【分布族谱】泊松分布和二项分布、正态分布的关系

news2024/11/26 0:40:01

文章目录

- 泊松分布
- 和二项分布的关系
- 和正态分布的关系

泊松分布

如果在有限时间 $(0, 1)$ 内进行 $n$ 次伯努利实验，那么每次伯努利实验所占用的时间为 $\frac{1}{n}$ ，按照自然规律，一件事情肯定是时间越长越容易发生，假定事件发生的概率与 $\frac{1}{n}$ 成正比，记作 $\frac\lambda n$ ，则二项分布变为

$P\{X=k\}=\binom{n}{k}(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}$

如果这个时间差 $\frac1n$ 非常小，以至于事件变得近似连续，则有

$\lim_{n\to\infty} P\{X=k\}=\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}$

其中

$\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}(\frac{\lambda}{n})^k=\frac{\lambda^k}{k!}$

而后面有一项更是传说中的重要极限

$\lim_{n\to\infty}(1-\frac{\lambda}{n})^n=e^{-\lambda}$

综上就得到了一个新的分布

$P(x=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$

此即泊松分布，表示某个随机事件在连续时间内发生的概率，其中 $\frac\lambda n$ 表示单位时间内某件事发生的概率。

和二项分布的关系

下面通过scipy中的stats模块，模拟二项分布和泊松分布之间的关联。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as ss

p,q = 0.2, 0.8
ns = [10, 500, 25000, 1250000]

fig = plt.figure()
for i,n in enumerate(ns):
    lam = n * p
    rs = ss.binom(n, p).rvs(50000)
    rv = ss.poisson(n*p)
    st, ed = rv.interval(0.999)
    xs = np.linspace(st, ed, 100)
    ax = fig.add_subplot(2,2,i+1)
    ax.hist(rs, density=True, bins='auto', alpha=0.2)
    ax.plot(xs, rv.pmf(xs))
    plt.title(f"n={n}")

plt.show()

效果如下

在这里插入图片描述

和正态分布的关系

泊松分布是二项分布在有限时间内的极限情况，而根据中心极限定理，随着伯努利试验次数的增加，二项分布将逼近于 $\sigma^2=npq, \mu=np$ 的高斯分布。

在通过二项分布推导泊松分布的过程中，比较关键的一步是 $\frac{\lambda}{n}$ 作为概率的一个假定，当 $n\to\infty$ 时，可以发现 $\frac{\lambda}{n}$ 将趋近于0，如果继续沿用二项分布的模型，那么 $q\=1-\frac{\lambda}{n}->0$ ，从而 $npq\approx np$ 。

由此可以得到，当事件趋近于无穷多时，泊松分布将趋近于 $\mu=\lambda, \sigma^2=\lambda$ 的正态分布。

下面对这个关系进行测试

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as ss

p = 0.1
#lam = 100
ns = [10, 500, 25000, 1250000]

fig = plt.figure()
for i,n in enumerate(ns):
    lam = 0.1 * n
    rs = ss.poisson(lam).rvs(n)
    rv = ss.norm(lam, np.sqrt(lam))
    st, ed = rv.interval(0.999)
    xs = np.linspace(st, ed, 100)
    ax = fig.add_subplot(2,2,i+1)
    ax.hist(rs, density=True, bins='auto', alpha=0.2)
    ax.plot(xs, rv.pdf(xs))
    plt.title(f"n={n}")

plt.show()