目录

前言

1.系统描述

2.控制器设计

3.模糊化设计

3.1构造模糊系统 

3.2自适应律设计

4仿真分析

4.1仿真系统

4.2仿真结果

---

前言

上几篇文章分别介绍了模糊化切换增益(也就是模糊化外界扰动d)、模糊化系统部分的不确定项f、模糊化整个切换项，其原理分别为利用滑膜存在条件ss'的关系、状态变量、滑模面s设计隶属度函数构造模糊系统，输出为自适应律，通过自适应律对需要估计的部分进行逼近。今天这篇文章将去逼近系统不确定性f和g，以及外界扰动d，即同时模糊化系统部分的不确定项f、模糊化整个切换项，相当于对前面的文章进行了一个综合。

1.系统描述

和上篇文章一样以n阶系统为例：

 其中f和g为已知函数(线性或者非线性均可)，dt为有上届的扰动。

2.控制器设计

和上几篇文章的设计一模一样，仍以简单的线性滑膜面为例，其实其它类型的滑模面方法都类似

Sliding mode surface：

 其中e=x-xd，ki为满足Hurwitz多项式条件的取值。

 很容易得到我们的控制输入：

其中usw即为切换项/鲁棒项，假定我们选择等速趋近律ηsign(s)，其中η > |d|max，且当其为理想参照切换项。

3.模糊化设计

假设系统的f、g和外界扰动d均有界未知，则上述控制器变为：

3.1构造模糊系统 

①对系统部分的f和g逼近时，使用xi的隶属度函数均选择gaussmf(x,[pi/12,pi/24-(i-1)*pi/24])，i=1,2,3,4,5。即：

总结：使用xi的隶属度函数构造模糊系统f^(xi|θf)和g^(xi|θg)，输出为模糊向量ξ和Φ，模糊输出向量用于构造逼近f和g所设计的自适应律θf和θg，且f^ = θf*ξf、g^ = θg*ξg。

②对外界扰动d逼近时，使用滑模面s的隶属度函数均选择s形隶属度函数sigmf(x,[-5,-3+(j-1)*3])，j=1,2,3。即：

总结：使用s的隶属度函数构造模糊系统d^(s|θusw)，输出为模糊向量ξusw，模糊输出向量用于构造逼近d所设计的自适应律θusw，且usw^ = θusw*ξusw。

3.2自适应律设计

所以自适应律的设计最优值为逼近误差最小时的取值：

定义逼近的误差：

即：

符号解释说明：

  指系统中的不确定f；

和指实际取值的自适应律θ时逼近的f(因为逼近也不可能做到没一点误差)，即实际逼近的f ；

  指取值为最优自适应律参数θf*时逼近的f，即最优逼近的f。

同样和上两篇文章一样要求取自适应律，则要进行Lyapunov函数稳定性分析，通过稳定性分析证明来得到自适应律，定义Lyapunov函数：

其中：

为了方便运算，对V求导前先运算得到s'：

这里由于g是估计的，不能和以往一样直接代入控制输入u，需要进行转化(想办法利用上述的逼近误差表达式) ，先加减g^u

由控制输入：  

 得到： ​​​​​​​ 

 消去 ​​​​​​​，得到：

​​​​​​​将逼近误差表达式：

​​​​​​​代入，得到：

​​​​​​​ ​​​​​​​

 为了引入实际自适应律与理想自适应律的误差关系，即上面定义Lyapunov函数定义的：

s'式子加减 ​​​​​​​

 所以Lyapunov函数导数V'=

​​​​​​​由于理想的usw^ = ηsign(s)，所以有：

​​​​​​​ ​​​​​​​ 所以设计如下的自适应律：

其中r1、r2、r3 > 0。

​​​​​​​最终得到V'=

注：

①这里为了缩写简化，有的地方将usw写成了h。

②θ'为自适应律，下标为对应的不确定项；ξ为模糊基向量，即模糊系统的输出，下标含义同自适应律，(.)表示设计模糊系统所使用的变量，分别为xi和滑模面s。

③自适应律的标准组成形式即为：θ' = 调节参数ri*模糊系统输出ξj。

4仿真分析

4.1仿真系统

仍采用和前述文章一直的二阶倒立摆非线性系统，并增加扰动d=sin(t)：

4.2仿真模型

指令信号xd = 0.1sin(t)，且x0=[pi/6;0;0]

4.3仿真结果

4.3结论

①可以看到基于模糊逼近f、g、usw的滑膜控制在初态响应上优于普通等速趋近律；

②从切换项估计usw^和滑模面s可以看到模糊滑膜控制抖动更小；

③无论自适应律参数ri怎么调节都无法实现逼近，存在较大的误差。

④而且在参数调节上，ri如果调大会报错，滑模面系数在模糊滑模控制中不能调的很大，但是普通趋近律中可以调大一些。

⑤实际上是利用滑模面s、相应的变量的隶属度函数μi进行估计，自适应律的作用就是模糊输出和调节参数ri的乘积，用于调参逼近不确定；

⑥由于滑模控制律中分母为g^，而自适应律为g^的组成，所以自适应律状态变量初值不能为0，即g^不能为0，否则NAN报错。

注：由于符号太多可能会存在错误，可以指出，后续有时间我也会再去检查，谢谢理解！