张量场

张量场表示张量$T(\vec{x},t)$在空间$\vec{x}$和时间$t$中如何变化，将张量场视为可微函数

如果一个张量场不依赖于时间，则此张量场称为定常场，例如$T=T(\vec{x})$；相反，如果一个张量场只依赖时间则称为均匀场，就是说$T(t)$在每个位置$\vec{x}$都有相同的值

张量场可以分类为：标量、向量、二阶张量场等
例如温度场 $T(\vec{x},t)$ 就是一个标量场，在时间$t=t_1$中温度的分布如下：

另外，速度场$\vec{v}(\vec{x},t)$是一个向量场，在时间$t=t_1$的速度分布，在每一个点都有一个速度相对应，如下所示：

标量场：
$$\varphi =\varphi (\vec{x},t)$$
向量场：
张量表示： $$\vec{v}=\vec{v}(\vec{x},t)$$
下标表示： $$v_i=v_i(\vec{x},t)$$
二阶张量场：
张量表示： $$T=T(\vec{x},t)$$
下标表示： $$T_{ij}=T_{ij}(\vec{x},t)$$

标量场

定常标量场$\varphi =\varphi (\vec{x})$,有连续的值$\frac{\partial \varphi }{\partial x_1},\frac{\partial \varphi }{\partial x_2},\frac{\partial \varphi }{\partial x_3}$。在点$\vec{x}$的函数值为$\varphi (\vec{x})$，在另一个点$\vec{x}+d\vec{x}$的函数值为$\varphi (\vec{x}+d\vec{x})$，那么函数$\varphi$的微分定义如下：
$$\begin{gathered} \varphi (\vec{x}+d\vec{x})-\varphi (\vec{x})\equiv d\varphi \\ \varphi (x_1+d{x}_1,x_2+d{x}_2,x_3+d{x}_3)-\varphi (x_1,x_2,x_3)\equiv d\varphi \end{gathered}$$

对于任意的连续函数$\varphi (x_1,x_2,x_3)$，$d\varphi$ 与$d{x}_1,d{x}_2,d{x}_3$线性相关，这种线性关系可以以微分的链式法则来给出：
$$d\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial \varphi }{\partial x_2}d{x}_2+\frac{\partial \varphi }{\partial x_3}d{x}_3$$

张量的分量关于$x_i$的导数，可以由以下微分算子表示：
$$\frac{\partial \ast }{\partial x_i}\equiv {\ast }_{,i}$$

梯度

标量场的梯度：
梯度${\nabla }_{\vec{x}}\varphi$ 或者$grad\varphi$定义为：

其中，算子${\nabla }_{\vec{x}}$叫Nabla符号，将上式表示成笛卡尔坐标基：


所以，${\nabla }_{\vec{x}}\varphi$在笛卡尔坐标系中的分量：
$$({\nabla }_{\vec{x}}{)}_1\equiv \frac{\partial \varphi }{\partial x_1};({\nabla }_{\vec{x}}{)}_2\equiv \frac{\partial \varphi }{\partial x_2};({\nabla }_{\vec{x}}{)}_3\equiv \frac{\partial \varphi }{\partial x_3};$$

那么，梯度的分量定义如下：
$${\nabla }_{\vec{x}}\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x_1}{\hat{e}}_1+\frac{\partial \varphi }{\partial x_2}{\hat{e}}_2+\frac{\partial \varphi }{\partial x_3}{\hat{e}}_3$$

Nabla符号${\nabla }_{\vec{x}}$定义为：
$$\boxed{{\nabla }_{\vec{x}}=\frac{\partial }{\partial x_i}{\hat{e}}_i\equiv {\partial }_{,i}{\hat{e}}_i}$$

${\nabla }_{,\vec{x}}$的几何意义：

• ${\nabla }_{\vec{x}}$的方向是垂直于等值面的，例如垂直于等值面$\varphi =const$。${\nabla }_{\vec{x}}$的方向指向$\varphi$增长最快的方向
• ${\nabla }_{\vec{x}}$的大小是$\varphi$改变的速率，例如$\varphi$的梯度

一个曲面的法向量如下所示：
$$\hat{n}=\frac{{\nabla }_{\vec{x}}\varphi }{||{\nabla }_{\vec{x}}\varphi ||}$$
曲面$\varphi =const$，为等值面，在所有的点上都有相同的值，所以在等值面上移动函数值不发生改变

向量场$\vec{v}(\vec{x})$的梯度：
$$grad(\vec{v})\equiv {\nabla }_{\vec{x}}\vec{v}$$
表示成：
$${\nabla }_{\vec{x}}\vec{v}=\frac{\partial v_i{\hat{e}}_i}{\partial x_j}⨂{\hat{e}}_j=(v_i{\hat{e}}_i{)}_{,j}⨂{\hat{e}}_j=v_{i,j}{\hat{e}}_i⨂{\hat{e}}_j$$

因此，可以在笛卡尔坐标系中定义一个张量场$(\ast (\vec{x},t))$的梯度为：
$$\boxed{{\nabla }_{\vec{x}}(\ast )=\frac{\partial \ast }{\partial x_j}⨂{\hat{e}}_j}(在笛卡尔坐标系中的张量场的梯度)$$

二阶张量场的梯度：

二阶张量场$T(\vec{x})$的梯度：
$${\nabla }_{\vec{x}}T=\frac{\partial T_{ij}{\hat{e}}_i⨂{\hat{e}}_j}{\partial x_k}⨂{\hat{e}}_k=T_{ij,k}{\hat{e}}_i⨂{\hat{e}}_j⨂{\hat{e}}_k$$

表示为：
$$({\nabla }_{\vec{x}}T{)}_{ijk}=T_{ij,k}$$

问题1.41求出函数$f(x_1,x_2)=\cos (x_1)+{\exp }^{x_1{x}_2}$在点$(x_1=0,x_2=1)$ 的梯度

问题1.42 $\vec{u}(\vec{x})$是一个定常场

散度

向量场$\vec{v}(\vec{x})$的散度，标记如下：
$$div(\vec{v})\equiv {\nabla }_{\vec{x}}\cdot \vec{v}$$
表示为：
$$div(\vec{v})\equiv {\nabla }_{\vec{x}}\cdot \vec{v}={\nabla }_{\vec{x}}\vec{v}:1=Tr({\nabla }_{\vec{x}}\vec{v})$$
那么：

笛卡尔坐标系下的算子：
$$\boxed{{\nabla }_{\vec{x}}\cdot (\ast )=\frac{\partial (\ast )}{\partial x_k}\cdot {\hat{e}}_k}(笛卡尔坐标系下(\ast )的散度)$$

可以验证，当张量场作用散度时，其秩降低一阶

二阶张量场$T(\vec{x})$的散度：

二阶张量场$T$的散度定义为${\nabla }_{\vec{x}}\cdot 1={\nabla }_{\vec{x}}T:1$，得到一个向量：

NOTE：注意了，在处理张量场的梯度和散度时，
例如${\nabla }_{\vec{x}}\vec{v}$（向量场的梯度）、${\nabla }_{\vec{x}}T$(二阶张量场的梯度)、${\nabla }_{\vec{x}}\cdot T$（二阶张量场的散度），这不意味着在对向量和张量之间进行张量算子操作，
例如${\nabla }_{\vec{x}}\vec{v}\ne ({\vec{\nabla }}_{\vec{x}})⨂\vec{v}$，${\nabla }_{\vec{x}}T\ne ({\vec{\nabla }}_{\vec{x}})⨂\vec{v}$以及 ${\nabla }_{\vec{x}}\cdot T\ne ({\vec{\nabla }}_{\vec{x}})\cdot (T)$，等

${\nabla }_{\vec{x}}$必须是一个作用在完整张量场的算子，所以张量必须在算子的内部

然而，可以有如下表示：

定义 拉普拉斯算子${\nabla }^2$ 为：

那么，向量场$\vec{v}$的拉普拉斯向量为：

问题1.43 令$\vec{a}$和$\vec{b}$是向量，证明等式${\nabla }_{\vec{x}}\cdot (\vec{a}+\vec{b})={\nabla }_{\vec{x}}\cdot \vec{a}+{\nabla }_{\vec{x}}\cdot \vec{b}$成立

问题1.44 求出$({\nabla }_{\vec{x}}\vec{a})\cdot \vec{b}$

问题1.45 证明以下关系成立

旋度

向量场的旋度：
向量场$\vec{v}(\vec{x})$的旋度：$curl(\vec{v})\equiv rot(\vec{v})\equiv {\nabla }_{\vec{x}}\wedge \vec{v}$，并且用笛卡尔坐标基表示：
$$\boxed{{\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge (\ast )=\frac{\partial }{\partial x_j}{\hat{e}}_j\wedge (\ast )(在笛卡尔坐标系下的张量场的旋度)}$$

指标形式：
$$rot(\vec{v})={\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{v}=\frac{\partial }{\partial x_j}{\hat{e}}_j\wedge {\vec{v}}_k{\hat{e}}_k=\frac{\partial v_k}{\partial x_j}{\hat{e}}_j\wedge {\hat{e}}_k=\frac{\partial v_k}{\partial x_j}{ϵ}_{ijk}{\hat{e}}_i={ϵ}_{ijk}{v}_{k,j}{\hat{e}}_i$$

展开：

可以验证，一个向量场梯度的反对称部分，即$({\nabla }_{\vec{x}}\vec{v}{)}^{skew}\equiv W$，有如下分量：

其中，$w_1,w_2,w_3$是W的轴向量$\vec{w}$的分量
所以，结合旋度的定义和反对称矩阵分量，得到：

由于反对称张量和轴向量有以下关系：
$$\boxed{W\cdot \vec{a}=\vec{w}\wedge \vec{a}}$$
所以：
$$W\cdot \vec{v}=\vec{w}\wedge \vec{v}=\frac{1}{2}({\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{v})\wedge \vec{v}$$

我们在问题1.18里证明了反对称张量$(\vec{x}⨂\vec{a}{)}^{skew}$的轴向量是$\frac{1}{2}(\vec{a}\wedge \vec{x})$，因此反对称张量$W=({\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\vec{v}{)}^{skew}=[(\vec{v})⨂{\vec{\nabla }}_{\vec{x}}{]}^{skew}$的轴向量是$\frac{1}{2}({\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{v})$

如上所示，旋度描述了向量场的旋转趋势

总结：

• $rot(\lambda \vec{a})={\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge (\lambda \vec{a})=\lambda ({\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{a})+({\nabla }_{\vec{x}}\lambda \wedge \vec{a})$
  ${\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge (\lambda \vec{a})$的结果是一个向量，分量为：
  
  所以有：$rot(\lambda \vec{a})={\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge (\lambda \vec{a})=\lambda ({\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{a})+({\nabla }_{\vec{x}}\lambda \wedge \vec{a})$

• ${\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge (\vec{a}\wedge \vec{b})=({\nabla }_{\vec{x}}\cdot \vec{b})\vec{a}-({\nabla }_{\vec{a}}\cdot \vec{a})\vec{b}+({\nabla }_{\vec{x}}\vec{a})\cdot \vec{b}-({\nabla }_{\vec{x}}\vec{b})\cdot \vec{a}$
  由于有：$(\vec{a}\wedge \vec{b})={ϵ}_{kij}{a}_i{b}_j$，因此：
  
  并且有：${ϵ}_{kij}={ϵ}_{ijk}$且${ϵ}_{ijk}{ϵ}_{lpk}={\delta }_{il}{\delta }_{jp}-{\delta }_{ip{\delta }_{jl}}$，那么：
  
  可以验证：$[({\nabla }_{\vec{x}}\vec{a})\cdot \vec{b}{]}_l=a_{l,p}{b}_p$，$[({\nabla }_{\vec{x}}\cdot \vec{a})\vec{b}{]}_l=a_{p,p}{b}_l$，$[({\nabla }_{\vec{x}}\cdot \vec{b})\vec{a}{]}_l=a_l{b}_{p,p}$， $[({\nabla }_{\vec{x}}\vec{b})\cdot \vec{a}{]}_l=a_p{b}_{l,p}$

• ${\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge ({\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{a})={\nabla }_{\vec{x}}({\nabla }_{\vec{x}}\cdot \vec{a})-{\nabla }_{\vec{x}}^2\vec{a}$
  由于：$({\nabla }_{\vec{x}}\wedge \vec{a}{)}_i={ϵ}_{ijk}{a}_k,j$，因此：
  
  考虑：${ϵ}_{qli}{ϵ}_{ijk}={ϵ}_{qli}{ϵ}_{jki}={\delta }_{qj}{\delta }_{lk}-{\delta }_{qk}{\delta }_{lj}$，有：
  
  其中，$[{\nabla }_{\vec{x}}({\nabla }_{\vec{x}}\cdot \vec{a}){]}_q=a_{k,kq}$和$[{\nabla }_{\vec{x}}^2\vec{a}{]}_q=a_{q,ll}$

• ${\nabla }_{\vec{x}}\cdot (\psi {\nabla }_{\vec{x}}\cdot \vec{a})=\psi {\nabla }_{\vec{x}}^2\varphi +({\nabla }_{\vec{x}}\psi )\cdot ({\nabla }_{\vec{x}}\varphi )$
  
  $\psi$和$\varphi$是标量场，以上等式由以下等式推导而来：
  

将两个等式相减，得：

保守场

一个向量场$\vec{b}(\vec{x},t)$被称为保守的，如果存在一个可导的标量场$\varphi (\vec{x},t)$，满足：
$$\vec{b}={\nabla }_{\vec{x}}\varphi$$

如果一个函数$\varphi$满足以上关系，则称$\varphi$是$\vec{b}(\vec{x},t)$的势函数。
$\vec{b}(\vec{x},t)$是保守的的一个不充分条件是${\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{b}=\vec{0}$。也就是说，给定一个保守场，其旋度${\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge \vec{b}$等于0。反而，如果一个向量场的旋度为0，不代表这个向量场是保守的

1.46 $\varphi$是一个标量场，$\vec{u}$是一个向量场，证明${\nabla }_{\vec{x}}\cdot ({\nabla }_{\vec{x}}\wedge \vec{v})=0$以及${\vec{\nabla }}_{\vec{x}}\wedge ({\nabla }_{\vec{x}}\varphi )=\vec{0}$

参考教材：
Eduardo W.V. Chaves， Notes On Continuum Mechanics