深度学习算法之前的机器学习算法，并不需要对训练数据作概率统计上的假设；但为了让深度学习算法有更好的性能，需要满足的关键要素之一，就是：网络的输入数据服从特定的分布：

数据分布应该是零均值化的，即：通过该分布计算得到的均值约等于0。非零均值化的分布可能导致梯度消失和训练抖动。
更进一步，数据分布最好是正态分布。非正态分布可能导致算法过拟合。
另外，训练过程中，面对不同的数据batch时，神经网络每一层的各自的输入数据分布应自始至终保持一致，未能保持一致的现象叫做Internal Covaraite Shift，会影响训练过程。

本文将覆盖问题1和问题2，并分析如何采用合适的激活函数解决问题；最后提出一些普适性的选择激活函数的建议。至于问题3，则更多的与Batch Normalization相关。

Sigmoid 和梯度消失(Vanishing Gradients)

1.1 梯度消失是如何发生的？

梯度消失是一个老生长谈的话题了，我们先通过一个最简单的网络回顾下梯度消失是如何发生的，该网络由4个神经元线性组成，神经元的激活函数都为Sigmoid。
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Sigmoid的函数图像和Sigmoid的梯度函数图像分别如下，从图像可以看出，函数两个边缘的梯度约为0，梯度的取值范围为(0,0.25)。：
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当我们求激活函数输出相对于权重参数w的偏导时，Sigmoid函数的梯度是表达式中的一个乘法因子。

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回到上文拥有4个神经元的网络上来，运用链式求导法则，得到Loss函数相对于a神经元的输出值的偏导表达式如下：
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因为每个神经元(a/b/c/d)都是复合函数，所以上面式子中的每一项都可以更进一步展开，以d对c的导数举例，展开如下，可以看到式子的中间项是Sigmoid函数的梯度。那么拥有4个神经元的网络的Loss函数相对于第一层神经元a的偏导表达式中就包含4个Sigmoid梯度的乘积。而实际的神经网络层数少则数十多则数百，这么多范围在(0,0.25)的数的乘积，将会是一个非常小的数字。而梯度下降法更新参数完全依赖于梯度值，极小的梯度无法让参数得到有效更新，即使有微小的更新，浅层和深层网络参数的更新速率也相差巨大。该现象就称为“梯度消失(Vanishing Gradients)”
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1.2 饱和神经元(Saturated Neurons)

饱和神经元会使得梯度消失问题雪上加霜，假设神经元输入Sigmoid的值特别大或特别小，对应的梯度约等于0，即使从上一步传导来的梯度较大，该神经元权重(w)和偏置(bias)的梯度也会趋近于0，导致参数无法得到有效更新。

2. ReLU 和神经元“死亡”(dying ReLU problem)

2.1 ReLU可以解决梯度消失问题

ReLU激活函数的提出就是为了解决梯度消失问题，LSTMs也可用于解决梯度消失问题(但仅限于RNN模型)。ReLU的梯度只可以取两个值：0或1，当输入小于0时，梯度为0；当输入大于0时，梯度为1。好处就是：ReLU的梯度的连乘不会收敛到0 ，连乘的结果也只可以取两个值：0或1 ，如果值为1 ，梯度保持值不变进行前向传播；如果值为0 ,梯度从该位置停止前向传播。Sigmoid和ReLU函数对比如下：
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2.2 单侧饱和

Simoid函数是双侧饱和的，意思是朝着正负两个方向，函数值都会饱和；但ReLU函数是单侧饱和的，意思是只有朝着负方向，函数值才会饱和。严格意义上来说，将ReLU函数值为0的部分称作饱和是不正确的(饱和应该是取值趋近于0)，但效果和饱和是一样的。单侧饱和有什么好处？

让我们把神经元想象为检测某种特定特征的开关，高层神经元负责检测高级的/抽象的特征(有着更丰富的语义信息)，例如眼睛或者轮胎；低层神经元负责检测低级的/具象的特征，例如曲线或者边缘。当开关处于开启状态，说明在输入范围内检测到了对应的特征，且正值越大代表特征越明显。加入某个神经元负责检测边缘，则正值越大代表边缘区分越明显(sharp)。那么负值越小代表什么意思呢？直觉上来说，用负值代表检测特征的缺失是合理的，但用负值的大小代表缺失的程度就不太合理，难道缺失也有程度吗？
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假设一个负责检测边缘的神经元，激活值为10相对于激活值为5来说，检测到的边缘区分地更明显；但激活值-10相对于-5来说就没有意义了，因为低于0的激活值都代表没有检测到边缘。所以用一个常量值0来表示检测不到特征是更方便合理的，像ReLU这样单侧饱和的神经元就满足要求。

单侧饱和还能使得神经元对于噪声干扰更具鲁棒性。假设一个双侧都不饱和的神经元，正侧的不饱和导致神经元正值的取值各不相同，这是我们所希望的，因为正值的大小代表了检测特征信号的强弱。但负值的大小引入了背景噪声或者其他特征的信息，这会给后续的神经元带来无用的干扰信息；且可能导致神经元之间的相关性，相关性(重复信息)是我们所不希望的。例如检测直线的神经元和检测曲线的神经元可能有负相关性。在负值区域单侧饱和的神经元则不会有上述问题，噪声的程度大小被饱和区域都截断为0,避免了无用信息的干扰。

使用ReLU激活函数在计算上也是高效的。相对于Sigmoid函数梯度的计算，ReLU函数梯度取值只有0或1。且ReLU将负值截断为0 ，为网络引入了稀疏性，进一步提升了计算高效性。

2.3 神经元“死亡”(dying ReLU problem)

但ReLU也有缺点，尽管稀疏性可以提升计算高效性，但同样可能阻碍训练过程。通常，激活函数的输入值有一项偏置项(bias)，假设bias变得太小，以至于输入激活函数的值总是负的，那么反向传播过程经过该处的梯度恒为0,对应的权重和偏置参数此次无法得到更新。如果对于所有的样本输入，该激活函数的输入都是负的，那么该神经元再也无法学习，称为神经元”死亡“问题。

2.4 梯度更新方向的锯齿路径

无论ReLU的输入值是什么范围，输出值总是非负的，这也是一个缺点。采用ReLU激活函数的网络第n层的激活值的表达式为：
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损失函数相对于参数的梯度表达式为：
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其中第二项指示函数(指示函数输入大于0,输出为1;否则,输出为0)。第三项是该层的输入(即上一层ReLU的输出)，值范围是非负的。所以对于该层所有的w参数，梯度的符号都是一样的。这会带来什么问题？梯度的符号决定了参数的更新方向，因为该层所有w参数的梯度符号相同，所以在一次更新中，该层的w参数要么一起增大，要么一起减小。但理想的参数的更新情况可能是：一次更新时，该层一部分w参数增大，而另一部分w参数减小。使用ReLU无法做到。

假设训练过程中的某一时刻：一部分参数w1需要减小，以到达理想的参数范围内；而另一部分参数w2却需要增大。然而此次迭代计算得到的梯度符号一致，参数更新后都将减小(满足w1不满足w2)；下次迭代时，计算得到的梯度符号仍然一致但方向相反，参数更新后都将增大(满足w2不满足w1)。这将导致参数更新过程中，方向的锯齿问题，以下图理解更直观：从原地到达最优点，一部分参数需要减小(w1,以y轴表示)，另一部分参数需要增大(w2,以x轴表示)，但每次更新时，w1/w2 必须同时增大或减小，造成了更新方向的锯齿问题，减缓了训练过程。
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3. LeakyReLU和PReLU

3.1 LeakyReLU可以解决神经元”死亡“问题

LeakyReLU的提出就是为了解决神经元”死亡“问题，LeakyReLU与ReLU很相似，仅在输入小于0的部分有差别，ReLU输入小于0的部分值都为0，而LeakyReLU输入小于0的部分，值为负，且有微小的梯度。函数图像如下图：
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实际中，LeakyReLU的α取值一般为0.01。使用LeakyReLU的好处就是：在反向传播过程中，对于LeakyReLU激活函数输入小于零的部分，也可以计算得到梯度(而不是像ReLU一样值为0)，这样就避免了上述梯度方向锯齿问题。

超参数α的取值也已经被很多实验研究过，有一种取值方法是对α随机取值，α的分布满足均值为0,标准差为1的正态分布，该方法叫做随机LeakyReLU(Randomized LeakyReLU)。原论文指出随机LeakyReLU相比LeakyReLU能得更好的结果，且给出了参数α的经验值1/5.5(好于0.01)。至于为什么随机LeakyReLU能取得更好的结果，解释之一就是随机LeakyReLU小于0部分的随机梯度，为优化方法引入了随机性，这些随机噪声可以帮助参数取值跳出局部最优和鞍点，这部分内容可能需要一整篇文章来阐述。正是由于α的取值至关重要，人们不满足与随机取样α，有论文将α作为了需要学习的参数，该激活函数为PReLU(Parametrized ReLU)。

4. 集大成者ELU(Exponential Linear Unit)

通过上述的讨论可以看出，理想的激活函数应满足两个条件：

输出的分布是零均值的，可以加快训练速度。
激活函数是单侧饱和的，可以更好的收敛。
LeakyReLU和PReLU满足第1个条件，不满足第2个条件；而ReLU满足第2个条件，不满足第1个条件。两个条件都满足的激活函数为ELU(Exponential Linear Unit)，函数图像如下图：

表达式为：

输入大于0部分的梯度为1,输入小于0的部分无限趋近于-α，超参数取值一般为1.

5. 如何选择合适的激活函数？

先试试ReLU的效果如何。尽管我们指出了ReLU的一些缺点，但很多人使用ReLU取得了很好的效果。根据”奥卡姆剃刀原理“，如无必要，勿增实体，也就是优先选择最简单的。ReLU相较于其他激活函数，有着最低的计算代价和最简单的代码实现。
如果ReLU效果不太理想，下一个建议是试试LeakyReLU或ELU。经验来看：有能力生成零均值分布的激活函数，相较于其他激活函数更优。需要注意的是使用ELU的神经网络训练和推理都会更慢一些，因为需要更复杂的指数运算得到函数激活值，如果计算资源不成问题，且网络并不十分巨大，可以事实ELU；否则，最好选用LeakyReLU。LReLU和ELU都增加了需要调试的超参数。
如果有很多算力或时间，可以试着对比下包括随机ReLU和PReLU在内的所有激活函数的性能。当网络表现出过拟合时，随机ReLU可能会有帮助。而对PReLU来说，因为增加了需要学习的参数，当且仅当有很多训练数据时才可以试试PReLU的效果。