张量分量的变换定律

张量的分量是依赖于坐标系的，所以当坐标系发生旋转，张量分量也会发生改变，张量分量与坐标系通过分量变换规律互相关联起来的。

考虑在正交基$({\hat{e}}_1,{\hat{e}}_2,{\hat{e}}_3)$的坐标系$(x_1,x_2,x_3)$，任意向量可以表示成：
$\vec{v}=v_i{\hat{e}}_i=v_1{\hat{e}}_1+v_2{\hat{e}}_2+v_3{\hat{e}}_3$

矩阵形式：

考虑一个新的坐标系$(x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime })$, 基于正交基$({\hat{e}}_1^{\prime },{\hat{e}}_2^{\prime },{\hat{e}}_3^{\prime })$，在这个新的坐标系种，向量可以表示成 $\vec{v}=v_j^{\prime }{\hat{e}}_j^{\prime }$， 所以：
$\vec{v}=v_k^{\prime }{\hat{e}}_k^{\prime }=v_j{\hat{e}}_j$

为了计算得到在某个坐标系的张量的分量，只需要将张量和坐标基进行点积即可：

或者矩阵形式：


所以，坐标变换张量的分量的计算公式：
$$a_{ij}={\hat{e}}_j\cdot {\hat{e}}_i^{\prime }={\hat{e}}_i^{\prime }\cdot {\hat{e}}_j$$

指标形式：
$$\boxed{v_i^{\prime }=a_{ij}{v}_j}$$

坐标变换矩阵：张量在原坐标系变换到新坐标系的变换矩阵，新坐标基控制矩阵的行

矩阵不是对称的

由于${\hat{e}}_i^{\prime }\cdot {\hat{e}}_j=||{\hat{e}}_i^{\prime }||||{\hat{e}}_j||\cos (x_i^{\prime },x_j)$，所以可以把变换矩阵表示成方向余弦的形式：

方向余弦的角度是向量与原坐标系的角度
$\cos {\alpha }_1=\cos (x_1^{\prime },x_1)$
$\cos {\beta }_1=\cos (x_1^{\prime },x_2)$
$\cos {\gamma }_1=\cos (x_1^{\prime },x_3)$

上面已经讨论了向量在新坐标系的投影，下面是向量在原坐标系的投影：

因此： $\boxed{{\hat{e}}_i=a_{ji}{\hat{e}}_j^{\prime }}$

逆变换矩阵：
$$A^{-1}{\vec{v}}^{\prime }=A^{-1}A\vec{v}⟹v=A^{-1}{\vec{v}}^{\prime }$$

由于$v=A^{-1}{\vec{v}}^{\prime }$ 且 $\vec{v}=A^T{\vec{v}}^{\prime }$，可以得出 $A$ 是正交矩阵：

$$A^{-1}=A^T⟹A^{T}A=1\to a_{ki}{a}_{kj}={\delta }_{ij}$$

二阶张量：
从原坐标系的正交基 ${\hat{e}}_i$ 变换到新坐标系得正交基${\hat{e}}_i^{\prime }$，遵循变换定律：
${\hat{e}}_k=a_{ik}{\hat{e}}_i^{\prime }$

这可以将二阶张量表示为:

其中：
$$T_{ij}^{\prime }=T_{kl}{a}_{ik}{a}_{jl}=a_{ik}{T}_{kl}{a}_{jl}\to T^{\prime }=AT{A}^{\prime }$$

三阶张量：
可以将三阶张量表示为正交基 ${\hat{e}}_i$ 和正交基 ${\hat{e}}_i^{\prime }$:

所以，三阶张量在新正交基的分量：
$S_{ijk}^{\prime }=S_{lmn}{a}_{il}{a}_{jm}{a}_{kn}$

根据张量阶数总结变换定律：

问题1.27 给定$T^{\prime }=A\cdot T\cdot A^{\prime }$， 计算$T^{\prime }$的分量

思路： 先将其转换成指标形式，然后为了求二阶张量的分量表示，需要同时作用双缩并
$:({\hat{e}}_i⨂{\hat{e}}_j)$

问题1.128 $T$是一个对称二阶张量，$I_T,I{I}_T,II{I}_T$是标量，其中$I_T=Tr(T)=T_{ii},I{I}_T=\frac{1}{2}[I_T^2-Tr(T^2)],II{I}_T=\det T$, 证明$I_T,I{I}_T,II{I}_T$是做坐标基变换的不变量

其中，用到正交张量的定义：
由于A是正交张量，所以有： $a_{ik}{a}_{il}={\delta }_{kl}\to A\cdot A^T=1$
其中，还用到张量的迹：
$A:B=Tr(A\cdot B^T)$
由于$T^{\prime }$ 是正交张量，所以$T^{\prime }=(T^{\prime }{)}^T$，所以
$Tr(T^{\prime }\cdot T^{\prime })=Tr(T^{\prime }\cdot (T^{\prime }{)}^T)=T^{\prime }:T^{\prime }$

所以，目前提到了三个不变量：
张量的迹；
张量的迹的平方 - 张量平方的迹；
张量的行列式

有四个坐标系：
$(x_1,x_2,x_3)$
$(x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime })$
$(x_1^{\prime \prime },x_2^{\prime \prime },x_3^{\prime \prime })$
$(x_1^{\prime \prime \prime },x_2^{\prime \prime \prime },x_3^{\prime \prime \prime })$

考虑以下变换矩阵：
$A$: 从$(x_1,x_2,x_3)$ 变换到 $(x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime })$
$B$: 从 $(x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime })$ 变换到 $(x_1^{\prime \prime },x_2^{\prime \prime },x_3^{\prime \prime })$
C: 从 $(x_1^{\prime \prime },x_2^{\prime \prime },x_3^{\prime \prime })$ 变换到 $(x_1^{\prime \prime \prime },x_2^{\prime \prime \prime },x_3^{\prime \prime \prime })$

如果有一个向量 $\vec{v}$， 在每个坐标系之间的转换如下所示：

从$(x_1,x_2,x_3)$ 变换到 $(x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime })$：
$${\vec{v}}^{\prime }=A\vec{v}$$
从$(x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime })$ 变换到 $(x_1,x_2,x_3)$：
$$\vec{v}=A^T{\vec{v}}^{\prime }$$

从 $(x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime })$ 变换到 $(x_1^{\prime \prime },x_2^{\prime \prime },x_3^{\prime \prime })$:
$${\vec{v}}^{\prime \prime }=B{\vec{v}}^{\prime }$$
从 $(x_1^{\prime \prime },x_2^{\prime \prime },x_3^{\prime \prime })$变换到$(x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime })$ :
$${\vec{v}}^{\prime }=B^T{\vec{v}}^{\prime \prime }$$
代入${\vec{v}}^{\prime }=A\vec{v}$, 从$(x_1,x_2,x_3)$ 变换到$(x_1^{\prime \prime },x_2^{\prime \prime },x_3^{\prime \prime })$ :
$${\vec{v}}^{\prime \prime }=B{\vec{v}}^{\prime }=BA\vec{v}$$

从$(x_1^{\prime \prime },x_2^{\prime \prime },x_3^{\prime \prime })$ 变换到 $(x_1,x_2,x_3)$ :
$$\vec{v}=A^T{B}^T{\vec{v}}^{\prime \prime }$$

从$(x_1,x_2,x_3)$ 变换到$(x_1^{\prime \prime \prime },x_2^{\prime \prime \prime },x_3^{\prime \prime \prime })$ :
$${\vec{v}}^{\prime \prime \prime }=CBA\vec{v}$$
从$(x_1^{\prime \prime \prime },x_2^{\prime \prime \prime },x_3^{\prime \prime \prime })$变换到$(x_1,x_2,x_3)$ :
$$\vec{v}=A^T{B}^T{C}^T{\vec{v}}^{\prime \prime \prime }$$

二维分量变换定律

考虑两个坐标系：

从(x, y) 到(x’, y’):
$${\vec{v}}^{\prime }=A\vec{v}$$

利用三角恒等式：
$$\begin{gathered} {\alpha }_{x^{\prime }x}={\alpha }_{y^{\prime }y}⟹\cos ({\alpha }_{x^{\prime }x})=\cos ({\alpha }_{y^{\prime }y})=\cos (\alpha ) \\ \cos ({\alpha }_{x^{\prime }y})=\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin (\alpha ) \\ \cos ({\alpha }_{y^{\prime }x})=\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin (\alpha ) \end{gathered}$$

所以，二维的变换矩阵：

另一个证明方法：

考虑在两个坐标系的一个点P的向量方向：

矩阵形式：

又因为 $A^{-1}=A$， 所以：

问题1.29 求出坐标系$(x,y,z)$和$(x^{\prime \prime \prime },y^{\prime \prime \prime },z^{\prime \prime \prime })$之间的变换矩阵

$\alpha ,\beta ,\gamma$ 是欧拉角，用来计算刚体运动的方向

问题1.30 $T$是二阶张量

NOTE： 以上例子可以看出，张量$T$ 在新坐标基的分量有一个特性， 非对角元素是零，现在问题是：给定任意一个张量$T$ ，是否存在使得非对角元素为零的变换？
这种问题的类型是特征值问题。

参考教材：
Eduardo W.V. Chaves， Notes On Continuum Mechanics