算法27：从暴力递归到动态规划（2）

上一题比较简单，下面来一道比较难的题目。

假设有排成一行的N个位置，记为1~N，N 一定大于或等于 2

开始时机器人在其中的M位置上(M 一定是 1~N 中的一个)

如果机器人来到1位置，那么下一步只能往右来到2位置；

如果机器人来到N位置，那么下一步只能往左来到 N-1 位置；

如果机器人来到中间位置，那么下一步可以往左走或者往右走；

规定机器人必须走 K 步，最终能来到P位置(P也是1~N中的一个)的方法有多少种

给定四个参数 N、M、K、P，返回方法数。

解题思路：

1. 如果机器人在1的位置，只能从左到右

2.如果机器人在N的位置，只能从右到左

3.如果机器人在中间，既可以往右、也可以往左

现在的题目是要求返回多少种走法，也就是只要能到达目的地，并且步数足够，我们随意走都可以。

遇到这种题目，绘图是最好的方式：

假设一共有6个位置，从2位置出发，走5步，到达位置5，一共有多少种走法

递归方式

package code03.动态规划_07;

/**
 * 假设有排成一行的N个位置，记为1~N，N 一定大于或等于 2
 * 开始时机器人在其中的M位置上(M 一定是 1~N 中的一个)
 * 如果机器人来到1位置，那么下一步只能往右来到2位置；
 * 如果机器人来到N位置，那么下一步只能往左来到 N-1 位置；
 * 如果机器人来到中间位置，那么下一步可以往左走或者往右走；
 * 规定机器人必须走 K 步，最终能来到P位置(P也是1~N中的一个)的方法有多少种
 * 给定四个参数 N、M、K、P，返回方法数。
 */
public class Robot_02 {
    /**
     *
     * @param mStart   M 开始位置
     * @param kSteps   K 步数
     * @param nAll     N 长度
     * @param pAim     P 目的地位置
     * @return
     */
    public static int way1(int mStart, int kSteps, int nAll, int pAim)
    {
        return process(mStart, kSteps, nAll, pAim);
    }

    public static int process ( int mStart, int kSteps, int nAll, int pAim)
    {
        //步数为0，没法走
        if (kSteps == 0) {
           return mStart == pAim ? 1 : 0;
        }
        //只能往右走
        if (mStart == 1) {
            return process(mStart + 1, kSteps-1, nAll, pAim);
        }
        //只能往左走
        if (mStart == nAll) {
            return process(nAll-1, kSteps-1, nAll, pAim);
        }
        //中间位置，即可往左，也可往右，需要统计出往左往右的和
        return process(mStart +1, kSteps-1, nAll, pAim)
                +  process( mStart -1, kSteps-1, nAll, pAim);
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(way1(2,5,6,5));
    }
}

同样的问题，我们分析可以得到：

在2位置，剩余5步，有5中走法

在3位置，剩余4步，有4种走法

在4位置，剩余3步，有3种走法

在5位置，剩余2步，有2种走法；

在6位置，剩余1步，有1种走法

中间存在来来回回重复的走法，这说明我们存在重复的推导结果，自然就过渡到递归+动态规划的方式进行优化了。

递归 + 动态规划

package code03.动态规划_07;

/**
 * 假设有排成一行的N个位置，记为1~N，N 一定大于或等于 2
 * 开始时机器人在其中的M位置上(M 一定是 1~N 中的一个)
 * 如果机器人来到1位置，那么下一步只能往右来到2位置；
 * 如果机器人来到N位置，那么下一步只能往左来到 N-1 位置；
 * 如果机器人来到中间位置，那么下一步可以往左走或者往右走；
 * 规定机器人必须走 K 步，最终能来到P位置(P也是1~N中的一个)的方法有多少种
 * 给定四个参数 N、M、K、P，返回方法数。
 */
public class Robot_02_opt1 {
    /**
     * @param mStart   M 开始位置  [0-nAll]
     * @param kSteps   K 步数
     * @param nAll     N 长度
     * @param pAim     P 目的地位置
     * @return
     */
    public static int way1(int mStart, int kSteps, int nAll, int pAim)
    {
        /**
         * 位置是1-N, 每一个位置都存在不同的走法，以每个位置为行，那么行的范围就是1-N
         * 由于java数组下标从0开始，想要获取1-N范围，长度需要加1
         *
         * 我们将剩余步数为列，这样每个位置剩余步数就可以很直观的观察到
         */
        int[][] dp = new int[nAll + 1][kSteps+1]; //剩余步数为横坐标，当前位置为纵坐标
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            for(int j = 0; j <dp[i].length; j++) {
                dp[i][j] = -1;
            }
        }
        int result = process(mStart, kSteps, nAll, pAim, dp);
        return process(mStart, kSteps, nAll, pAim, dp);
    }

    public static int process ( int mStart, int kSteps, int nAll, int pAim, int[][] dp)
    {
        if (dp[mStart][kSteps] != -1) {
            return dp[mStart][kSteps];
        }

        int result;
        if (kSteps == 0) {
            result = mStart == pAim ? 1 : 0;
        }
        //只能往右走
        else if (mStart == 1) {
            result =  process(mStart + 1, kSteps-1, nAll, pAim, dp);
        }
        //只能往左走
        else if (mStart == nAll) {
            result = process(nAll-1, kSteps-1, nAll, pAim, dp);
        }
        //中间位置，即可往左，也可往右，需要统计出往左往右的和
        else{
            result = process(mStart +1, kSteps-1, nAll, pAim, dp)
                    +  process( mStart -1, kSteps-1, nAll, pAim, dp);
        }
        dp[mStart][kSteps] = result;

        return result;
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(way1(2,5,6,5));
    }
}

纯动态规划方式

1. 根据递归的方式，我们知道，如果剩余步数为0，那么开始位置如果正好在目标位置处，就算是1种走法。并且可以推导二维数组的第一列，第五行为1，其他都为0

if (kSteps == 0) {
   return mStart == pAim ? 1 : 0;
}

x	x	x	x	x	x
0
0
0
0
1
0

2. 根据递归方式，如果在最左端，只能往右走; 如果在最右端，只能往左走。目前第一列数据已经推导出来了。因此需要根据第一列进行推导。

//只能往右走
if (mStart == 1) {
    return process(mStart + 1, kSteps-1, nAll, pAim);
}
//只能往左走
if (mStart == nAll) {
    return process(nAll-1, kSteps-1, nAll, pAim);
}

根据递归代码，我们知道，无论是往左走，还是往右走。

第二行第二列，也就是dp[1][1], 都是下一行的前一列数据. 而最后一行最后一列，都是上一行前一列的数据。推导结果》

x	x	x	x	x	x
0	0
0
0
0
1
0	1

3. 根据递归方法中，如果在中间位置。需要得到上一行和下一行的前一列累加值

//中间位置，即可往左，也可往右，需要统计出往左往右的和
return process(mStart +1, kSteps-1, nAll, pAim)
        +  process( mStart -1, kSteps-1, nAll, pAim);

推导出结果

x	x	x	x	x	x
0	0
0	0
0	0
0	1
1	0
0	1

依次类推，得到的最终值为：

	剩余0	剩余1	剩余2	剩余3	剩余4	剩余5
目标位置0	x	x	x	x	x	x
目标位置1	0	0	0	0	1	0
目标位置2	0	0	0	1	0	5
目标位置3	0	0	1	0	4	0
目标位置4	0	1	0	3	0	9
目标位置5	1	0	2	0	5	0
目标位置6	0	1	0	2	0	9

根据题目我们知道，位置是从1到N的，也就是说位置不存在0的情况。而我们这张表位置作为行，剩余步数作为列的。因此位置为0直接忽略。

假设一共有6个位置，从2位置出发，走5步，到达位置5，一共有多少种走法

dp[2][5]可得到结果为5，即5中种走法。

package code03.动态规划_07;

/**
 * 假设有排成一行的N个位置，记为1~N，N 一定大于或等于 2
 * 开始时机器人在其中的M位置上(M 一定是 1~N 中的一个)
 * 如果机器人来到1位置，那么下一步只能往右来到2位置；
 * 如果机器人来到N位置，那么下一步只能往左来到 N-1 位置；
 * 如果机器人来到中间位置，那么下一步可以往左走或者往右走；
 * 规定机器人必须走 K 步，最终能来到P位置(P也是1~N中的一个)的方法有多少种
 * 给定四个参数 N、M、K、P，返回方法数。
 */
public class Robot_02_opt2 {
    /**
     *
     * @param mStart   M 开始位置
     * @param kSteps   K 步数
     * @param nAll     N 长度
     * @param pAim     P 目的地位置
     * @return
     */
    public static int way(int nAll, int mStart, int pAim, int kSteps)
    {
        if (nAll < 2 || mStart < 1 || mStart > nAll || pAim < 1 || pAim > nAll || kSteps < 1) {
            return -1;
        }

        /**
         * 位置是1-N, 每一个位置都存在不同的走法，以每个位置为行，那么行的范围就是1-N
         * 由于java数组下标从0开始，想要获取1-N范围，长度需要加 1
         *
         * 我们将剩余步数为列，这样每个位置剩余步数就可以很直观的观察到.
         * 同理，列的长度也需要加 1。
         *
         * 其实，此处列无所谓的，哪怕就是100也行。只不过如果是100，那将会推导出
         * 走100的情况，无谓浪费资源。 最好的方式就是根据实际的业务，你要我推导
         * 几步，我就推导几步，节约资源
         */
        int[][] dp = new int[nAll+1][kSteps+1];
        //剩余步数为0，推导出对应哪一行为1
        dp[pAim][0] = 1;
        //根据剩余步数，推导出每一个位置能够走到目标位置的结果
        for (int col = 1; col <= kSteps; col++)
        {
            //第2行的每一列值, 对应的都是第3行前一列值
            dp[1][col] = dp[2][col-1];

            //从第二行开始，倒数第二行执行完后结束
            for (int row = 2; row < nAll; row++)
            {
                //中间行，等于上一行和下一行的前一列的和
                dp[row][col] = dp[row-1][col-1] + dp[row+1][col-1];
            }
            //最后一行，每一列值都对应上一行的前一列的值
            dp[nAll][col] = dp[nAll-1][col-1];
        }

        //根据当前哪个位置，剩余步数。获取到目标位置的不同走法
        return dp[mStart][kSteps];
    }



    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(way(6,2,5,5));
    }
}