前言

今天在复习概率论的公理化过程中，我发现它的公理其实也是人为定义的，为什么我会这么想呢？这是因为我曾听过严伯均在为什么诺贝尔奖没有数学讲曾说过数学是一门无法证伪的学科，甚至不能算是科学，而诺贝尔设置这个奖项的初衷就是奖励给那些对人类科学发展做出卓越贡献的人，因此没有诺贝尔数学奖，当然我也不太懂，但是今天看到数学家们对概率进行公理化的过程中我对此有点理解了，很容易看出其实我们今天所看到的数学或者我们未知的数学都是建立在数学家们构建出来几个和我们日常生活逻辑相一致的公理之上的，在现在我的理解中其实数学的分支构建的过程就是

（1）数学家们先发现了一个或者多个问题

（2）这些问题不能用以往的数学家们构建的数学知识解决或者处理起来很困难

（3）因此数学家们通过观察这个问题和生活中的现象先构建起几个与我们普通人日常生活认知相符的公理这就是公理化的过程。

（4）然后根据已经确定好的公理（在我看来是处理这个问题的几个前提条件）先根据这个问题找到处理这个问题必不可少的一个个概念然后通过归纳或者演绎推理的思想逐步找到这些概念的联系或者找到它们背后的数学本质，这就是数学家们逐步构建数学框架的过程，其实这个和物理里面发现各种规律的过程很像但是很多都是抽象的在日常生活中难以找到实例的所以我们理解起来相当复杂。

（5）再把各个概念之间的联系或者推导出新的概念的桥梁命名为公式，然后就是建立其一门数学的分支学科，比如概率论、群论现在我们在考察数学的过程中就是考察我们演绎推理的能力。我们之所以觉得难学是因为那都是每个时代划时代的天才几个月或者几年甚至几十年做出的产物，确让我这种垃圾在一学期内掌握，呵呵这是不可能的不过总算知道自己学了十几年的数学是学什么的了，对了公理不一定是固定不变的还得根据不同的问题可以做出不同的变换。下面我会给你们介绍一下这个思想。

结构化的数学思想

当我们谈到结构化的数学思想时，我们指的是在数学研究中关注对象之间的关系、模式和组织方式，以及从中提取出的普遍性质和规律。结构性思想强调将数学对象视为具有内在结构的实体，并通过研究这种结构来推导出它们的性质和行为。

在数学中，结构可以是各种形式的，例如集合、代数结构（如群、环、域）、拓扑空间、度量空间、图论中的图结构等等。通过探索和理解这些结构，数学家们能够发现它们之间的相互作用和联系，并得出一些普遍适用的结论。

结构性思想在数学研究中扮演了重要的角色，它帮助我们：

1. 理解对象之间的关系：通过研究数学对象的结构，我们能够了解它们之间的关系和联系。例如，在代数结构中，我们可以研究不同操作之间的相互作用，从而揭示它们之间的关系和性质。

2. 发现共性和模式：结构性思想使得我们能够从一组具有相似结构的对象中提取出共性和模式。通过观察和比较这些结构，我们能够发现普遍适用的规律和性质，这为数学理论的发展提供了重要的线索。

3. 推导和证明性质：通过研究结构，我们能够推导出对象的一些性质和定理。例如，在拓扑学中，我们通过研究空间的拓扑结构，可以得出关于连续性、收敛性和紧致性等性质的定理。

4. 解决实际问题：结构性思想在解决实际问题时非常有用。通过将实际问题抽象为数学结构，并研究其内在的结构特征，我们可以找到解决问题的方法和策略。例如，在优化问题中，通过研究问题的结构，我们可以利用最优化理论中的结构性结果来寻找最佳解。

综上所述，结构性思想是数学中一种重要的思维方式，通过研究数学对象的结构，我们可以发现对象之间的关系和共性，并推导出普遍适用的性质和定理。这种思想在数学的发展和应用中起到了至关重要的作用。