变形梯度

简介

本节讨论两个不同质点P和Q的之间的相对运动变化

拉伸比和相对伸长

$d\vec{X}$ : 在参考构形连接质点P和Q的向量，线单元

$\hat{M}$: $d\vec{X}$方向的单位向量

$d\vec{x}$ : 在当前构形连接质点P’和Q‘的向量，线单元

$\hat{m}$: $d\vec{x}$方向的单位向量

$dS$: $d\vec{X}$的大小， $dS=||d\vec{X}||=||\overrightarrow{PQ}||$

$ds$: $d\vec{x}$的大小， $ds=||d\vec{x}||=||\overrightarrow{P^{\prime }{Q}^{\prime }}||$

• 拉伸比 ${\lambda }_{\hat{m}}$ ， 沿着$\hat{m}$方向：

范围： $0<{\lambda }_{\hat{m}}<\infty$ , $当ds\to 0,{\lambda }_{\hat{m}}\to 0$
$当ds\to 0,{\lambda }_{\hat{m}}\to 0$
$当ds\to \infty ,{\lambda }_{\hat{m}}\to \infty$

不可穿透原理： $ds\ne 0⟹{\lambda }_{\hat{m}}\ne 0$
如果不是的话，那么将会同时有两个质点占据着相同的位置

${\lambda }_{\hat{m}}=1$: 没有伸长
$0<{\lambda }_{\hat{m}}<1$: $\overrightarrow{PQ}$ 缩短
${\lambda }_{\hat{m}}>1$: 两个质点之间距离变大

• 相对伸长 ${ϵ}_{\hat{m}}$
  

范围： $-1<{ϵ}_{\hat{m}}<\infty$

物质和空间的变形梯度

运动的质点描述： $\vec{x}=\vec{x}(\vec{X},t)$

根据下图，有：

如果将${\vec{x}}^Q({\vec{X}}^Q,t)$表示成：

那么，当前构形的向量场$d\vec{x}$表示为：

应用泰勒展开：

由于P和Q离得足够近，所以高阶项可以去掉：
$$d\vec{x}=\frac{\partial x_i}{\partial X_k}d{X}_k{\hat{e}}_i=F_{ik}d{X}_k{\hat{e}}_i$$

or：
$$\boxed{d\vec{x}=F\cdot d\vec{X}}$$

其中 $F$ 是二阶张量，被称为物质变形梯度

是从 $d\vec{X}$(未变形构形)到 $d\vec{x}$(变形构形)的一个线性变换

也可以从梯度的定义出发得到：
标量场： $\varphi =\varphi (\vec{x},t)$

全微分： $d\varphi (\vec{x},t)=\nabla \varphi \cdot d\vec{x}=\frac{\partial \varphi (\vec{x},t)}{\partial \vec{x}}\cdot d\vec{x}$

若$\vec{x}(\vec{X},t)$， 则：

直角坐标系下的$d\vec{x}$的分量可以通过以下点乘得到：

张量 F表示成：

可以用下标大写表示：
${\ast }_{i,J}\equiv \frac{\partial {\ast }_i}{\partial X_j}\ne {\ast }_{i,j}\equiv \frac{\partial {\ast }_i}{\partial x_j}$

用大写Grad表示：

$Grad(\ast )={\nabla }_{\vec{X}}(\ast )=\frac{\partial (\ast )}{\partial X_i}⨂{\hat{e}}_i$

$grad(\ast )={\nabla }_{\vec{x}}(\ast )=\frac{\partial (\ast )}{\partial x_i}⨂{\hat{e}}_i$

方程的逆变换：
$$\boxed{d\vec{X}=F^{-1}\cdot d\vec{x}}$$

其中 $F^{-1}$ 是空间变形梯度

矩阵的逆的分量可由下式求得：

$J$ 关于 $F$ 的导数如下：

根据代数余子式和逆矩阵的定义：

用张量的第三主不变量表示上述方程：

方程的逆：

所以：

证明如下：

在kq , 张量 ${ϵ}_{qjk}={ϵ}_{jkq}=-{ϵ}_{jqk}$ 是反对称的，然而 $x_{n,kq}$是对称的， 所以 ${ϵ}_{qjk}{x}_{n,kq}=0_{jn}$

所以可以证明 $(J^{-1}{x}_{q,p}{)}_{,q}=0$

如果 $\vec{u}(\vec{x},t)$ 和 $\sigma (\vec{x},t)$ 分别是向量和二阶张量，满足以下关系：

下标形式：

问题2.5 $\varphi (\vec{X},t)$ 是一个拉格朗日描述的标量场

位移梯度张量（物质和空间描述）

位移 $\vec{u}$ 的拉格朗日和欧拉描述：

对位移 $u_i(\vec{X},t)=x_i(\vec{X},t)-X_i$ 关于 $\vec{X}$ 求偏导：

$\mathcal{J}$ 是物质位移梯度张量

对位移 $u_i(\vec{x},t)=x_i-X_i(\vec{x},t)$ 关于 $\vec{X}$ 求偏导：

$j$ 是空间位移梯度张量

由于：

可以得到 $j和\mathcal{J}$之间的关系：

问题2.6 位移场

变形梯度的物质时间导数和雅可比行列式的物质时间导数

$F$ 的物质时间导数——空间速度梯度

$F$ 的物质时间导数：

将速度表示成欧拉形式， $v_i(\vec{X}(\vec{x},t),t)$ , 应用链式法则：

张量表示：

$$\boxed{\dot{F}=l\cdot F}$$

其中 $l$ 是空间速度梯度，定义为：

$$\boxed{l(\vec{x},t)={\nabla }_{\vec{x}}\vec{v}(\vec{x},t)=\dot{F}\cdot F^{-1}}空间速度梯度$$

问题2.7 令 $d\vec{x}$ 是一个在当前构形下的微分线单元， 求 $d\vec{x}$ 的物质时间导数

$$\frac{D}{Dt}d\vec{x}={\nabla }_{\vec{x}}\vec{v}\cdot d\vec{x}$$

变形率和自旋张量

张量 $l$ 可以分解成对称部分和反对称部分：

由此，可以定义以下张量：

$l^{sym}=D(\vec{x},t)$- 变形率张量
$l^{skew}=W(\vec{x},t)$-自旋、旋转率张量或涡量张量

$D$ 和 $W$ 的分量分别是：

自旋张量有三个独立的分量：

可以定义涡度向量场 $\vec{\omega }=2\vec{w}$

另外，根据反对称张量定义：

并且已经证明过 ： $2\vec{w}=rot(\vec{v})={\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{v}$

其中 $\vec{w}$ 是反对称张量 $({\nabla }_{\vec{x}}\vec{v}{)}^{skew}$ 关联的轴向量， 因此涡度向量表示为：

$$\boxed{\vec{\omega }=2\vec{w}=rot(\vec{v})={\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{v}}涡度向量$$

由于下式成立：

那么 $D=0$ 表征为一个刚体运动，此外， $\frac{D(d\vec{x})}{Dt}=\vec{w}\wedge d\vec{x}$成立，以下为证明：

为了证明 $D=0$ 表征的是刚体运动，也就是说质点之间的距离是不发生改变的，也就是说 $d\vec{x}$的大小不随时间改变， 所以考察一下 $||d\vec{x}|{|}^2$ 的物质时间导数：

其中，用到了 $A^{skew}:B^{sym}=0⟹W:(d\vec{x}⨂d\vec{x})=0$，所以 $d\vec{x}$ 的大小不随时间改变

如果自旋张量是一个零张量 $W=0$, 那么速度场被认为是无旋的， 因此 ${\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{v}=\vec{0}$

在问题2.3 中，以下的关系是成立的：

$${\nabla }_{\vec{x}}\vec{v}\cdot \vec{v}={\nabla }_{\vec{x}}(\frac{v^2}{2})+\frac{1}{2}({\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{v})\wedge \vec{v}$$

推导：

$2({\nabla }_{\vec{x}}\vec{v}{)}^T\cdot \vec{v}$ 可以写成下标形式 $2v_{j,i}{v}_j$, 等价于
$(||\vec{v}|{|}^2{)}_{,i}=(v^2{)}_{,i}=(\vec{v}\cdot \vec{v}{)}_{,i}=(v_j{v}_j{)}_{,i}=v_{j,i}{v}_j+v_j{v}_{j,i}=2v_j{v}_{j,i}$
因此：

$F^{-1}$ 的物质时间导数

空间变形梯度$F^{-1}$ 的物质时间导数：

所以：

$$\boxed{{\dot{F}}^{-1}=-F^{-1}\cdot l}$$

雅可比行列式的物质时间导数

雅可比行列式的物质时间导数：

以下关系成立：

将以上 ${\dot{x}}_{1,P},{\dot{x}}_{2,Q},{\dot{x}}_{3,R}$ 代入到 $\frac{D(J)}{Dt}$：

第一项表示为：

所以，同样地，可以得到：

那么：

其中用到了反对称张量的迹为零

$$Tr(l)=Tr(D+W)=Tr(D)+Tr(W)=Tr(D)$$

雅可比行列式的物质时间导数也可以表示成：

问题 2.8

参考教材：

Eduardo W.V. Chaves， Notes On Continuum Mechanics