图的定义

一个图G定义为一个有序对（V,E），记为V=（V,E），其中

1. V是一个非空集合，称为顶点集或点集，其元素称为顶点或点。
2. E是由V中的点组成的无序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同一点对在E中出现多次。

图G的顶点集记为V(G)，边集记为E(G)。图G的顶点数或边数用n和m表示。

1. 若边e=ev，此时称u和v是e的端点；并称u和v相邻，u与e相关联。若两条边有一个共同的端点，则称这两条边相邻。
2. 孤立点：不与任何边相关联的点。
3. 自环：两端点重合的边。
4. 重边：连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。重数大于1的边称为重边。
5. 点集和边集均为有限集合的图称为有限图。
6. 只有一个顶点而无边的图称为平凡图。
7. 边集为空的图称为空图。
8. 既没有环也没有重边的图称为简单图。其它所有的图都称为复合图。

图的同构

设有两个图G1 = (V1, E1)和G2 = (V2, E2)，若在其顶点集合之间存在双射，即存在一一对应的关系，使得边之间有如下的关系：设u1, v1∈V1 , u2, v2∈V2, u1 ↔ u2, v1 ↔ v2, u1v1∈E1当且仅当u2v2∈E2，且u1v1的重数与u2v2相等，则称两图同构，记为G1≌G2。

1. 两个同构的图均有相同的结构，没有本质上的差异，差异只是顶点和边的名称不同。
2. 图同构的几个必要条件：顶点数相同；边数相同；若将各点关联的边记录下来，得到的数组相同。
3. 在图的图形表示中，不给图的点和边标上符号，称为非标定图。

完全图，偶图，补图

任意两点均相邻的简单图称为完全图。在同构意义下，n阶完全图只有一个，记为Kn。

若一个图的点集可以分解为两个（非空）子集X和Y，使得每条边的一个端点在X中，另一个端点在Y中，则这样的图称为具有二分类（X，Y）的偶图。

完全偶图是指具有二分类（X，Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y的每个顶点相连，若|X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为Km,n。

简单图的补图：设G=（V,E），则图H=（V,E1\E）称为G的补图。

度与度序列

设v是G的顶点，G中以v为端点的边的条数（环计算两次）称为点v的度数，简称为点v的度，简记为d(v)。

1. δ(G)：图G 的顶点的最小度
2. Δ(G)：图G 的顶点的最大度
3. 奇点：度数为奇数的顶点
4. 偶点：度数为偶数的顶点
5. k正则图：每个点的度均为k 的简单图

图论基本定理

对任意的有m条边的图G=(V,E)，有

因图G的任意一条边均有两个端点（可以相同），在计算度时正好被计算两次（每个端点各被计算了一次），所以各点的度数之和为边数的两倍。

子图与图的运算

设G和H为两个图，若(H)  V(G)，E(H)  E(G)，且H中边的重数不超过G中对应边的重数，则称H是G 的子图。记为H  G。有时又称G是H的母图。

E图

能否将一副多米诺骨牌围成一圈，使得对于任意相邻的两块牌，它们的接触面具有相同的点数。

每块骨牌可用唯一的一对数字（a,b）来表示。

中国邮递员问题

邮递员从邮局出发，递送邮件，然后返回邮局，要求每条街至少走一遍且走过的总路程最短，应如何选择路线？

图论模型：在一个连通的具有非负权的赋权图G中找一条包含每条边（允许重复）且变权之和最小的闭途径，称之为最优环游。

1. 若图G是一个欧拉图，则找出G的欧拉回路即可。
2. 对一般图，添加重复边使G称为欧拉图，并使添加的重复边的边权值和最小，再求欧拉回路。

假定G是在图G中添加一些重复边得到的欧拉图，则G具有最小权值的充要条件是：

1. G的每条边最多被添加一次。
2. 对于G*的每个圈来说，新添加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。

如果一个赋权图G只有两个奇度顶点u与v，设计一个求其最有欧拉环游的算法。

H图

一只老鼠吃3x3x3立方体乳酪。其方法是借助于打洞通过所有的27个1x1x1的子立方体，问吃完时是否可以到达中心点。

若把每个子立方体模型为图的顶点，且两个顶点连线当且仅当两个子立方体有共同面。
那么，问题转化为该图中是否存在一条由角点到中心点的H路。