均匀分布和三角分布

均匀分布是最容易理解的连续随机分布，实际上就是等概率的连续分布，其PDF为

$$f(x)=\frac{1}{b-a},x\in (a,b)$$

其样本在$(a,b)$区间内，差不多构成了一个矩形，故称矩形分布。

相应地，PDF为三角形的分布，就是三角形分布。对于下限为$a$，上限为$b$，众数为$c$的三角分布，其PDF为

$$f(x)=\{\begin{array}{r}\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}a⩽x⩽c\\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}c<x⩽b\end{array}$$

在scipy.stats中，uniform为均匀分布类；triang为三角分布类。uniform的输入参数为左端点和长度；triang和均匀分布相比，多了一个众数位置，取值范围在$[0,1]$之间，如下所示。

from scipy.stats import uniform, triang

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(121)
ax.hist(uniform(1,5).rvs(10000), bins=50)
ax = fig.add_subplot(122)
ax.hist(triang(0.5, 1, 5).rvs(10000), bins=50)
plt.show()

结果为

均匀分布相加

两个均匀分布的随机变量$X_1,X_2$，其中样本相加或者相减后可得到三角形分布，记X1的下限与上限为$a_1,b_1$，X2的下限与上限分别为$a_2,b_2$，从这个三角形分布的特点可以看出，三角形分布的下限和上限分别是$a_1+a_2,b_1+b_2$，其众数为$\frac{a_1+b_1+a_2+b_2}{2}$。

a1, d1 = 1,5
a2, d2 = 3,6
x1 = uniform(a1,d1).rvs(10000)
x2 = uniform(a2,d2).rvs(10000)
plt.hist(x1+x2, density=True, bins=100)


st = a1+a2
D = d1 + d2
rv = triang(0.5, st, D)
xs = np.linspace(st, st+D, 200)
plt.plot(xs, rv.pdf(xs))

plt.show()

结果为

对数均匀分布

scipy.stats中还提供了loguniform的分布类，其概率密度函数为

$$f(x,a,b)=\frac{1}{x\log (\frac{a}{b})}$$

可想而知，其概率密度曲线是一个反函数。如果对随机变量取对数，则可以转化为在区间$[\log a,\log \frac{b}{a}]$的均匀分布，接下来测试一下

import numpy as np
from scipy.stats import loguniform
import matplotlib.pyplot as plt

a, b = 1, 5

rs = loguniform(a,b).rvs(10000)
plt.hist(np.log10(rs), density=True, bins=100)

rv = uniform(np.log10(a), np.log10(b/a/a))
xs = np.linspace(rv.ppf(0.01), rv.ppf(0.99), 100)
plt.plot(xs, rv.pdf(xs))
plt.show()