涉及积分的定理

分部积分

分部积分：
$${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^{b}v(x)u^{\prime }(x)dx$$

其中，$v^{\prime }(x)=\frac{dv}{dx}$

散度定理

给定一个体积为V的域B，边界为S，那么应用在向量场的散度定理（也叫Green’s Theorem, 格林定理）为：
$$\begin{gathered} {\int }_V{\nabla }_{\vec{x}}\cdot \vec{v}dV={\int }_S\vec{v}\cdot \hat{n}dS={\int }_S\vec{v}\cdot d\vec{S} \\ {\int }_V{v}_{i,i}dV={\int }_S{v}_i{\hat{n}}_{i}dS={\int }_S{v}_{i}d{S}_i \end{gathered}$$
其中，$\hat{n}$ 是向外垂直于表面S的

令T是在域B的二阶张量场，那么应用散度定理在这个场：
$$\begin{gathered} {\int }_V{\nabla }_{\vec{x}}\cdot TdV={\int }_{S}T\cdot \hat{n}dS={\int }_{S}T\cdot d\vec{S} \\ {\int }_V{T}_{ij,j}dV={\int }_S{T}_{ij}{\hat{n}}_{j}dS={\int }_S{T}_{ij}d{S}_j \end{gathered}$$

通过利用散度定理，也可以证明：

其中，假设${\delta }_{ik,j}=0_{ikj}$，另外，因为$x_{k,j}={\delta }_{kj}$，得到：

给定一个定义在域B的二阶张量，以下成立：

因此，可以证明：

问题1.47 令$\Omega$ 是一个边界为$\Gamma$的域，m是一个二阶张量场，$\omega$是一个标量场，证明：

路径的独立性

连接两个点A和B的曲线称为从A到B的路径

建立线积分与路径无关的条件：
令$\vec{b}(\vec{x})$是一个连续的向量场，那么积分${\int }_C\vec{b}\cdot d\vec{r}$与路径无关，当且仅当$\vec{b}$是保守场，这意味着存在一个标量场$\varphi$使得$\vec{b}={\nabla }_{\vec{x}}\varphi$,也就是向量场是某个标量场的梯度：
$$\begin{gathered} {\int }_A^B\vec{b}\cdot d\vec{r}={\int }_A^B{\nabla }_{\vec{x}}\varphi \cdot d\vec{r} \\ {\int }_A^B(b_1{\hat{e}}_1+b_2{\hat{e}}_2+b_3{\hat{e}}_3)\cdot d\vec{r}={\int }_A^B(\frac{\partial \varphi }{\partial x_1}{\hat{e}}_1+\frac{\partial \varphi }{\partial x_2}{\hat{e}}_2+\frac{\partial \varphi }{\partial x_3}{\hat{e}}_3)\cdot d\vec{r} \end{gathered}$$

因此：
$$b_1=\frac{\partial \varphi }{\partial x_1};b_2=\frac{\partial \varphi }{\partial x_2};b_3=\frac{\partial \varphi }{\partial x_3};$$

由于场是保守的，所以$\vec{b}$的旋度为0：

因此，得出结论：

因此，如果以上条件不满足，则场不是保守的

Kelvin-Stokes定理

令S是一个曲面，$\vec{F}(\vec{x},t)$是一个向量场，根据Kelvin-Stokes定理，有：
$$\boxed{{\oint }_{\Gamma }\vec{F}\cdot d\vec{\Gamma }={\int }_{\Omega }({\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{F})\cdot d\vec{S}={\int }_{\Omega }({\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{F})\cdot \hat{n}dS}$$

如果$\hat{p}$表示切向于边界$\Gamma$的单位向量，那么Stoke’s定理为：
$${\oint }_{\Gamma }\vec{F}\cdot \hat{p}d\Gamma ={\int }_{\Omega }({\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{F})\cdot d\vec{S}={\int }_{\Omega }({\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{F})\cdot \hat{n}dS$$

参考笛卡尔坐标系下的表示：
$\vec{F}=F_1{\hat{e}}_1+F_2{\hat{e}}_2+F_3{\hat{e}}_3$
$d\vec{S}=d{S}_1{\hat{e}}_1+d{S}_2{\hat{e}}_2+d{S}_3{\hat{e}}_3$
$d\vec{\Gamma }=d{x}_1{\hat{e}}_1+d{x}_2{\hat{e}}_2+d{x}_3{\hat{e}}_3$

$\vec{F}$的旋度的分量为：

那么，Stoke‘s定理表示成以上分量形式：
$$\begin{gathered} {\oint }_{\Gamma }{F}_{1}d{x}_1+F_{2}d{x}_2+F_{3}d{x}_3 \\ ={\int }_{\Omega }(\frac{\partial F_3}{\partial x_2}-\frac{\partial F_2}{\partial x_3})d{S}_1+(\frac{\partial F_1}{\partial x_3}-\frac{\partial F_3}{\partial x_1})d{S}_2+(\frac{\partial F_2}{\partial x_1}-\frac{\partial F_1}{\partial x_2})d{S}_3 \end{gathered}$$

特殊情况：曲面S是就是平面$\Omega$，上式仍然成立

如果$\Omega$是$x_1-x_2$平面，那么上式变为：
$${\oint }_{\Gamma }\vec{F}\cdot d\Gamma ={\int }_{\Omega }({\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{F})\cdot {\hat{e}}_{3}dS$$

这就是大家都知道的平面上的Stoke’s定理，即格林公式。
张量分量：
$${\oint }_{\Gamma }{F}_{1}d{x}_1+F_{2}d{x}_2={\int }_{\Omega }(\frac{\partial F_2}{\partial x_1}-\frac{\partial F_1}{\partial x_2})d{S}_3$$

格林公式

令$\vec{F}$是一个向量场，应用散度定理，有：
$${\int }_V{\nabla }_{\vec{x}}\cdot \vec{F}={\int }_S\vec{F}\cdot \hat{n}dS$$

根据：

令$\vec{F}=\varphi {\nabla }_{\vec{x}}\psi$，代入上面两个等式：

这就是格林第一公式

且有：

这就是格林第二公式

问题1.48 令$\vec{b}$是一个向量场，定义为$\vec{b}={\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{v}$，证明：

参考教材：
Eduardo W.V. Chaves， Notes On Continuum Mechanics