1. Problem

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在图像处理中，图像信号总会因为各种原因受到噪声的干扰，其中高斯噪声就是典型的干扰类型之一。

针对图像去噪的模型有很多种，其中全变分模型被认为是最有效的模型之一。早在1992年，Rudin、Osher和Rudin三位学者在论文¹就提出了全变分（Total Variation，TV）模型，论文证明了随着噪声的增加，图像的TV将会变大，因此，可以通过最小化TV来实现图像去噪。

全变分有几种模型，有各向异性全变分（Anisotropic Total Variation，ATV）、各向同性全变分（Isotropic Total Variation，ITV）和其它的形式。

定义一个$N\times N$的图像信号$x$，其中$x(i,j)$表示图像的第$i$行$j$列像素值，则

ITV可以表示为

$$ITV(x)=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N\sqrt[2]{[x(i+1,j)-x(i,j){]}^2+[x(i,j+1)-x(i,j){]}^2}\text{\hspace{1em}(1)}$$

ATV可以表示为

$$ATV(x)=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N|x(i+1,j)-x(i,j)|+|x(i,j+1)-x(i,j)|\text{\hspace{1em}(2)}$$

以ATV模型为例，一个图像去噪问题可以建模为

$$\underset{u}{\min }\frac{1}{2}||u-x|{|}_2^2+\lambda ||Dx|{|}_1\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中，$x$为待去噪信号，$u$为变量，$D$为全变分算子，可以由式(1)得到，$\lambda$为正则化参数。该问题是一个非凸、不光滑问题，无法直接采用梯度下降法求解。

交替方向乘子法²（Alternating Direction Method of Multiplier，ADMM）提供了一个解决此类问题框架³。引入变量$d$，将问题(3)化为ADMM的一般形式

$$\underset{u}{\min }\frac{1}{2}||u-x|{|}_2^2+\lambda ||d|{|}_{1}s.t.Dx-d=0\text{\hspace{1em}(4)}$$

利用增广拉格朗日法引入凸松弛同时去除约束条件，有

$$L(u,d,\mu )=\frac{1}{2}||u-x|{|}_2^2+\lambda ||d|{|}_1+{\mu }^T(Du-d)+\frac{\delta }{2}||Du-d|{|}_2^2\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中$\mu$为拉格朗日乘子，$\delta >0$为拉格朗日惩罚项。为了更简洁表达，可做如下替换：

$$L(u,d,\mu )=\frac{1}{2}||u-x|{|}_2^2+\lambda ||d|{|}_1+\frac{\delta }{2}||Du-d+p|{|}_2^2-\frac{\delta }{2}||p|{|}_2^2\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中$p=\mu /\delta$。利用ADMM，问题(6)的求解可通过求解以下三个问题进行实现：

$$u_{n+1}=arg\underset{u}{\min }\frac{1}{2}||u-x|{|}_2^2+\frac{\delta }{2}||Du-d_n+p_n|{|}_2^2\text{\hspace{1em}(7)}$$

$$d_{n+1}=arg\underset{u}{\min }\lambda ||d|{|}_1+\frac{\delta }{2}||D{u}_n-d+p_n|{|}_2^2\text{\hspace{1em}(8)}$$

$$p_{n+1}=p_n+(D{u}_{n+1}-d_{n+1})\text{\hspace{1em}(9)}$$

2. 仿真结果

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测试图像采用的是house，对其添加高斯噪声，将加噪后的图像输入到去噪算法

从仿真结果可以看到，去噪后的图像上的高斯噪声被抑制了，图像变得更加平滑了，图像边缘得到增强。然而，图像原本的细节也丢失了。

3. MATLAB算法

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x=double(imread('house.bmp'));
x_n=x+10*randn(size(x));
x_r=ADMM_TVdenoise(x_n,25,10,100);
figure;
subplot(131);
imshow(uint8(x));
title('原始图像');
subplot(132);
imshow(uint8(x_n));
title('加噪图像');
subplot(133);
imshow(uint8(x_r));
title('去噪图像');

function xp=ADMM_TVdenoise(x,delta,lambda,iteratMax)
    [N,~]=size(x);
    x=reshape(x,N*N,1);
    [Dh,Dv]=TVOperatorGen(N);
    D=sparse([Dh',Dv']');
    d=D*x;
    p=ones(2*N*N,1)/delta;
    IdelDD=inv((eye(N*N)+delta*(D'*D)));
    for ii=1:iteratMax
        u=IdelDD*(x+delta*D'*(d-p));
        d=wthresh(D*u+p,'s',lambda/delta);
        p=p+D*u-d;
    end
    xp=reshape(u,N,N);
end

function [Dh,Dv]=TVOperatorGen(n)
    Dh=-eye(n^2)+diag(ones(1,n^2-1),1);
    Dh(n:n:n^2,:)=0;
    Dv=-eye(n^2)+diag(ones(1,n^2-n),n);
    Dv(n*(n-1)+1:n^2,:)=0;
end

4. 源码地址

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https://github.com/dwgan/ADMM_TV_denoise

参考文献

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1. Rudin, Leonid I., Stanley Osher, and Emad Fatemi. “Nonlinear total variation based noise removal algorithms.” Physica D: nonlinear phenomena 60.1-4 (1992): 259-268. ↩︎

2. Boyd, Stephen, et al. “Distributed optimization and statistical learning via the alternating direction method of multipliers.” Foundations and Trends® in Machine learning 3.1 (2011): 1-122. ↩︎

3. https://zhuanlan.zhihu.com/p/448289351 ↩︎