生成树的概念：

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图

（边尽可能的少，但要保持连通）

若图中顶点数为n，则它的生成树中含有n-1条边。对于生成树而言，若看去他的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。

下面我们介绍最小生成树（无向图）

也叫最小代价树

 从带权连通图找出来，最小代价的生成树。

对于一个带权连通无向图G=(V,E)，生成树不同，每棵树的权（即树中所有边的权值之和）也可能不同。

设R为G的所有生成树的集合

若T为R中边的权值之和最小的生成树，则T称为G的最小生成树（Minimum-Spanning-Tree）

 （1）最小生成树可能有多个，但边的权值之和总是唯一且是最小的

（2）最小生成树的边数=顶点数-1（砍掉一条则不连通，增加一条则出现回路）

一，prim算法（普里姆）

从某一个顶点开始构建生成树：
每次将代价最小的新顶点纳入生成树，直到所有顶点都纳入为止。

 从P城这个节点开始：

 

 

 

得到了最小生成树，最小代价为：15

我们退一退，如果选择下面这条边

 

 

所以说同一个图可能是会有两个最小生成树

刚才我们从P城结点开始，现在我们从农场节点试验Prim算法。

 

 

 

 

 最小代价依然是15.

二，Kruskal算法（克鲁斯卡尔）

每次选择一条权值最小的边，使这条边的两头连通（原本已经的就不选）

直到所有的节点都连通

 

 

 

 P城和渔村这两个节点已经联通

算法到此结束

 

 

一，prim算法的实现思想

 

 与v0相互连接的边v1v2v3

 

 

 因为加入了v3这个节点，我们需要更新lowcast值。

找到这个结点到这个连通分量的最低代价：

 这样就完成了第一轮的处理

 

 

 

 

再来看Kruskal算法的实现思想：

我们需要做这样一个预处理：

 

 

 不连通，就连起来

这两个顶点就成为了同一个集合

下个权值最小的边是v2和v5 ，也不连通，把他们连起来。

 下一个权值最小为v1，v4不连通，连起来

 

v2和v3从属于不同的集合。

此时v3和v5已经从属于一个集合了，我们需要跳过他。

 

 并查集的判断：两个顶点是否从属于一个集合。