数据结构：二叉树（初阶）

news2024/11/28 12:34:08

朋友们、伙计们，我们又见面了，本期来给大家解读一下二叉树方面的相关知识点，如果看完之后对你有一定的启发，那么请留下你的三连，祝大家心想事成！

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前言：

1.树的概念及结构

1.1树的概念

1.2 树的相关概念

1.3树的表示

1.4树在实际中的运用

2.二叉树概念及结构

2.1概念

2.2特殊的二叉树

2.3二叉树的性质

2.4二叉树的存储结构

3.二叉树的顺序结构实现

3.1堆的应用

1. 堆排序

2. Top-K问题

4.二叉树的链式结构实现

5.二叉树基础OJ练习

前言：

在之前的数据结构中我们学习的是有关线性结构的数据结构，那么在本期我们将会带来树形的数据结构，树形结构通过名字来观察显而易见它的逻辑结构示意图是一种类似现实生活中树的形状和特点，那么一棵树就就会有树根、树枝、树叶，那么二叉树也不例外，在理解二叉树之前呢我们先来了解一下有关树的结构以及概念，话不多说，直接开始：

1.树的概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

        有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。

        除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。

        因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6、D的为1，B的为0，E的为2。

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点。

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点。

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点，E是I和J的父节点。

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点，H是D的孩子结点。

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点，K、L、M是兄弟结点。

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6。

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4。

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为堂兄弟节点，M、N互为堂兄弟结点。

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先，F是K、L、M的祖先。

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙。

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林。

1.3树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。

我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
//树的表示方法
//左孩子右兄弟
typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
	struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data; // 结点中的数据域
};

1.4树在实际中的运用

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空。

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

图示：

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点。

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k - 1，则它就是满二叉树（每一层都是满的）。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树（前K-1层必须是满的，最后一层可以不满，但是从左到右必须连续 ）。

2.3二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点。

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1。

3.完全二叉树的节点的范围是[ 2^(h-1) , 2^h -1]

完全二叉树的最少的节点个数可以看作是一个高度为h-1的满二叉树再加上一个节点

4. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为N，度为2的分支结点个数为M，则有N = M+1。

5. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度h，h= log(n+1)。（log以2为底n+1的对数）。

（满二叉树的节点个数为n = 2^h-1，所以满二叉树的高度（深度）为h = log（n+1））

2.4二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，难度也是逐次递增，我们会先从最简单的来学习。