低秩矩阵(Low-Rank)的意义

news2025/2/13 6:27:22

１．回顾基础：

矩阵的秩度量的是矩阵行列之间的相关性，如果各行各列都是线性无关的，矩阵就是满秩。非零元素的行或列决定了秩的大小。／／划重点，秩可以度量矩阵自身相关性

讲个小故事：

首先来思考，为什么叫“秩”？

举个例子就很容易理解，大家排队买票。如果大家互相不认识，那就会一个排一个，非常有秩序。然而，如果突然来了一个与队伍前面的人认识的人，这个人又不自觉排队，非要插队。那后面的人肯定要有意见了，说你要是这样我前面还有认识的人呢，你插我也插队，这样整个队伍就乱掉了，谁也买不成。

通过这个例子，可以得到一下结论：彼此不认识，那就不相关，就有秩序，问题就好解决；反之，彼此相关，就没有秩序，问题就不好解决。

所以，数学中定义，矩阵中最大的不相关的向量的个数，叫做秩，可以理解为有秩序的程度。

从社会学角度考虑一下，政府机关是讲人际关系的地方，可谓是关系错综复杂，通常都是近亲繁殖。显然，这些部门用矩阵来说，就不满秩，秩非常小。可以想象这些地方的工作肯定是搞不好的，因为没有秩序。所以想找个好单位，满秩可以作为一项评价指标哦~~~

摘自：(310条消息) 矩阵低秩有何意义？_低秩矩阵_qq_24876435的博客-CSDN博客

ok,既然秩可以度量相关性，而矩阵的相关性实际上就表示了矩阵的结构信息。如果矩阵之间各行的相关性很强，那么就表示这个矩阵实际可以投影到更低维的线性子空间，也就是用几个向量就可以完全表达了，它就是低秩的。所以总结的一点就是：如果矩阵表达的是结构性信息，例如图像、用户-商品推荐表等，那么这个矩阵各行之间存在一定的相关性，那这个矩阵一般是低秩的。

如果X是一个m行n列的数值矩阵，rank(x)是x的秩，假如rank (X)远小于m和n，则称x是低秩矩阵。低秩矩阵每行或每列都可以用其他的行或列线性表示，可见它包含大量的冗余信息。利用这种冗余信息，可以对数据进行恢复，也可以对数据进行特征提取。

图像处理中，rank可以理解为图像所包含的信息的丰富程度，在现实生活中，一张图片大部分是相似的。比如一张大草原的图片可以理解为，草原是由很多草组成的，而草是相似的，所以如果全是草，那么这张图所包含的信息量是很少的的，因为可以理解为草是草的复制品。而图中的蒙古包，人，马之类的则可以理解为图片所包含的信息，实际上，相对于只有草的草原图片和有草和蒙古包的草原图片，后者的秩是较高的。也就是说，图片中比较突兀的成分，比如蒙古包，比如人像照片中的红眼亮点，会增加图像矩阵的秩。而现实生活中一张不错的图片的秩其实是比较低的，如果图像的秩比较高，往往是因为图像中的噪声比较严重。比如拍照的时候ISO感光度设置过高造成噪点太过泛滥之类的。所以，图像处理的低秩性其实可以拿来去除照片中的噪点，电影中的雨丝也可以通过低秩表达的方式来去除。

低秩与稀疏。低秩是指矩阵的秩较小，稀疏是指矩阵中非零元素的个数少。如果对矩阵进行奇异值分解，并把其所有奇异值排列为一个向量，那么这个向量的稀疏性便对应于该矩阵的低秩性

２.低秩（Low-rank）的意义：恢复图像＼微调大语言模型技术LoRA

由矩阵秩的定义知道，若将图像看成一个矩阵，那么它的基的数量越少，基对应的线性无关向量数量就越少，矩阵的秩就越小。当它远远小于矩阵的大小的时候，图像就是低秩的。低秩矩阵的每行或者每列都可以用其他的行或者列线性表示，这说明这个矩阵包含了大量的冗余信息。利用这种冗余信息可以对确实图像信息进行恢复，可以将多出来的噪声信息进行去除，还可以对错误的图像信息进行恢复。

我们可以利用图像的低秩性来恢复图像，首先构建融合了低秩矩阵先验的模型，再求解这个模型得到低秩的矩阵。这种基于低秩矩阵逼近（LOW-Rank Matrix Approximation,LRMA）的模型称为低秩矩阵恢复模型（LRMR）。目前，LRMR主要有鲁棒主成分分析robust PCA,（RPCA）、矩阵补全（matrix completion,MC）和低秩表示（low-rank representation，LRP）等三类模式。

还有大语言模型微调技术LoRA：引入Ａ,B两个低秩矩阵去模拟Finetune的过程，相当于只对语言模型中其关键作用的低秩本质维度进行更新。

LORA