蓝桥杯数论总结：快速幂和矩阵快速幂

news2024/11/16 10:20:40

本文先是给出快速幂的原理，又由一道例题明确快速幂的Python代码模版；而后给出矩阵快速幂的原理（介绍了矩阵相乘，对没学过线代者友好），和矩阵快速幂的模版。再给出快速幂和矩阵快速幂相关的题单。

快速幂原理

快速幂Python代码模版

蓝桥oj1514：快速幂

题目描述

输入描述

输出描述

输入输出样例

求解

矩阵快速幂原理

矩阵相乘

蓝桥oj1550：矩阵相乘

题目描述

输入描述

输出描述

输入输出样例

求解

矩阵快速幂

矩阵快速幂Python代码模版

题单

快速幂原理

对于一个正整数 $a$ ，给定正整数 $n$ ，计算 $a^n$ 的复杂度是 $O(n)$ 。

如果把n用二进制进行编码，可降低复杂度为 $O(\log n)$ 。

比如当n=5时，二进制编码为101，只需做三次循环。用ans存取 $a^5$ 的值，初始赋值为1。变量temp初始值赋值为a，每个循环中ans*=temp，循环末尾就把temp*=a。

快速幂Python代码模版

通过一道模版题给出。

蓝桥oj1514：快速幂

题目描述

输入 b，p，k 的值，求 b^(p)modk 的值。其中2≤b,p,k≤10^9 。

输入描述

三个整数 b,p,k。

输出描述

输出 b^(p)modk=s，s 为运算结果。

输入输出样例

示例

输入

2 10 9

输出

求解

把n看成二进制，逐个处理末尾的一项。

另外，根据取模的性质有 $a^{n}\mod m=(a\mod m)^n$ 。

def fast_pow(a,n,mod):
    ans=1
    while n:
        if(n&1):ans=ans*a%mod
        a=a*a%mod
        n>>=1
    return ans

b,p,k=map(int,input().split())
print(fast_pow(b,p,k))

矩阵快速幂原理

矩阵相乘

矩阵相乘C=AB:

$C[i,j]=\sum_{k=1}^{n}A[i][k]B[k][j]$

要求A的列数等于B的行数。下面给出一道例题。

蓝桥oj1550：矩阵相乘

题目描述

小明最近刚刚学习了矩阵乘法，但是他计算的速度太慢，于是他希望你能帮他写一个矩阵乘法的运算器。

输入描述

输入的第一行包含三个正整数N,M,K，表示一个 NM的矩阵乘以一个MK的矩阵。接下来N行，每行M个整数，表示第一个矩阵。再接下来的M行，每行K个整数，表示第二个矩阵。

0<N,M,K≤100,0≤ 矩阵中的每个数 ≤1000。

输出描述

输出有 N 行，每行 K 个整数，表示矩阵乘法的结果。

输入输出样例

示例

输入

输出

1 2 3
2 4 6

求解

n,m,k=map(int,input().split())
A=[]
B=[]
C=[[0]*k for i in range(n)]
for i in range(n): A.append(list(map(int,input().split())))
for i in range(m): B.append(list(map(int,input().split())))
for i in range(n):
  for j in range(m):
    for l in range(k): C[i][l]+=A[i][j]*B[j][l]
for i in range(n):
  for j in range(k): print(C[i][j],end=" ")
  print()

矩阵快速幂

若矩阵A是N*N的方阵，它可以自乘，把n个A相乘记 $A^{n}$ 。

矩阵快速幂的时间复杂度： $O(N^3\log n)$ 。

矩阵快速幂Python代码模版

代码逻辑基本与快速幂一样，n%2与n&1等价。只是多了矩阵相乘的函数，以及ans初始化为单位对角阵而已。

def multi(A,B):
    m1,n1=len(A),len(A[0])
    m2,n2=len(B),len(B[0])
    if n1!=m2:return None
    C=[[0]*n2 for i in range(m1)]
    for i in range(m1):
        for k in range(n1):
            for j in range(n2):
                C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j]
    return C

def power(A,n):
    N=len(A)
    ans=[[0]*N for i in range(N)]
    for i in range(N):ans[i][i]=1
    while n:
        if n%2:ans=multi(ans,A)
        A=multi(A,A)
        n//=2
    return ans