小波变换

小波变换是一种信号的时间——尺度（时间——频率）分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于分析非平稳的信号和提取信号的局部特征，所以小波变换被誉为分析处理信号的显微镜。

傅里叶是将信号分解成一系列不同频率的正余弦函数的叠加，同样小波变换是将信号分解为一系列的小波函数的叠加(或者说不同尺度、时间的小波函数拟合)，而这些小波函数都是一个母小波经过平移和尺度伸缩得来的。
如图所示：

小波变换常见的形式有连续小波变换(CWT)、离散小波变换(DWT)等。连续小波变换是在尺度基础上连续变换的，做信号的小波分析得到的是幅值，a时间的三维图，对应的a值所截得的曲线即为该尺度的小波图形。而离散小波变换常用的是二进小波变换，对尺度和时间进行离散化处理。

小波去噪的原理

信号产生的小波系数含有信号的重要信息，将信号经小波分解后小波系数较大，噪声的小波系数较小，并且噪声的小波系数要小于信号的小波系数，通过选取一个合适的阀值，大于阀值的小波系数被认为是有信号产生的，应予以保留，小于阀值的则认为是噪声产生的，置为零从而达到去噪的目的。

小波阈值去噪的三个主要方面

小波阀值去噪的基本问题包括三个方面：小波基的选择，阀值的选择，阀值函数的选择。

(1) 小波基的选择：通常我们希望所选取的小波满足以下条件：正交性、高消失矩、紧支性、对称性或反对称性。

但事实上具有上述性质的小波是不可能存在的，因为小波是对称或反对称的只有Haar小波，并且高消失矩与紧支性是一对矛盾，所以在应用的时候一般选取具有紧支的小波以及根据信号的特征来选取较为合适的小波。

(2) 阀值的选择：直接影响去噪效果的一个重要因素就是阀值的选取，不同的阀值选取将有不同的去噪效果。目前主要有通用阀值（VisuShrink）、SureShrink阀值、Minimax阀值、BayesShrink阀值等。

(3) 阀值函数的选择：阀值函数是修正小波系数的规则，不同的反之函数体现了不同的处理小波系数的策略。最常用的阀值函数有两种：一种是硬阀值函数，另一种是软阀值函数。还有一种介于软、硬阀值函数之间的Garrote函数。

pywt.threshold函数进行小波去噪

import pywt
import numpy as np

data = np.linspace(1, 10, 10)
print(data)
# [ 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9. 10.]
# pywt.threshold(data, value, mode, substitute) mode 模式有4种，soft, hard, greater, less; substitute是替换值

data_soft = pywt.threshold(data=data, value=6, mode='soft', substitute=12)
print(data_soft)
# [12. 12. 12. 12. 12.  0.  1.  2.  3.  4.] 将小于6 的值设置为12， 大于等于6 的值全部减去6

data_hard = pywt.threshold(data=data, value=6, mode='hard', substitute=12)
print(data_hard)
# [12. 12. 12. 12. 12.  6.  7.  8.  9. 10.] 将小于6 的值设置为12， 其余的值不变

data_greater = pywt.threshold(data, 6, 'greater', 12)
print(data_greater)
# [12. 12. 12. 12. 12.  6.  7.  8.  9. 10.] 将小于6 的值设置为12，大于等于阈值的值不变化

data_less = pywt.threshold(data, 6, 'less', 12)
print(data_less)
# [ 1.  2.  3.  4.  5.  6. 12. 12. 12. 12.] 将大于6 的值设置为12， 小于等于阈值的值不变

对ecg信号进行小波阈值去噪

代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import pywt
import numpy as np

# Get data:
ecg = pywt.data.ecg()  # 生成心电信号
index = []
data = []
#print(type(ecg))# <class 'numpy.ndarray'>
# print(np.shape(ecg))# (1024,)
for i in range(len(ecg) - 1):
    X = float(i)
    Y = float(ecg[i])
    index.append(X)
    data.append(Y)

# Create wavelet object and define parameters
w = pywt.Wavelet('db8')  # 选用Daubechies8小波
maxlev = pywt.dwt_max_level(len(data), w.dec_len)
print("maximum level is " + str(maxlev))
# maximum level is 6
threshold = 0.04  # Threshold for filtering

# Decompose into wavelet components, to the level selected:
coeffs = pywt.wavedec(data, 'db8', level=maxlev)  # 将信号进行小波分解

# plt.figure()
for i in range(1, len(coeffs)):
    coeffs[i] = pywt.threshold(coeffs[i], threshold * max(coeffs[i]))  # 将噪声滤波
datarec = pywt.waverec(coeffs, 'db8')  # 将信号进行小波重构

mintime = 0
maxtime = mintime + len(data) + 1

plt.figure()
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(index[mintime:maxtime], data[mintime:maxtime])
plt.xlabel('time (s)')
plt.ylabel('microvolts (uV)')
plt.title("Raw signal")
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(index[mintime:maxtime], datarec[mintime:maxtime - 1])
plt.xlabel('time (s)')
plt.ylabel('microvolts (uV)')
plt.title("De-noised signal using wavelet techniques")

plt.tight_layout()
plt.show()

结果显示为：

关于阈值输出

import pywt
import numpy as np
import math

# Get data:
ecg = pywt.data.ecg()  # 生成心电信号
index = []
data = []
for i in range(len(ecg) - 1):
    X = float(i)
    Y = float(ecg[i])
    index.append(X)
    data.append(Y)

# Create wavelet object and define parameters
w = pywt.Wavelet('db8')  # 选用Daubechies8小波
maxlev = pywt.dwt_max_level(len(data), w.dec_len)
print(w.dec_len)
print("maximum level is " + str(maxlev))
threshold = 0.04  # Threshold for filtering

# Decompose into wavelet components, to the level selected:
coeffs = pywt.wavedec(data, 'db8', level=maxlev)  # 将信号进行小波分解

for i in range(1, len(coeffs)):#coeffs为小波分解后的列表
    tmp = coeffs[i].copy()
    Sum = 0.0
    for j in coeffs[i]:
        Sum = Sum + abs(j)
    N = len(coeffs[i])
    Sum = (1.0 / float(N)) * Sum
    sigma = (1/0.6745)*Sum
lamda = sigma * math.sqrt(2.0 * math.log(float(N), math.e))#lamda为求出的阈值
print("lamda结果是:",lamda)
# lamda结果是: 5.259949938695368

参考

https://blog.csdn.net/weixin_41322458/article/details/91385984
https://blog.csdn.net/weixin_43336305/article/details/98068080
https://blog.csdn.net/zhang0558/article/details/76019832