日常鼓励自己：世界上只有想不通的人，没有走不通的路。
[长安杯 2021]checkin
题目代码和数据
from Crypto.Util.number import *
from secret import flag
p = getPrime(1024)
q = getPrime(16)
n = p*q
m = bytes_to_long(flag)
for i in range(1,p-q):
m = m*i%n
e = 1049
print(pow(2,e,n))
print(pow(m,e,n))
#4513855932190587780512692251070948513905472536079140708186519998265613363916408288602023081671609336332823271976169443708346965729874135535872958782973382975364993581165018591335971709648749814573285241290480406050308656233944927823668976933579733318618949138978777831374262042028072274386196484449175052332019377
#3303523331971096467930886326777599963627226774247658707743111351666869650815726173155008595010291772118253071226982001526457616278548388482820628617705073304972902604395335278436888382882457685710065067829657299760804647364231959804889954665450340608878490911738748836150745677968305248021749608323124958372559270
解题思路
c
1
=
2
e
m
o
d
n
2
e
=
k
∗
n
+
c
1
c_1=2^e \ mod \ n \\ 2^e=k*n+c_1
c1=2e mod n2e=k∗n+c1
这时候我们可以先搞出来n
代码如下：
c1=4513855932190587780512692251070948513905472536079140708186519998265613363916408288602023081671609336332823271976169443708346965729874135535872958782973382975364993581165018591335971709648749814573285241290480406050308656233944927823668976933579733318618949138978777831374262042028072274386196484449175052332019377
e=1049
print(2^e-c1)
#6027543349128250261061611850906664728536346779212426641088428544963356731129810885082371555056594134371892601742424667721105193534249189043570046638983977639217990098126731016259348067349430430582215063864805103884037137420179826541116808264617091019826898653792245614592655285387965751855503038673696439312640921935
这时候我们把这个大数进行分解。
这时候根据代码中给出的
p
,
q
p,q
p,q的范围，猜测
q=34211,p=170229264879724117919007372149468684565431232721075153274808454126426741324966131188484635914814926870341378228417496808202497615585946352638507704855332363766887139815236730403246238633855524068161116748612090155595549964229654262432946553891601975628848891407847198187453488358420350203927771308228162321231
接下来就是基础的RSA恢复出
m
m
m
代码如下：
import gmpy2
import binascii
q=34211
p=170229264879724117919007372149468684565431232721075153274808454126426741324966131188484635914814926870341378228417496808202497615585946352638507704855332363766887139815236730403246238633855524068161116748612090155595549964229654262432946553891601975628848891407847198187453488358420350203927771308228162321231
c=3303523331971096467930886326777599963627226774247658707743111351666869650815726173155008595010291772118253071226982001526457616278548388482820628617705073304972902604395335278436888382882457685710065067829657299760804647364231959804889954665450340608878490911738748836150745677968305248021749608323124958372559270
phi=(p-1)*(q-1)
e=1049
d=gmpy2.invert(e,phi)
m=pow(c,d,p*q)
print(m)
#5647131855912861445959801473000904046916562928699152081503080575758020426807957155823449252476576485215605683437266835890889011723740507176262565985183961657923735947392895594055836719225094244682238166397289805533546643921357507282330115996821590563351999699513990659441764547850652946624613062168133173839972115
这时候根据这个m还原flag
关键代码在这
for i in range(1,p-q):
m = m*i%n
这里要用到威尔逊理论，具体思路如下：
令
(
p
−
1
)
!
≡
−
1
m
o
d
p
,
m
∗
(
p
−
q
−
1
)
!
≡
M
m
o
d
p
两式相除得到：
−
1
/
M
≡
1
/
m
∗
(
p
−
q
)
∗
(
p
−
q
+
1
)
∗
.
.
.
∗
(
p
−
1
)
m
o
d
p
m
≡
−
M
∗
(
p
−
q
)
∗
(
p
−
q
+
1
)
.
.
.
(
p
−
1
)
m
o
d
p
令\ (p-1)! \equiv -1\ mod \ p ,m*(p-q-1)! \equiv \ M \ mod \ p \\ 两式相除得到：\\ -1/M \equiv 1/m*(p-q)*(p-q+1)*...*(p-1) \ mod \ p \\ m \equiv -M*(p-q)*(p-q+1)...(p-1) \ mod \ p
令 (p−1)!≡−1 mod p,m∗(p−q−1)!≡ M mod p两式相除得到：−1/M≡1/m∗(p−q)∗(p−q+1)∗...∗(p−1) mod pm≡−M∗(p−q)∗(p−q+1)...(p−1) mod p
具体求解代码如下:
q=34211
p=170229264879724117919007372149468684565431232721075153274808454126426741324966131188484635914814926870341378228417496808202497615585946352638507704855332363766887139815236730403246238633855524068161116748612090155595549964229654262432946553891601975628848891407847198187453488358420350203927771308228162321231
m=1
M=5647131855912861445959801473000904046916562928699152081503080575758020426807957155823449252476576485215605683437266835890889011723740507176262565985183961657923735947392895594055836719225094244682238166397289805533546643921357507282330115996821590563351999699513990659441764547850652946624613062168133173839972115
for i in range(p-q,p):
m = m*i%p
# print(m)
from Crypto.Util.number import *
m=(-M)*m%p
print(long_to_bytes(m))
#b"flag{7h3_73rr1b13_7h1ng_15_7h47_7h3_p457_c4n'7_b3_70rn_0u7_by_175_r0075}"
