RSA单向陷门函数及其应用

ElGamal单向陷门函数

1）密钥生成

① 选择一大素数p,选取Zp * 的生成元g ;

② 任选小于p的随机数x，计算y≡g x mod p;

③(y, g, p)为公开密钥， (x, g, p)为秘密密钥.

2）加密：设待加密明文为M.

① 随机选一整数k，0<k<=p-1；

② 计算密文对: C = {C1 ,C2 }, 发送给接收者.

C1≡g k mod p, C2≡y kM mod p

有限域上离散对数问题:

已知（Zp ，+， *）是一个有限域，g为Zp * 的生成元，y∈ Zp ，求x使得y=g x mod p.

如果求有限域离散对数问题是容易的，则获得公钥攻击者能够解出x，ElGamal加密算法完全破译.

加密过程：随机数k不能泄露；随机数k不能重用。

椭圆曲线单向陷门函数简介

有限域上的椭圆曲线指曲线方程定义式中，所有系数都是有限域GF(p)中的元素(其中p为大素数).

最为常用的曲线是

1）椭圆曲线上ElGamal算法

密钥生成

Ø 选取一条椭圆曲线Ep (a,b)，取Ep (a,b)的一个生成元G， Ep (a,b)和G作为公开参数.

用户A选xA 作为秘密钥，并以PA=xAG作为公开钥

加密运算

用户Bob若想向Alice发送消息Pm ，可选取一随机正整数k，产生以下点对作为密文：

Cm ={kG, Pm+kPA }={c1 ,c2 }

解密运算

Alice解密时，以密文对中的第二个点减去用自己的秘钥与第一个点的倍乘，即c2 - xA c1 = Pm +kPA -xA kG=Pm +k(xAG)-xA kG = Pm