1.力做功

恒力作用下的功

变力的功

2.动能定理

3.保守力与非保守力

4.势能

引力的功与弹力的功

引力势能与弹性势能

5.保守力做功与势能的关系

6.机械能守恒定律

7.完全弹性碰撞

题1

题目描述

题解

题2

题目描述

题解

1.力做功

物体在力 $\overrightarrow{F}$ 作用下移动 $\Delta \overrightarrow{r}\Rightarrow$ 做功 $W$

恒力作用下的功

$W=F\cos \theta \cdot \left | \Delta \overrightarrow{r} \right |=\overrightarrow{F}\cdot \Delta \overrightarrow{r}$

变力的功

运用微积分的思想和方法

变力做功的一般表达式

微分：

$dW=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}$

$dW=F\cos \theta \left | d\overrightarrow{r} \right |$

$ds=\left | d\overrightarrow{r} \right |$

$dW=F\cos \theta ds$

积分：

$W=\int_{A}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=\int_{A}^{B}F\cos \theta ds$

（1）功有正负，由 $\theta$ 决定。

（2）功是一个过程量，与路径有关。

（3）合力的功，等于各分力的功的代数和。

$\overrightarrow{F}=F_x\overrightarrow{i}+F_y\overrightarrow{j}+F_z\overrightarrow{k}$

$d\overrightarrow{r}=dx\overrightarrow{i}+dy\overrightarrow{j}+dz\overrightarrow{k}$

$W=\int_{A}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=\int_{A}^{B}(F_xdx+F_ydy+F_zdz)$

$W=W_x+W_y+W_z$

功的单位：焦耳（J）， $1J=1N\cdot m$

2.动能定理

$\begin{matrix} W&= &\int \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ &= &\int F_t\left | d\overrightarrow{r} \right | =\int F_tds \end{matrix}$

而 $F_t=m\frac{dv}{dt}$

所以 $W=\int_{v_1}^{v_2}mvdv=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$

$W=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2=E_{k2}-E_{k1}$

动能定理：合外力对质点所做的功，等于质点动能的增量。

注意：（1）功是过程量，动能是状态量；（2）功和动能依赖于惯性系的选取，但对不同惯性系动能定理形式相同。

3.保守力与非保守力

保守力 ：做功与路径无关，仅决定于始、末位置的力。（万有引力、重力、弹性力和静电场力）

非保守力：所做的功与路径有关的力。（例如摩擦力）

4.势能

势能：因相对位置而具有的做功本领称为势能或位能（因有速度而具有的做功本领称为动能）。势能与质点的位置有关。

引力的功与弹力的功

引力的功： $W=-\left [ (-G\frac{m'm}{r_B})-(-G\frac{m'm}{r_A}) \right ]$

弹力的功： $W=-(\frac{1}{2}kx_B^2-\frac{1}{2}kx_A^2)$

引力势能与弹性势能

引力势能： $E_p=-G\frac{m'm}{r}$

弹性势能： $E_p=\frac{1}{2}kx^2$

注意：（1）势能是状态的函数 $E_p=E_p(x,y,z)$

（2）势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关。

（3）势能是属于系统的。

（4）势能差与势能零点选取无关。

5.保守力做功与势能的关系

重力势能的计算： $E=W=\int \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=\int_{h}^{0}(-mg)dy=mgh$

保守力做功： $W=-(E_{p2}-E_{p1})=-\Delta E_p$

保守力做功，势能减少。

二者的关系：保守力做功等于等于势能的减少。

6.机械能守恒定律

由功能原理： $\Delta E=\Delta E_k+\Delta E_p=W^{ex}+W^{in}_{nc}$

$W^{ex}$ 为外力， $W^{in}_{nc}$ 为非保守内力。

如果： $W^{ex}+W^{in}_{nc}=0$

则： $\Delta E=\Delta E_k+\Delta E_p=0$

或： $E_k+E_p=$ 常量

机械能守恒定律

如果系统内只有保守内力做功，其他内力和一切外力都不做功，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但总机械能保持不变。

7.完全弹性碰撞

如果在碰撞后，两物体的动能完全没有损失，我们就称这种碰撞为弹性碰撞（或完全弹性碰撞）。

在一般情况下，两物体碰撞时，总要损失一大部分动能（转变为其他形式的能量，例如放出热量等），这种碰撞就称为非弹性碰撞。

如果两物体在碰撞后，以同一速度运动，并不分开，这种就称为完全非弹性碰撞。

一般碰撞时，如果 $\overrightarrow{F}^{ex}\ll \overrightarrow{F}^{in}$ ，即内力远远大于外力，则可以近似地看为完全弹性碰撞。

在完全弹性碰撞的情况中：动量守恒，机械能守恒。

其余碰撞都为：动量守恒，但机械能不守恒。

题1

题目描述

对质点系有以下几种说法：

（1）质点系总动量的改变与内力无关；

（2）质点系总动能的改变与内力无关；

（3）质点系机械能的改变与保守内力无关。

下列对上述说法判断正确的是（）

（A）只有（1）是正确的

（B）（1）、（2）是正确的

（C）（1）、（3）是正确的

（D）（2）、（3）是正确的

题解

（1）是正确的，假设在以下场景

小明和小红在光滑的冰面上，一开始两人都静止；后面两个人相互推了对方一下，那么他们两个就开始相互向后撤离；小明由于体重比较大，所以向后撤离的速度会稍微慢一点，小红则是体重比较小，向后撤离的速度会快一点；但是他们二者之间的乘积大小都是一样的，保证了整个系统总的动量跟之前是相同的。

而他们之间只受到了对方的推力，这种推力就是系统中的内力，这个内力不会改变他们以他们两个系统的总动量。故而（1）正确。

（2）是错误的，还是以之前的场景来看：

最开始以他们两个为系统的情况下，小明和小红都是静止的，所以他们二者的动能都是为零的；（由动能的定义 $E_k=\frac{1}{2}mv^2$ ）

后面推开了之后，两个人都有了速度，虽然二者的速度方向是相反的，但算的是动能，矢量速度 $v$ 平方之后也变成了一个标量，也就是说没有正负号之分了。

所以总动能肯定是增加的，故而（2）错误。

（3）也是正确的，机械能分为两个部分：动能和势能；而势能也有两部分：重力势能和弹性势能。

这里的重力势能和弹性势能对应的力是重力、万有引力和弹性力，他们都是一种弹性力。

我们可以把这样的一句话记住：只有保守内力做功的情况下，系统的机械能守恒。

综上，最终答案应选择C。

题2

题目描述

对功的概念有以下几种说法：

（1）保守力做正功时，系统内相应的势能增加；

（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点做的功为零；

（3）作用力和反作用力大小相等，方向相反，所以二者所做功的代数和必为零。

下列对上述说法判断正确的是（）

（A）（1）、（2）是正确的

（B）（2）、（3）是正确的

（C）只有（2）是正确的

（D）只有（3）是正确的

题解

（1）是错误的，做题的时候脑子里最好要能够浮现出相应的情景；随便想象一个场景，重力（保守内力）做正功的情况，即物体下落：

很显然势能应该是减少的。故而（1）错误。

（2）是正确的，其中描述的正是保守力的一个特点，事实上，就是根据这样一个特点才定义出一个保守力的概念。故而是正确的。

（3）也是错误的，前半句是正确的，反作用力大小相等，方向相反，但是二者所做功的代数和不一定为零。

我们举下面这个例子来证明一下：

一个木块放在一辆小车上，突然给这个木块施加一个力，使其拥有一个初速度。木块和小车就会开始运动，这时就会有一队作用力和反作用力： $\overrightarrow{f}\: \: \: \: \overrightarrow{f'}$ .计算他们所做功的代数和，已知他们的位移分别为 $\Delta \overrightarrow{r}\: \: \: \: \Delta \overrightarrow{r'}$ .

明显 $\Delta \overrightarrow{r}$ 会更大一点，所以计算出来的功的大小较大，且为负数；而 $\Delta \overrightarrow{r'}$ 较小，计算出来的功的大小较小，为正数，故而二者的代数和并不为零。

即 $\left | \overrightarrow{f}\cdot \Delta \overrightarrow{r} \right |> \left | \overrightarrow{f} \cdot \Delta \overrightarrow{r'}\right |$

故而（3）错误。

题3

题目描述

有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上，斜面是光滑的，有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下，则（）

（A）物块到达斜面底端时的动量相等

（B）物块到达斜面底端时动能相等

（C）物块和斜面（以及地球）组成的系统，机械能不守恒

（D）物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒

题解

画出情景：

先看A选项，到达底端动量相等，由动量的定义： $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$ ,动量和速度都为矢量，需要考虑方向性；已知两个斜面的倾角是不一样的，所以很显然到达底端时所拥有的速度在方向上是一定不一样的，动量也就不相等。故而A选项错误。

B选项，物块到达底端的动能相等，这个选项的情况，因为斜面放在光滑的水平面上，在小物块往下滑的过程中，斜面也在向右运动；而两个斜面拥有的速度一定是不相同的，怎么得出这个结论的呢？

我们利用反证法：

假设两个斜面速度相同，由于小物块和斜面之间只有相互之间的支持力，即只有内力，而内力不改变整个系统的动量，那么就可以判断小物块在向左下方运动时的水平方向上的分速度是相同的，即水平方向上，动量要守恒。

小物块水平方向上的分速度相同的情况下，由于倾角不同，那么小物块最终的速度自然就是v左大于v右，也就是小物块的动能是不相同的。

总的看下来，情况就是：两个小物块的动能不同，而两个斜面的动能却是相同的。

这在同样的重力做功，同样的能量转换的情况下，是矛盾的，所以我们才说两个斜面的速度一定是不相同的。

那么知道了斜面的速度是不相同了之后，因为系统能量是守恒的，小物块和斜面能量之和应该是一个定值，所以两个小物块的动能也是不相同的。故而B选项错误。

再看C选项，物块和斜面（以及地球）组成的系统机械能守不守恒，如果只有保守内力做功，那么机械能一定是守恒的；但是系统中还有支持力、弹力和压力，这些力是否做功呢？

看到情景中就可以判断出来，这些支持力、弹力和压力，都是与运动路径互相垂直的，也就是不做功，所以整个系统机械能一定是守恒的。故而C选项错误。

最后看D选项，是说物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒，这一点刚刚在前面我们就提到过了，在水平方向上没有任何外力做功。

综上，这道题应选择D选项。

end