1.进制

进制 是数字表示法的一种形式，用于描述一个数在位置“上”的取值范围，不同进制代表着不同进位的规则和不同进制位数的数量。

我们常见的十进制是一种基数为 10 的数字系统，它使用 0 ~ 9 这十个数字来表示数值，例如 123 就是由 1、2、3 这三个数字组成的十进制数。

而在计算机科学中，最常用的是二进制，也就是使用 0 和 1 两个数字来表示数值，例如 1011 就是由 1、0、1、1 这四个数字组成的二进制数。

当然，除了十进制和二进制之外，还有八进制和十六进制等其他进制形式，它们在不同领域有不同的应用场景。理解进制的概念和运算规则是我们深入理解计算机科学的基础之一，也是实际编程中不可或缺的基本技能。

注意： 二进制符号为 0b，一般表示为 0b0011，十六进制符号为 0x 或 H，可表示为 0x18F 或 18FH.

补充：生活中的进制有很多，比如秒和分钟就是60进制，60秒进1分钟，60分钟进1小时。

2.进制转换

2.1 R进制转十进制

方法：

• 位权展开法：用 R 进制数的每一位乘以 R 的 n 次方，n 是变量，从 R 进制的整数最低位开始，依次为：0，1，2，3……累加。

举例：

• 6 进制数 5043 转十进制。
• 5043=5*6^3+0*62+4*6^1+3*60=5*216+4*6+3*1=1080+27=1107

2.2 十进制转R进制

方法：

• 除以 R 倒取余数：用十进制整数除以 R，记录每次取的余数，若商不为 0，则继续除以 R，直到商为 0，而后将所有计算取得的余数根据先后顺序，从右至左排列，即为转换后的 R 进制整数。

举例：

• 问：十进制数200转换为6进制。
• 200➗6=33……2，商为33，余数为2
• 33➗6=5……3，商为5，余数为3
• 5➗6=0……5，商为0，余数为5
• 商为0，停止计算，根据计算先后顺序，从右至左排列为：532

2.3 m进制转n进制

方法1：十进制中转

• 先将 m 进制转化为十进制数，再将十进制数转化为 n 进制数，中间需要通过十进制进行中转。

方法2：直接转化

• 适用于倍数进制之间的转化，以倍数为单位切割较小进制的位数，逐个单位转化。

示例①：二进制转八进制

方法：

• 每3位二进制转换为1位八进制数，二进制数位个数不是3的倍数，则在前面补0（原则是数值不变）。

举例：

• 二进制数01101转八进制。
• 长度为5位，不是3的倍数，前面补0，为：001 101
• 每3位二进制转换为1位八进制，转换后为：15

示例②：二进制转十六进制：

方法：

• 每4位二进制转换为1位十六进制数，二进制数位个数不是4的倍数，则在前面补0（原则是数值不变）

举例：

• 二进制数101101转换为十六进制。
• 长度为6位，不是4的倍数，前面补两个0，为：0010 1101
• 每4位二进制转换为1位十六进制数：2D

3.进制计算

3.1 机器数

机器数：各种数值在计算机中表示的形式。

• 特点：使用二进制计数制，数的符号用0和1表示，小数点则隐含，不占位置。
• 根据有无符号位，分为：
  • 无符号数：表示正数，没有符号位。
  • 带符号数：最高位为符号位，正数符号位为0，负数符号位为1。
• 真值：机器数对应的实际数值。

3.2 编码方式（原码、反码、补码、移码）

带符号数有下列编码方式，当真值为 -45 时：

原码：一个数的正常二进制表示，最高位表示符号，数值0的原码有两种形式：+0（0 0000000）和 -0（1 0000000）。-45对应原码为10101101

反码：正数的反码即原码；负数的反码是在原码的基础上，除符号位外，其他各位按位取反。数值0的反码也有两种形式：+0（0 0000000）和 -0（1 0000000）。-45对应反码为11010010

补码：正数的补码即原码；负数的补码是在原码的基础上，除符号位外，其他各位按位取反，然后末位+1，若有进位则产生进位。因此数值0的补码只有一种形式 +0 = -0 = 0 0000000。-45对应补码为11010011

移码：用作浮点运算的阶码，无论正数负数，都是将该原码的补码的首位（符号位）取反得到移码。-45对应移码为01010011

3.3 表示范围

• 机器字长为 n 时，各种码制表示的带符号数的取值范围（差别在于 0 的表示 ）。

定点整数

• 1.指数-实际字长：n=1（符号位）+（n-1）（数值位）
  • 因此只有n-1个位数可用于表示数值
• 2.底数-进制：2
• 3.可表示的数值数量：2^(n-1)
• 4.可表示的取值范围：2^(n-1)-1
• 5.原码和反码被-0占用，因此负数跟正数的取值范围一样
• 6.补码和移码没有被-0占用，因此负数可以比正数多表示一个。

定点小数

• 定点整数取值范围整体/2^(n-1)

3.4 定点表示法

定点表示法：根据小数点位置，分为纯小数和纯整数两种，其中小数点不占存储位，而是按照以下约定：

• 纯小数：约定小数点的位置在机器数的最高数值位之前。
• 纯整数：约定小数点的位置在机器数的最低数值位之后。

4.浮点数

浮点数：表示方法为N=F*2^E，其中E称为阶码，F称为尾数；类似于十进制的科学计数法，如85.125=0.85125*10^{2，二进制如101.011=0.101011*2}3

4.1 浮点数的表示

在浮点数的表示中，阶码为带符号的纯整数，尾数为带符号的纯小数，要注意符号占最高位（正数0负数1），其表示格式如下：

注意： 一个浮点数的表示方法不是唯一的，浮点数所能表示的数值范围由阶码确定，所表示的数值精度由尾数确定。

4.2 浮点数的运算

对阶：使用两个数的阶码相同，小阶向大阶看齐，较小阶码增加几位，尾数就后移几位。

补充：小阶向大阶看齐，尾数右移丢弃末位，精度变化较小。

位数计算：相加，若是减运算，则加负数。

结果规格化：即尾数表示规格化，带符号尾数转换为1.0XXXX或0.1XXXX。

4.3 尾数的表示规格化

尾数的表示规格化：带符号尾数的补码必须为1.0XXXX（负数）或者0.1XXXX（正数），其中X可为0或1。

整理完毕，完结撒花~ 🌻