583. 两个字符串的删除操作

题目

583. 两个字符串的删除操作

给定两个单词 word1 和 word2 ，返回使得 word1 和  word2 相同所需的最小步数。

每步 可以删除任意一个字符串中的一个字符。

解析

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。

2.确定递推公式

• 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
• 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：

情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1

情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1

情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2

那最后当然是取最小值，所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});

因为 dp[i][j - 1] + 1 = dp[i - 1][j - 1] + 2，所以递推公式可简化为：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);

3.dp数组如何初始化

从递推公式中，可以看出来，dp[i][0] 和 dp[0][j]是一定要初始化的。

dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i。

dp[0][j]的话同理，所以代码如下：

for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

4.确定遍历顺序

从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。

所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。

5.举例推导dp数组

以word1:"sea"，word2:"eat"为例，推导dp数组状态图如下：

Java代码实现

public int minDistance(String word1, String word2) {
    int len1 = word1.length();
    int len2 = word2.length();
    int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
    for (int i = 0; i <= len1; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int i = 0; i <= len2; i++) {
        dp[0][i] = i;
    }

    for (int i = 1; i <= len1; i++) {
        for (int j = 1; j <= len2; j++) {
            if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
            }
        }
    }
    return dp[len1][len2];
}

72. 编辑距离

题目

72. 编辑距离

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数  。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

解析

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。

2.确定递推公式

在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：

if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
    不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
    增
    删
    换

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了

• 操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;

• 操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;

word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素

• 操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增删加元素。

if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。

那么只需要一次替换的操作，就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。

所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;

3. dp数组如何初始化

dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;

同理dp[0][j] = j;

4.确定遍历顺序

从如下四个递推公式：

• dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
• dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
• dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
• dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

可以看出dp[i][j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：

dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历 

举例推导dp数组

以示例1为例，输入：word1 = "horse", word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：

Java代码实现

public int minDistance(String word1, String word2) {
    int len1 = word1.length();
    int len2 = word2.length();
    int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
    for (int i = 1; i <= len1; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int i = 1; i <= len2; i++) {
        dp[0][i] = i;
    }
    for (int i = 1; i < len1 + 1; i++) {
        for (int j = 1; j < len2 + 1; j++) {
            if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[len1][len2];
}