OOV）对模型的影响。下图展示了输入表示层的基本结构。首先，字符向量层将输入层中的每个字符（含额外添加的起止符）转换为向量表示。假设$w_t$由字符序列$c_1{c}_2\cdots c_l$构成，对于其中的每个字符$c_i$，可以表示为：$v_{c_i}=E^{\text{char}}{e}_{c_i}$。其中，$E^{\text{char}}\in R^{d^{\text{char}}\times |V^{\text{char}}|}$表示字符向量矩阵；$V^{\text{char}}$表示所有字符集合；$d^{\text{char}}$表示字符向量维度；$e_{c_i}$表示字符$c_i$的独热编码。记$w_t$中所有字符向量组成的矩阵为$C_t\in R^{d^{\text{char}}\times l}$，即$C_t=[v_{c_1},v_{c_2},\cdots ,v_{c_l}]$。接下来，利用卷积神经网络对字符级向量表示序列进行语义组合（Semantic Composition）。这里使用一维卷积神经网络，将字符向量的维度$d^{\text{char}}$作为输入通道的个数，记为$N^{\text{in}}$，输出向量的维度作为输出通道的个数，记为$N^{\text{out}}$。另外，通过使用多个不同大小（宽度）的卷积核，可以利用不同粒度的字符级上下文信息，并得到相应的隐含层向量表示，这些隐含层向量的维度由每个卷积核对应的输出通道个数确定。拼接这些向量，就得到了每一位置的卷积输出。然后，池化操作隐含层所有位置的输出向量，就可以得到对于词$w_t$的定长向量表示，记为$f_t$。假设使用宽度分别为{1，2，3，4，5，6，7}的7个一维卷积核，对应的输出通道数量分别为{32，32，64，128，256，512，1024}，那么输出向量$f_t$的维度为2048。接着，模型使用两层Highway神经网络对卷积神经网络输出作进一步变换，得到最终的词向量表示$x_t$。Highway神经网络在输入与输出之间直接建立“通道”，使得输出层可以直接将梯度回传至输入层，从而避免因网络层数过多而带来的梯度爆炸或弥散的问题。单层Highway神经网络的具体计算方式如下：
$$x_t=g\odot f_t+(1-g)\odot \text{ReLU}(W{f}_t+b)$$

式中，$g$为门控向量，其以$f_t$为输入，经线性变换后通过Sigmoid函数计算得到：
$$g=\sigma (W^g{f}_t+b^g)$$

式中，$W^g$与$b^g$为门控网络中的线性变换矩阵与偏置向量。可见，Highway神经网络的输出实际上是输入层与隐含层的线性插值结果。当然，通常模型的结构是根据实验调整和确定的，我们也可以自行尝试其他的模型结构。例如，可以使用字符级双向LSTM网络编码单词内字符串序列。接下来，在由上述过程得到的上下文无关词向量的基础之上，利用双向语言模型分别编码前向与后向上下文信息，从而得到每一时刻的动态词向量表示。

前向语言模型

在前向语言模型中，对于任一时刻目标词的预测，都只依赖于该时刻左侧的上下文信息或者历史。这里使用基于多层堆叠的长短时记忆网络语言模型。将模型中多层堆叠LSTM的参数记为${\overrightarrow{\theta }}^{\text{LSTM}}$，Softmax输出层参数记为${\theta }^{\text{out}}$。则模型可以表示为：
$$p(w_1{w}_2\cdots w_n)=\prod _{t=1}^{n}P(w_t|x_{1:t-1};{\overrightarrow{\theta }}^{\text{LSTM}};{\theta }^{\text{out}})$$

后向语言模型

与前向语言模型相反，后向语言模型只考虑某一时刻右侧的上下文信息。可以表示为：
$$p(w_1{w}_2\cdots w_n)=\prod _{t=1}^{n}P(w_t|x_{t+1:n};{\overleftarrow{\theta }}^{\text{LSTM}};{\theta }^{\text{out}})$$

参考文献：
[1] 车万翔, 崔一鸣, 郭江. 自然语言处理：基于预训练模型的方法[M]. 电子工业出版社, 2021.
[2] 邵浩, 刘一烽. 预训练语言模型[M]. 电子工业出版社, 2021.
[3] 何晗. 自然语言处理入门[M]. 人民邮电出版社, 2019
[4] Sudharsan Ravichandiran. BERT基础教程：Transformer大模型实战[M]. 人民邮电出版社, 2023
[5] 吴茂贵, 王红星. 深入浅出Embedding：原理解析与应用实战[M]. 机械工业出版社, 2021.